X^x ableiten

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28.10.2005, 21:29	f(x)	Auf diesen Beitrag antworten »
X^x ableiten Hallo! Wie ist denn die Ableitung von $\begin{eqnarray} f(x) = x^x \end{eqnarray}$ ? $\begin{eqnarray} ln(x) x^x \end{eqnarray}$ ? Oder $\begin{eqnarray} x * x^{x-1} \end{eqnarray*}$ ? Oder ... ?
28.10.2005, 21:31	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x^x=e^{x\ln x} \end{eqnarray}$ (Da x^x im Nichtpositiven undefiniert ist, musst du dich um keine Beträge beim Logarithmus kümmern.)
28.10.2005, 21:35	f(x)	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha! Und warum? Ist das (relativ) leicht zu erklären?
28.10.2005, 21:40	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Definition des $\begin{eqnarray} \ln \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} e^{\ln u}=u, u>0 \end{eqnarray}$ . Hier ist eben $\begin{eqnarray} u:=x^x \end{eqnarray}$ und der Rest ist einfach ein angewendetes Logarithmusgesetz.
28.10.2005, 21:46	f(x)	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke!
29.10.2005, 10:20	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
@f(x) Was hast du denn jetzt als Ableitung raus? Gruß MSS
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30.10.2005, 07:22	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab folgendes raus: $\begin{eqnarray} f'(x)=x^{x} \cdot (ln \mid x \mid +1 ) \end{eqnarray}$ kann man damit auch weiter gehen und die ableitung von funktionen bestimmen wie g(x)=x^x^x^... also bei denen der exponent immer wieder potentiert wird?
30.10.2005, 11:52	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja kann man, ist aber etwas komplizierter: Es ist also $\begin{eqnarray} f(x):=x^{x^{x^{x^.}}} \end{eqnarray}$ Nun musst Du die Funktion in geschlossene Form bringen, um sie abzuleiten... Ausserdem bleibt noch festzustellen, für welche Werte sie konvergiert... Es ist ja $\begin{eqnarray} f(x)=:x^{f(x)} \end{eqnarray}$ Nun musst Du diese Gleichung nach f(x) auflösen. Dazu benötigst Du die Lambert-W Funktion Diese ist definiert als Umkehrfunktion der Funktion $\begin{eqnarray} g(x):=x\mathrm{e}^x \end{eqnarray}$ und man schreibt $\begin{eqnarray} h: \left[\left.\left.-\frac{1}{\mathrm{e}};\infty\right[ \to \right]-1;\infty\right[ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \mapsto \mathrm{W}(x) \end{eqnarray}$ Versuch nun mal, folgende Zeile nach f(x) umzustellen: $\begin{eqnarray} f(x)=:x^{f(x)} \end{eqnarray}$ EDIT: Seltsame Schreibweise entfernt; Danke Jan!
30.10.2005, 11:57	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
@system-agent Den Betrag kannst du dort weglassen, weil die Funktion selbst nur für $\begin{eqnarray} x\geq 0 \end{eqnarray}$ definiert und sogar nur für $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ differenzierbar ist. Gruß MSS
30.10.2005, 14:20	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
@system agent: Jetzt weiss ich nicht, ob wir uns richtig verstanden haben oder nicht: Willst Du $\begin{eqnarray} f(x):=x^{x^x}={}^3x \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} f(x):={}^nx \end{eqnarray}$ ableiten oder wirklich $\begin{eqnarray} f(x):=\lim\limits_{n \to \infty} {}^nx = x^{x^{.^.}} \end{eqnarray}$
31.10.2005, 19:04	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
du hast mich schon richtig verstanden, ich meinte $\begin{eqnarray} f(x):=\lim_{n \to \infty} x^{n} \end{eqnarray}$ aber ich hab keine ahnung was die lambert-w funktion sein soll
01.11.2005, 19:30	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
So wie es jetzt dasteht wirst Du es aber sicher nicht meinen, denn allgemein gilt für $\begin{eqnarray} f(x):=x^n,f'(x)= n \cdot x^{n-1} \end{eqnarray}$ Folgerichtig also für $\begin{eqnarray} f(x):=\lim_{n \to \infty} x^n \\ f'(x)=f(x) \end{eqnarray}$ Aber Du meinst f(x)=x^x^x^x^x^x^x^.... Zur Lambert-W-Funktion: Sie ist die UMKEHRFUNKTION der Funktion $\begin{eqnarray} g(x):=x\mathrm{e}^x \end{eqnarray}$ Mit dieser kannst Du eben Gleichungen wie die zuvor erwähnte auflösen. Versuch das doch mal, und wenns nicht klappt kannst Du ja nochmals nachfragen... Denke immer daran, dass x=e^(ln x)... Das bringt in diesem Fall schon viel. Der unendliche Exponentialturm kann dann mittels Kettenregel abgeleitet werden, nur muss man dazu erst die Ableitung der W(x)-Funktion kennen, aber das ist nur halb so schwierig: Versuche es mal mit dem Satz über die Ableitung von Umkehrfunktionen. Du machst es also gleich, wie wenn Du arcsin undarccos ableitest... edit: f'(x) = x^{n-1} noch ein n vor das x^{n-1} gesetzt. Da ich weiß, dass es bei dir nur ein Schreibfehler ist, hab ichs mal direkt verbessert und nicht kommentiert! (Jan)

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