Summe über Gaußklammern (Zahlentheorie)

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akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »
Summe über Gaußklammern (Zahlentheorie)
Bei einer Übungsaufgabe in der Zahlentheorie bin ich hängengeblieben:

Sei p eine Primzahl der Form p = 4k + 1, mit geeignetem ganzen k, dann gilt:



(EDIT: Die Gaußklammer ist hier eine untere Gaußklammer, hatte ich vergessen zu erwähnen)

Seit mehreren Tagen hocke ich an dieser Aufgabe und komme so gut wie nicht voran.

Als Tipp ist gegeben, dass die Summe der quadratischen Reste modulo einer Primzahl p (p= 4k+1) stets den Wert annimmt. Allerdings kann ich damit derzeit recht wenig anfangen.

Könnt ihr mir helfen? bzw. es würde schon ein hinreichend aussagekräftiger Tipp genügen.

Gruß, Carsten
akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bedanke mich herzlichst dafür, dass man im Forum die Relevanz meines Problems zu schätzen gewusst hat und es mir durch Unterlassung jeglicher Tipps ermöglicht hat, eigenständig eine Lösung zu finden, wie auch schon bei einem vorigen Probleml. Der Fragesteller dankt herzlich.

Gruß,
Carsten
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ja sein, dass du dich für den Größten hältst, aber für mich klingt dieser Kommentar schon sehr pubertär.

Wahre Größe könntest du zeigen, wenn du deinen Lösungsweg hier vorstellst, statt hier nur sarkastisch nachzutreten. Mit letzterem beeindruckst du hier keinen.
akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »

Einverstanden, der Beweis läuft wie folgt:

Man betrachtet zunächst folgenden Term:



Es sei . p sei wie in der Aufgabenstellung gefordert.

Man überlegt sich dann recht leicht, dass .

Außerdem erkennt man, dass der Term zählt, wieviele positive Quadratzahlen kleiner sind als ip.

Nun stellt man fest, dass angibt, wieviele positive Vielfache von p kleiner sind als . Somit gibt der Term für an, wieviele Terme der Form ( größer sind als bzw. wieviele Terme die Quadratzahl "mitzählen".

Damit schließt man, dass:



Die zweite Summe lässt sich schließlich zahlentheoretisch "leicht" auswerten:



(*)

Der Term trifft in der Summe jeden quadratischen Rest modulo p genau einmal. Diese Reste summieren sich, laut Anmerkung, zu auf, somit ergibt sich für die Summe:

(*) =

Dies berechnet sich jetzt nach einigen Umformungsschritten zu (p²-1)/12. (wenn man beachtet, dass k = (p-1)/4)


P.S.: Weder wollte ich als groß erscheinen, noch wollte ich irgendwen heruntermachen. Was ich lediglich wollte, war etwas zu kritisieren, das ich desöfteren hier im Forum betrachte, nicht nur bei mir - dass Personen mit schwereren Fragen schlichtweg ignoriert werden anstatt dass eine gewisse Motivation zur Auflösung dieser Fragen gegeben wird. Selbstverständlich ist mir klar, dass sich dieses Forum auf eher "einfachere" Verständnisprobleme konzentriert, dennoch kann es einen schon ärgern, wenn die eigene Frage ignoriert wird. Ich bitte zu entschuldigen, dass mein voriger Post etwas rüde ausgefallen war, zumal dahinter wohl gewiss ein gewisses Maß an Trotzigkeit meinerseits steckte.
Es ist eben auch schade, dass der tausendste Post zur Frage nach dem Gaußschen Eliminationsverfahren trotzdem noch von vielen Usern beantwortet werden, wohingegen "Neues" schlichtweg ignoriert wird. Mir wurde oft geholfen, zugegeben, nur wurde auch oft genug nicht geholfen bzw. meine Formulierung der Aufgabenstellung kritisiert.
Sofern sich diese Situation als unabänderbar erweist (Arthur, davon darfst du mich nun überzeugen Augenzwinkern ), nehme ich dies auch so hin.

