Brauche Hilfestellung zu Mengenbeweisen

26.10.2005, 20:53

Sly

Brauche Hilfestellung zu Mengenbeweisen

Hallo!
Bräuchte eine kleine Hilfestellung zu einer Aufgabe, bei der ich kaum weiterkomme...
Wir müssen Beweise durchführen, worin ich (noch) nicht unbedingt geübt bin:

Sei X eine Menge, und A,B Teilmengen von X.
Beweisen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
a) $\begin{eqnarray*} A \subset B \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} A \cap B=A \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} A \cup B=B \end{eqnarray*}$
d) $\begin{eqnarray*} A \cap (X \backslash B)= \emptyset \end{eqnarray*}$

Also irgendwie habe ich wohl $\begin{eqnarray*} a) \Rightarrow b) \end{eqnarray*}$ bewiesen, komme aber nicht von b) auf c) usw...
Unser Übungsleiter meinte, man solle das nach dem schema $\begin{eqnarray*} a) \Rightarrow b) \Rightarrow c) \Rightarrow d) \Rightarrow a) \end{eqnarray*}$ machen.
Ich möchte das alles möglichst formal machen...nur weiß nicht wie.

Schonmal danke im Voraus!

/edit:
Also meine erste Idee war nur, zu beweisen, dass
$\begin{eqnarray*} ( A \cap B=A) \Rightarrow ( A \cup B=B) \end{eqnarray*}$ immer wahr ist.
Weiter komme ich aber nicht so wirklich...

26.10.2005, 21:48

irre.flexiv

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Was du bei edit geschrieben hast ist b) -> c).
Bewiesen hast du bis jetzt noch nichts.

Ich zeig dir mal a)-> b)

Die Gleichheit 2er Mengen zeigt man in 2 Teilschritten.
Wenn du $\begin{eqnarray*} A = B \end{eqnarray*}$ zeigen willst musst du $\begin{eqnarray*} A \subset B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \subset A \end{eqnarray*}$ zeigen.

$\begin{eqnarray*} A \cap B \subset A \end{eqnarray*}$ (das müsste klar sein)

$\begin{eqnarray*} A \subset A \cap B \end{eqnarray*}$ (folgt mit der Vor.)

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow A \cap B=A \end{eqnarray*}$

27.10.2005, 16:51

Sly

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Zitat:

Original von irre.flexiv
Was du bei edit geschrieben hast ist b) -> c).
Bewiesen hast du bis jetzt noch nichts.

Nein, ich hab doch in meinem post geschrieben, dass ich a) => b) bewiesen habe, aber bei b) => c) nicht weiterkomme.
Genau da brauche ich ja die Hilfestellung...

27.10.2005, 17:18

irre.flexiv

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Achso.

$\begin{eqnarray*} A \cap B = A \end{eqnarray*}$ ist ja eine Gleichung. Du kannst also Äquivalenzumformungen durchführen.
Zum Beispiel beide Seiten mit einer beliebigen Teilmenge aus X vereinen. Augenzwinkern

27.10.2005, 18:24

Sly

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Zitat:

Original von irre.flexiv
Achso.

$\begin{eqnarray*} A \cap B = A \end{eqnarray*}$ ist ja eine Gleichung. Du kannst also Äquivalenzumformungen durchführen.
Zum Beispiel beide Seiten mit einer beliebigen Teilmenge aus X vereinen. Augenzwinkern

Wie, das geht?!
Also kann ich auch bei einer Mengengleichung Schritte unternehmen? (Also Durchschnitt,Vereinigung,Differenz usw???)
Also wirklich wirklich VIELEN Dank!!! Tanzen

Dieser Weg ist mir bis jetzt noch nicht eingefallen, ich versuche mich nochmal daran...
Wenn ich noch Probleme habe, poste ich nochmal...

/edit: erstmal überprüfen lassen, obs soweit stimmt:

Also b) => c)
$\begin{eqnarray*} A \cap B=A \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (A \cap B) \cup B = A \cup B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (A \cup B) \cap B = A \cup B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow B = A \cup B \end{eqnarray*}$

27.10.2005, 19:38

Sly

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Also mein einziges Problem ist noch, von d) auf a) zurückzukommen:
$\begin{eqnarray*} A \cap (X \backslash B) = \emptyset \end{eqnarray*}$
...
$\begin{eqnarray*} x \in A \Rightarrow x \in B \end{eqnarray*}$

Also durch Umformung komme ich nur wieder auf c) zurück...

Also ich weiß, ich wirke wie jemand, der zu faul ist, sich darüber Gedanken zu machen, aber ich hab wegem diesem Beweis jetzt schon fast 6 Std am Schreibtisch verbracht...Und sitze offensichtlich auf dem Schlauch

/edit: ich hab grad wieder nen Lösungsansatz, stimmt der?
Also die Gleichung c) besagt:
$\begin{eqnarray*} \forall x : \neg (x \in A \cap (X \backslash B) ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \forall x : \neg (x \in A \wedge x \in (X \backslash B) ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \forall x : (x \notin A \vee \neg (x \in X \wedge x \notin B) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \forall x : (x \notin A \vee x \in B \vee x \notin X) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \forall x : ((x \in A \Rightarrow x \in B) \vee x \in X) \end{eqnarray*}$

Ist somit d) => a) bewiesen?

