Beweisverfahren der vollständigen Induktion

26.10.2005, 15:15

gasti

Beweisverfahren der vollständigen Induktion

Hey!
Versteh die Aufgabe irgendwie nicht:
Beweise durch vollständige Induktion. Für alle n E |N gilt:
3 ist teiler von 13^n+2

Kann mir da jemand helfen?

26.10.2005, 15:31

Gust

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RE: Beweisverfahren der vollständigen Induktion

Zitat:

Original von gasti
3 ist teiler von 13^n+2

Das heißt ja $\begin{eqnarray*} [13^{n}+2 ]mod 3 = 0 \end{eqnarray*}$

also:
$\begin{eqnarray*} [\sum_{k=1}^n~{13^{n}+2}]mod3 = 0 \end{eqnarray*}$

ich kenn mich mit vollst. Induktion nicht so aus - aber damit musst Du glaub ich rechnen!

MFG, Gust

26.10.2005, 15:44

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erstmal der Induktionsanfang für n=1

Also 13^1+2:5=3 (wahr)

Induktionsschritt: Auch $\begin{eqnarray*} 13^{n+1}+2 \end{eqnarray*}$ ist durch 3 teilbar

Jetzt versuche mal den Induktionsschritt zu zeigen.Spalte dazu $\begin{eqnarray*} 13^{n+1} \end{eqnarray*}$ auf

26.10.2005, 16:13

therisen

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RE: Beweisverfahren der vollständigen Induktion

Zitat:

Original von Gust
Das heißt ja $\begin{eqnarray*} [13^{n}+2 ]mod 3 = 0 \end{eqnarray*}$

Ihh, ein Informatiker Big Laugh

Verschoben nach Analysis

26.10.2005, 16:22

Gust

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RE: Beweisverfahren der vollständigen Induktion

Zitat:

Original von therisen

Zitat:

Original von Gust
Das heißt ja $\begin{eqnarray*} [13^{n}+2 ]mod 3 = 0 \end{eqnarray*}$

Ihh, ein Informatiker Big Laugh

Eigentlich nicht - nur wusste ich nicht, wie ich es sonst schreiben sollte! Weißt Du da was?

26.10.2005, 18:24

therisen

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RE: Beweisverfahren der vollständigen Induktion
Informatikerschreibweise:
$\begin{eqnarray*} (13^{n}+2) \text{ mod } 3 = 0 \end{eqnarray*}$

Mathematikerschreibweise:
$\begin{eqnarray*} 13^{n}+2 \equiv 0 \pmod 3 \end{eqnarray*}$

EDIT: Mal zur eigentlichen Aufgabenstellung (die Blödsinn ist):

$\begin{eqnarray*} 13^{n}+2 \equiv 1^n+2 \equiv 3 \equiv 0 \pmod 3 \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

26.10.2005, 19:07

riwe

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RE: Beweisverfahren der vollständigen Induktion
ich würde es halt für (n + 1) so machen:
$\begin{eqnarray*} 13^{n+1}+2=(13^{n}+2)\cdot 13-24 \end{eqnarray*}$
womit man am ziel wäre, denke ich
werner

26.10.2005, 20:09

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Werner,elegant,elegant.Schnell mal mit +26 und -24 erweitert.Das ist der Standartweg,wenn man solche Aufgaben zeigen will.Sollte man sich gut einprägen. Augenzwinkern

26.10.2005, 23:29

Mathespezialschüler

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Verschoben

27.10.2005, 12:38

gasti

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hää??
Versteh ich nicht sorry... ist für mich unlogisch... vielleicht kanns noch mal jemand erklären?!
bitteee!
danke Augenzwinkern

27.10.2005, 13:08

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Also hier noch mal der Induktionsschritt:

$\begin{eqnarray*} 13^{n+1}+2 \end{eqnarray*}$ teilbar durch 3

$\begin{eqnarray*} 13^{n+1}=13*13^n \end{eqnarray*}$

Desweiteren: $\begin{eqnarray*} 2=26-24 \end{eqnarray*}$

neu: $\begin{eqnarray*} 13*13^{n}+26-24 \end{eqnarray*}$

13 ausklammern liefert:

$\begin{eqnarray*} 13(13^{n}+2)-24 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (13^{n}+2) \end{eqnarray*}$ ist nach Annahme durch 3 teilbar.Wenn man eine um 3 teilbare Zahl mit 13 multipliert bleibt sie teilbar durch 3. 24 ist ebenfalls durch 3 teilbar.Wenn man 24 von einer durch 3 teilbaren Zahl abzieht,bleibt die neue Zahl auch durch 3 teilbar

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