Gruß,
Carsten

EDIT: Kleiner Fehler in einer Formel passiert
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal danke für diese Richtigstellung, ich war doch nach deinem letzten Beitrag ziemlich verärgert. Und vielen Dank für deinen schönen Beweis. Eine Anmerkung zur besseren Lesbarkeit an einer Stelle, wo ich kurz gestolpert bin:

Zitat:
Original von akechi90
Somit gibt der Term für an, wieviele Terme der Form ( größer sind als bzw. wieviele Terme die Quadratzahl "mitzählen".

Gemeint ist sicher dies:

gibt für die Anzahl derjenigen Summenindizes an, für die gilt, was gleichbedeutend mit ist.

Zitat:
Original von akechi90
Damit schließt man, dass:


Sollte für kleinere Geister wie mich vielleicht etwas besser erläutert werden: Die Formel



gewinnt man durch doppeltes Abzählen der Gitterpunktmenge

,

einmal bzgl. fester , und das andere mal bzgl. fester - die eigentliche Kernidee des Beweises. Der Rest ist mehr oder weniger Routine.


Zitat:
Original von akechi90
Was ich lediglich wollte, war etwas zu kritisieren, das ich desöfteren hier im Forum betrachte, nicht nur bei mir - dass Personen mit schwereren Fragen schlichtweg ignoriert

Ich hab diesen Thread damals nicht ignoriert, ich habe sehr wohl kurz versucht, einen Zugang zu finden. Allerdings waren meine Ergebnisse so dürftig, dass ich sie nicht erwähnenswert fand.

"Wenn man keine Ahnung hat, einfach mal Fresse halten." - diesen Spruch von Dieter Nuhr nehme ich gelegentlich für mich in Anspruch, und ich finde, das ist mein gutes Recht, nicht alle Welt an meinen erfolglosen Bemühungen teilzuhaben - ist ja nicht "mein" Thread.

Ich schätze mal, anderen ist es ebenso gegangen, und mehr als eine Handvoll werden es nicht gewesen sein, die sich da überhaupt Gedanken gemacht haben.

Als "Leistungsträger" ist es hier im Forum nun mal so, dass du mehr geben musst als nehmen kannst. Und da muss ich dir sagen, dass du zwar die eine oder andere interessante Problemstellung hier gepostet hast, dich aber meines Wissens nach noch nie wirksam an der Lösung eines von anderen geposteten schweren (!) Problems beteiligt hast. Insofern kam mir dein obiger Vorwurf reichlich egoistisch vor - aber das ist nun im guten Sinne geklärt.

Zitat:
Original von akechi90
bzw. meine Formulierung der Aufgabenstellung kritisiert.

Es ist nichts gegen Kritik einzuwenden, die der sauberen, unmissverständlichen (!) Formulierung einer Problemstellung dient - das siehst du doch auch so? In meinem Alter mögen die Ideen nicht mehr so frisch und forsch sein wie in deinem jugendlichen Sturm und Drang, aber was exakte Formulierungen anbetrifft solltest du vielleicht doch noch den einen oder anderen Vorschlag annehmen statt dich darüber zu empören. smile

Zitat:
Original von akechi90
Es ist eben auch schade, dass der tausendste Post zur Frage nach dem Gaußschen Eliminationsverfahren trotzdem noch von vielen Usern beantwortet werden, wohingegen "Neues" schlichtweg ignoriert wird. Mir wurde oft geholfen, zugegeben, nur wurde auch oft genug nicht geholfen

Es steht dir frei, bei "Hammerproblemen" auch in anderen Foren anzufragen. Erste Wahl ist da sicherlich (man möge mir die Konkurrenzwerbung verzeihen)

http://www.mathlinks.ro


P.S.: Ich habe im Matheboard hier bisher 2 (in Worten: zwei) eigene Anfragen gestellt. Eine davon ist nach längerer Zeit (mehr als ein Jahr) dann doch noch beantwortet worden, als ich nochmal nachgestoßen hatte ... Bei der anderen war wohl nix rauszuholen gewesen.
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