Fixpunkte bei Gruppenoperationen

28.10.2005, 23:57

Jackdaniels

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Fixpunkte bei Gruppenoperationen

Hallo, ersuche mir die Hilfe bei folgendem Problem:
G = Gruppe der Ordnung 55, X = 39 elementige Menge
Zeige: Jede Operation von G auf X hat mindestens einen Fixpunkt.

Also soviel weiss ich schon mal:
Fixpunkt: es existiert ein x aus X mit g.x = x für alle g aus G
Die Bahnengleichung ist hier wohl das richtige Stichwort:
55 = |G| = | Stab_G (x) | * |G.x|
55 = 5 * 11, also kann neben dem trivialen 1 * 55 nur länge der bahn 5 oder 11 sein...
hm nicht sehr weit, weiss jemand wie ich weiter verfahren soll?

29.10.2005, 21:37

Jackdaniels

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hm evtl kann das einer in den algebra bereich verschieben?! danke

29.10.2005, 21:52

Mathespezialschüler

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Ich denke, da liegt nicht das Problem. In HöMa ist es schon sehr gut aufgehoben. Also, du musst ja irgendwie zeigen, dass es ein $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} |\mathrm{Stab}_G(x)|=55 \end{eqnarray*}$ . Was ich mich im Moment noch frage, ist, warum $\begin{eqnarray*} |X|=39 \end{eqnarray*}$ ist. Das muss man ja irgendwie benutzen, fragt sich nur, wie man das da einbaut.

Gruß MSS

29.10.2005, 22:31

JochenX

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die aufgabe kommt mir bekannt vor
sollte das nicht recht simpel zu lösen sein, da die summe aller bahnenkardinalitäten 39 geben muss nach bahnbilanzformel, oder so?

verwirrt

verwirrt

uff ist das lange her
haut mich, wenn das unsinn ist

29.10.2005, 22:39

AD

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Also ich haue bestimmt nicht, da ich die Aufgabe bis jetzt gar nicht verstehe - vielleicht, weil ein paar Angaben fehlen: Was ist z.B. eine "Operation von G auf X" ?

Das ganze würde für mich höchstens dann Sinn machen, wenn G von vornherein als Elemente Funktionen $\begin{eqnarray*} g: X\to X \end{eqnarray*}$ enthält, und die Gruppenoperation $\begin{eqnarray*} g_1\circ g_2 \end{eqnarray*}$ als Verkettung solcher Funktionen definiert ist, o.ä.

29.10.2005, 22:45

papahuhn

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Falls für eine Abbildung $\begin{eqnarray*} G \times M \rightarrow M : (g,m) \mapsto gm \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} 1m = m \wedge g(hm) = (gh)m\ \forall m \in M\ \forall g,h \in G \end{eqnarray*}$ , dann nennt man diese Abbildung eine Operation der Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ auf der Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ .

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29.10.2005, 22:47

AD

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Wieder was gelernt, danke!

29.10.2005, 23:07

Mathespezialschüler

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Cool! Ich wusste mal was, was Arthur nicht wusste (Wunder!!! Big Laugh

Big Laugh

). Das kommt aber (leider) nur daher, dass ich das in einem Mathecamp hatte, als dort der Beweis von Abel über die Nichtlösbarkeit von Gleichungen fünften und höheren Grades durch Radikale in meiner Gruppe behandelt wurde.

Gruß MSS

29.10.2005, 23:21

AD

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Ich hatte ja schon mal in einem Thread, wo man mich für einen "Zahlentheorieexperten" gehalten hatte, mal erklärt, dass ich in derlei Dingen (Gruppentheorie usw.) im Wesentlichen nur Kenntnisse der Grundvorlesung Algebra habe. Das hatte mir da keiner geglaubt - das ändert sich jetzt vielleicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT: Immerhin ist mir jetzt klar, warum das hier mit einer Fixpunktfreiheit nicht gehen kann.