27.10.2005, 19:38

irre.flexiv

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Richtig

Du kannst den 2. Umformungsschritt aber auch weglassen.

27.10.2005, 19:42

irre.flexiv

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Um $\begin{eqnarray*} A \subset B \end{eqnarray*}$ zu zeigen geht man immer so vor:

Sei $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ . Jetzt musst du eine Schlusskette aufbauen (Voraussetzung nutzen) und zeigen das dann auch $\begin{eqnarray*} a \in B \end{eqnarray*}$ ist.

27.10.2005, 19:54

Sly

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So, sry war vielleicht ein paar minuten zu spät, hab meinen neuen lösungsansatz in meinem oberen post rein-geedited.

27.10.2005, 20:12

irre.flexiv

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Ja das ist richtig, du müsstest nur noch das Ergebnis deiner Umformung hinschreiben ( $\begin{eqnarray*} \forall x : ((x \in A \Rightarrow x \in B) \vee x \in X) \end{eqnarray*}$ soll ja nicht gezeigt werden sondern $\begin{eqnarray*} x \in B \end{eqnarray*}$ )
Ist aber nur ein formaler Fehler.

Du kannst es dir aber auch einfacher machen.
Mit $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \cap (X \backslash B)= \emptyset \end{eqnarray*}$ hast du ja zwei wahre Aussagen (Voraussetzungen).

Dann könnte der Beweis auch so aussehen.
$\begin{eqnarray*} (a \in A) \wedge (a \notin A \cap (X \backslash B)) \Rightarrow a \notin (X \backslash B) \Rightarrow a\in B \end{eqnarray*}$

29.10.2005, 11:54

Sly

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Hallo!
Ich bräuchte wieder ein wenig Hilfe...

Wie beweise ich, dass
a) $\begin{eqnarray*} A \subset f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(B)) \subset B \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} f( A_1 \cup A_2)=f(A_1) \cup f(A_2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(A_1 \cap A_2) \subset f(A_1) \cap f(A_2) \end{eqnarray*}$
d) $\begin{eqnarray*} f^{-1}(B_1 \cup B_2)=f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{-1}(B_1 \cap B_2)=f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2) \end{eqnarray*}$

Ich bin mir mal wieder voll unsicher.
Also meine Ansätze sind folgende:
a) zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} a \in A \Rightarrow a \in f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$
Beweis: Sei $\begin{eqnarray*} a \notin f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow a \notin f^{-1}( \{ f(a) \in Y | a \in A \} ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrighttarrow a \notin \{ a \in A | f(a) \in f(A) \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a \notin A \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?
Die Ansätze für die anderen poste ich später...

29.10.2005, 20:36

Sly

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So, an die restlichen Aufgaben hab ich mich auch versucht.

b) zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} b \in f(f^{-1}(B)) \Rightarrow b \in B \end{eqnarray*}$
Wenn $\begin{eqnarray*} b \in f(f^{-1}(B)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow b \in f( \{ a \in X | f(a) \in B \} ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow b \in \{ b \in Y | b \in B \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow b \in B \end{eqnarray*}$

So, nur stört mich daran die Äquivalenz, damit würde ich ja beweisen, dass die Mengen gleich sind verwirrt

c) (1)
$\begin{eqnarray*} b \in f(A_1 \cup A_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow b \in \{ f(a) \in Y | a \in A_1 \cup A_2 \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow b \in \{ f(a) \in Y | a \in A_1 \} \vee b \in \{ f(a) \in Y | a \in A_2 \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow b \in f(A_1) \cup f(A_2) \end{eqnarray*}$

Kann man das logische "oder" bzw "und" eigentlich aus den Mengen ziehen?

(2) zz:
$\begin{eqnarray*} b \in f(A_1 \cap A_2) \Rightarrow b \in f(A_1) \cap f(A_2) \end{eqnarray*}$
Wenn $\begin{eqnarray*} b \in f(A_1 \cap A_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow b \in \{ f(a) \in Y | a \in A_1 \wedge a \in A_2 \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow b \in \{ f(a) \in Y | a \in A_1 \} \wedge b \in \{ f(a) \in Y | a \in A_2 \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow b \in f(A_1) \cap f(A_2) \end{eqnarray*}$

Kann man das logische "oder" bzw "und" eigentlich aus den Mengen ziehen?

d) (1)
Wenn $\begin{eqnarray*} a \in f^{-1}(B_1 \cup B_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow a \in \{ a \in X | f(a) \in B_1 \vee f(a) \in B_2 \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow a \in \{ a \in X | f(a) \in B_1 \} \vee a \in \{ a \in X | f(a) \in B_2 \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow a \in f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow f^{-1}(B_1 \cup B_2) = f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2) \end{eqnarray*}$

(2)
Wenn $\begin{eqnarray*} a \in f^{-1}(B_1 \cap B_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow a \in \{ a \in X | f(a) \in B_1 \wedge f(a) \in B_2 \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow a \in \{ a \in X | f(a) \in B_1 \} \wedge a \in \{ a \in X | f(a) \in B_2 \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow a \in f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow f^{-1}(B_1 \cap B_2) = f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2) \end{eqnarray*}$

Könnte das bitte bitte bitte jemand überprüfen, ich bin mir nämlich nicht sicher Hilfe

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