Bijektion zwischen N und N*

27.10.2005, 12:21

ming_frans

Hallo,

kennt jemand eine Bijektion zwischen $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb N^{*} \end{eqnarray*}$ ??

Ich hab versuch die Cantor'sche Paarungfunktion zu modifizieren, leider hat es nicht geklappt. Kann mir jemand helfen??

Danke im Voraus

Gruss

Frans

27.10.2005, 12:54

Poff

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RE: Bijektion zwischen N und N*
n --> n+1

27.10.2005, 13:09

ming_frans

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Hallo Poff,

ich habe leider deinen Hinweis nicht verstanden. Per Induktion kann man zwar zeigen dass für eine beliebige Zahl k: $\begin{eqnarray*} N^{k} \end{eqnarray*}$ abzählbar ist. Aber $\begin{eqnarray*} N^{*} \end{eqnarray*}$ ist definiert als $\begin{eqnarray*} \bigcup_{k\in \mathbb N }\mathbb N^{k} \end{eqnarray*}$ . Kannst du bitte ein wenig erklären??

Frans

27.10.2005, 13:39

Poff

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Missverständnis.

das kommt dadurch, dass du mit undefinierten Kürzel arbeitest.

N* ist mindestens auch gebräuchlich für N \{0}

Bijektion kann ich dir da auf die Schnelle keine anbieten,
aber die abzählbare Vereinigung von abzählbaren Mengen ist wieder
abzählbar, somit existiert die auch.

27.10.2005, 13:41

ming_frans

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sorry

27.10.2005, 18:42

Mathespezialschüler

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Verschoben

27.10.2005, 20:15

papahuhn

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Das zu diagonalisieren ist noch recht passabel. Für jedes $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ listest du alle Wörter bis Länge $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \{1,...,n\} \end{eqnarray*}$ auf.
Richtig lustig wirds bei $\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{n \in \mathbb N} \bigotimes\limits_{k=1}^n~\mathbb N \end{eqnarray*}$ . smile

Lol, vergiss es. Mir fällt gerade auf, dass das eigentlich das gleiche ist...

27.10.2005, 21:05

Tobias

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Brauchst du eine Konstruktion einer Bijektion oder reicht ein Beweis, dass sie existiert? Ginge Induktion?

27.10.2005, 23:57

ming_frans

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Zitat:

Brauchst du eine Konstruktion einer Bijektion oder reicht ein Beweis, dass sie existiert? Ginge Induktion?

Ich brauche hier die Konstruktion einer Bijektion Ansage

28.10.2005, 00:31

Tobias

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Dann schau mal das hier an:

Sei $\begin{eqnarray*} p_1, p_2, \ldots \end{eqnarray*}$ eine nach Größe sortierte Liste der Primzahlen.

Gesucht ist eine Bijektion $\begin{eqnarray*} \phi : \; \mathbb{N}^{\ast} \to \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Was hälst du von der Abbildungsvorschrift:

$\begin{eqnarray*} (x_1, \ldots, x_n) \mapsto \prod_{k=1}^{n} p_k^{x_k} \end{eqnarray*}$

??

28.10.2005, 01:01

ming_frans

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Ich glaube die Abbildung ist leider nicht injektiv.
Gegenbsp: (3,2) und (1,1,1) lifern beide 17. verwirrt

28.10.2005, 01:23

Tobias

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Ist ja peinlich... mache aus dem Summenzeichen mal flott ein Produkt. Schläfer

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Bijektion zwischen N und N*

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