29.10.2005, 23:34

Mathespezialschüler

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Was ist denn jetzt schon wieder eine Fixpunktfreiheit? verwirrt

verwirrt

Gruß MSS

29.10.2005, 23:50

JochenX

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Was ist denn jetzt schon wieder eine Fixpunktfreiheit?

das hauptwort zu fixpunktfrei, also ohne fixpunkt

Augenzwinkern

Augenzwinkern

@arthur: dann hören wir später algebraische geometrie zusammen smile

smile

29.10.2005, 23:56

Mathespezialschüler

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Das hieße doch aber, dass Arthur die Aufgabe schon gelöst hätte. Denn er hat ja gesagt:

Zitat:

Original von Arthur Dent
EDIT: Immerhin ist mir jetzt klar, warum das hier mit einer Fixpunktfreiheit nicht gehen kann.

Gruß MSS

30.10.2005, 00:14

AD

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So ist es. Nachdem ich den Begriff jetzt kenne, ist vollkommen klar, dass G isomorph zu einer Untergruppe der Permutationsgruppe auf X ist. Ein g aus G kann man also auch in Zyklen schreiben. Da das kgV der Zyklenlängen die Ordnung dieses Elements g ist, und diese Ordnung wiederum ein Teiler der Gruppenordnung 55 sein muss, dürfen nur Zyklen der Länge 1, 5 und 11 auftauchen. Bei Fixpunktfreiheit dürfen das sogar nur 5 und 11 sein, also nicht 1 - und das ist wegen der Unlösbarkeit von

$\begin{eqnarray*} 5u+11v=39 \;\mbox{mit}\; u,v\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$

aber unmöglich.

So reime ich mir das trotz meiner Bildungslücken zusammen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.10.2005, 00:21

Mathespezialschüler

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Sorry, dass ich so viel frage, aber was ist denn die Permutationsgruppe auf X? Das mit den Zyklen bezieht sich dann doch auf eine zyklische Gruppe oder? Und was ist eine Zyklenlänge? verwirrt

verwirrt

Gruß MSS

30.10.2005, 00:25

AD

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Nicht ganz - das sollte sich auf die Zyklendarstellung einer Permutation beziehen.

EDIT: Oh diese Rechtschreibfehler.

30.10.2005, 12:29

Jackdaniels

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RE: Fixpunkte bei Gruppenoperationen
Huuuh, *sich erschreckt, was über Nacht passiert ist*
Bin gerade selbst auf die Lösung gekommen. Ich trage mal zusammen, wie ich das hatte Augenzwinkern

Augenzwinkern

55 = |G| = | Stab_G (x) | * |G.x| (Bahnengleichung)
wobei: G.x = {g.x | g aus G} (Bahn oder Orbit genannt) ist und Stab_G (x) = {g | g.x = x} (Stabilisator)

Es gilt außerdem:
G = Stab_G(x) <=> es ex. ein x mit g.x = x für alle g in G.
d.h. auch |G| = |Stab_G(x) = 55 <=> |G.x| = 1, wobei G.x ={x} wäre
Alles in allem bedeutet es: Man hat einen Fixpunkt genau dann wenn die Bahnlänge eines Elementes (also: |G.x|) gleich 1 ist.

Weiter ist nun wichtig die folgende Gleichung: |X| =
Damit es keinen Fixpunkt gibt, müsste 39 =|X| = Summe aller verschiedenen Bahnen aus X (also: |G.x_1| +| G.x_2| .... falls verschieden) nicht aus Summanden = 1 bestehen...
Aber: 55 = |G| = | Stab_G (x) | * |G.x| , |G.x| kann dann nur 5 oder 11 sein (da |G.x| teilt |G| gelten muss)...nun kommt man zur Gleichung...
39 = a*5 + b* 11
(aus: 39 =|X| = Summe aller verschiedenen Bahnen aus X)
und sieht das dies für natürliche a, b nicht möglich ist....
d.h. man braucht eine Bahn der Länge 1 um die Gleichung oben zu erfüllen
=> Behauptung

30.10.2005, 13:30

AD

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Abgesehen davon, dass ich von den Begriffen "Bahnen" und "Stab" hier keine Ahnung habe, scheint diese Argumentation isomorph zu meiner oben zu sein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.10.2005, 13:38

Mathespezialschüler

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@Arthur
Für eine solche Operation auf der Menge $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ heißt für $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ die Menge

$\begin{eqnarray*} Gx:=\{gx\ |\ g\in G\} \end{eqnarray*}$

die Bahn von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ unter der Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ . Desweiteren heißt

$\begin{eqnarray*} \mathrm{Stab}_G(x) :=\{g\in G\ |\ gx=x\} \end{eqnarray*}$

der Stabilisator von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ .

Zunge

Zunge

Augenzwinkern

Gruß MSS

30.10.2005, 13:46

AD

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Nachdem ich gemerkt habe, dass zumindest für endliche X dieses G isomorph zu einer Untergruppe der Permutationsgruppe ist, habe ich eigentlich keine Lust, mir diese ganzen Begriffe zu merken, die ich sowieso nie brauche.

Aber trotzdem Danke. smile

smile

30.10.2005, 13:56

Mathespezialschüler

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Bitte.

Augenzwinkern

Ganz auswendig konnt ichs auch nicht mehr, aber so ungefähr hatte ich schon noch ne Ahnung.
Woher weiß man eigentlich, dass

$\begin{eqnarray*} 5u+11v=39 \;\mbox{mit}\; u,v\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$

keine Lösungen hat?

Gruß MSS

30.10.2005, 14:49

papahuhn

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Bitte. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ganz auswendig konnt ichs auch nicht mehr, aber so ungefähr hatte ich schon noch ne Ahnung.
Woher weiß man eigentlich, dass

$\begin{eqnarray*} 5u+11v=39 \;\mbox{mit}\; u,v\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$

keine Lösungen hat?

Gruß MSS

u muss er nur bis 8, und v nur bis 4 durchtesten.

30.10.2005, 23:21

AD

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Zitat:

Original von LOED
in IN hats natürlich genug lösungen

Wie bitte?

$\begin{eqnarray*} 5u+11v=39 \;\mbox{mit}\; u,v\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$

hat keine Lösungen! Mit $\begin{eqnarray*} u,v\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ mag es genug Lösungen haben, aber doch nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ! geschockt

geschockt

31.10.2005, 00:46

JochenX

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ARGH, bin ich ne backpflaume
ich werde den post oben LÖSCHEN, der ist ja sowas von daneben

also nicht wundern, arthurs post sieht jetzt unsinnig aus, aber er hat großen unfug von mir aufgedeckt

und er sprach: wer lesen kann, ist klar im vorteil
ich kanns nicht

edit: eigenen beitrag oben schnell in den beitragshimmel (oder die beitragshölle verschoben)
*beitrag gelöscht*

31.10.2005, 22:56

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von LOED
sollte das nicht recht simpel zu lösen sein, da die summe aller bahnenkardinalitäten 39 geben muss nach bahnbilanzformel, oder so?

Zitat:

Original von Jackdaniels
Weiter ist nun wichtig die folgende Gleichung: |X| =
Damit es keinen Fixpunkt gibt, müsste 39 =|X| = Summe aller verschiedenen Bahnen aus X (also: |G.x_1| +| G.x_2| .... falls verschieden) nicht aus Summanden = 1 bestehen...
...
(aus: 39 =|X| = Summe aller verschiedenen Bahnen aus X)

Hmm, wir haben doch 39 verschiedene Bahnen und jede hat eine Kardinaltität $\begin{eqnarray*} \geq 1 \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} |X|=\sum_{k=1}^{39}~|Gx_i| \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} X=\{x_i\ |\ i=1,2,\ldots ,39\} \end{eqnarray*}$ wäre, dann würde doch schon sofort

$\begin{eqnarray*} |Gx_i|=1 \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} i=1,2,\ldots ,39 \end{eqnarray*}$ folgen, was doch vollkommener Quatsch ist. verwirrt

verwirrt

Gruß MSS

01.11.2005, 15:23

Jackdaniels

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Wir wissen nur das alle verschiedenen Bahnlängen = 39 ist, wenn man sie aufaddiert. Sie könnten: 1,5 oder 11 sein. Das hatten wir vorher festgestellt, da die Gleichung mit der 55 stimmen musste....

01.11.2005, 23:22

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Jackdaniels
Wir wissen nur das alle verschiedenen Bahnlängen = 39 ist, wenn man sie aufaddiert.

Richtig: Wir summieren doch aber 39 Zahlen (die 39 Bahnlängen eben) auf und da jede eine natürliche Zahl ist, müssen alle schon 1 sein, denn sonst wäre die Summe größer als 39 oder? verwirrt

verwirrt

Gruß MSS

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