Konvergenz von Reihen

30.10.2005, 19:08

Jan83

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Konvergenz von Reihen

Guten Abend!
Ich mache gerade Analysis HA und habe eine Frage: Es geht darum ob die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~(\frac{2}{2n-1} - \frac{1}{2n}) \end{eqnarray*}$ konvergiert oder nicht. Die beiden einzelnen Teile der Differenz divergieren ja wohl beide. Nun bin ich mir aber nicht sicher, ob das auch für deren Differenz zu trifft.
Die Differenz ist ja die Partialbruchzerlegung von $\begin{eqnarray*} \frac{2n-1}{4n^{2}-2n} \end{eqnarray*}$
Tja und da versagt (bei mir) das Quotietenkriterium da ich als Grenzwert 1 rauskriege. Integration hilft mir auch nicht, da ich es ja nur als PBZ integrieren kann und ich dann wieder auf ln(n) komme und $\begin{eqnarray*} \infty - \infty \end{eqnarray*}$ hilft mir ja nun auch nicht weiter.. Könnte mir vielleicht jemand mal einen Tip geben, wie ich da rangehen muss?

Danke im Vorraus,
Jan

30.10.2005, 19:13

Mathespezialschüler

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Deine PBZ ist falsch! Du musst einfach nur kürzen!

$\begin{eqnarray*} \frac{2n-1}{4n^2-2n}=\frac{2n-1}{2n(2n-1)}=\frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ .

Ist jetzt natürlich die Frage, welche Reihe in der Aufgabe stand.

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{2n-1}{4n^2-2n} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\left(\frac{2}{2n-1}-\frac{1}{2n}\right) \end{eqnarray*}$ ?

Gruß MSS

30.10.2005, 19:22

Jan83

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Es geht um $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~(\frac{2}{2n-1} - \frac{1}{2n}) \end{eqnarray*}$

Aber es gilt doch dann:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~(\frac{2}{2n-1} - \frac{1}{2n}) = \sum_{n=1}^\infty~(\frac{2n-1}{4n^{2}-2n} ) = \sum_{n=1}^\infty ~\frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$

und das ist dann ja divergent, oder? und das mit dem kürzen, hat mir gerade Kopfschmerzen bereitet, da ich mir erstmal richtig doll gegen den Kopf geschlagen hab.

30.10.2005, 19:30

Mathespezialschüler

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Nein, das ist falsch!

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{2n-1}-\frac{1}{2n}=\frac{2\cdot 2n-(2n-1)}{4n^2-2n}=\frac{4n-2n+1}{4n^2-2n}=\frac{2n+1}{4n^2-2n} \end{eqnarray*}$ .

Zu der eigentlichen Reihe:

$\begin{eqnarray*} s_m=\sum_{n=1}^m~\left(\frac{2}{2n-1}-\frac{1}{2n}\right)=\sum_{n=1}^m~\frac{1}{2n-1}+\sum_{n=1}^m~\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\sum_{n=1}^m~\frac{1}{2n-1}+\sum_{n=1}^m~\frac{1}{2n(2n-1)} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt versuch mal, daraus was zu folgern!

Gruß MSS

30.10.2005, 19:39

Jan83

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verstehe leider nicht worauf du hinaus willst. Jetzt würd ich sagen die erste Summe ist divergent, und die zweite konvergent.. worauf sollte ich mein Augenmerk denn richten?

30.10.2005, 19:41

Mathespezialschüler

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Genau das wollte ich hören! Wenn die erste divergiert und die zweite konvergiert, kann dann deine Ausgangsreihe konvergieren? Wenn nein: Warum nicht?

Gruß MSS

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30.10.2005, 19:54

Jan83

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Dann wird wohl der ganze Ausdruck divergieren, denn "uneigentlich" kommt ja jetzt $\begin{eqnarray*} \infty + x | x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ raus und das zusammen ja wohl kaum konvergent. Das kann man jetzt bestimmt noch mathematisch korrekt formulieren. smile

smile

Aber das Prinzip stimmt doch jetzt, oder?

Danke für die Hilfe!
Gruß Jan

30.10.2005, 20:08

Mathespezialschüler

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Ja, das ist richtig. Aber in der Tat geht es etwas korrekter: Würde nämlich $\begin{eqnarray*} s_m \end{eqnarray*}$ konvergieren, so würde wegen der Grenzwertsätze auch

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^m~\frac{1}{2n-1}=s_m-\sum_{n=1}^m~\frac{1}{2n(2n-1)} \end{eqnarray*}$

konvergieren. Widerspruch.

Gruß MSS

30.10.2005, 20:10

Jan83

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Freude

herzlichen Dank!

30.10.2005, 20:36

Jan83

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Ich hätte da noch ne Frage zu ner anderen Aufgabe:

Nämlich ist:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$

konvergent?

30.10.2005, 20:48

n!

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ja,weil man eine sehr einfache Reihe als Majorante benutzen kann

30.10.2005, 20:49

Mathespezialschüler

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Ja, natürlich! Benutze das Quotientenkriterium. Die Reihe konvergiert übrigens gegen $\begin{eqnarray*} \operatorname e-2 \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

30.10.2005, 22:39

Jan83

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Letzte Aufgabe vom HA-Blatt:

Für die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{n} + \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

zeige man:

Die Reihe ist alternierend und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (a(n)) = 0 \end{eqnarray*}$

Die Reihe ist divergent.
Warum ist das Leibniz Kriterium nicht anwendbar?

Die Argumentation ist doch die gleiche wie oben, nicht wahr?

s(m)= $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{n} + \sum_{n=1}^\infty~\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Würde s(m) konvergieren, so würde auch $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ = s(m) - $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ konvergieren.
Widerspruch!

Deshalb ist auch das Leibnizkriterium auf den gesamten Term nicht anwendbar, sondern nur auf $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ . Kann ich das so sagen, oder hab ich schon wieder nen Denkfehler? Hoffe, das kann mir noch jemand sagen, damit ich beruhigt ins Bett gehen kann.

Gruß Jan

30.10.2005, 23:41

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Jan83
Die Argumentation ist doch die gleiche wie oben, nicht wahr?

s(m)= $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{n} + \sum_{n=1}^\infty~\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Du solltest schon

$\begin{eqnarray*} s_m=\sum_{n=1}^m~\frac{1}{n}+\sum_{n=1}^m~\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

schreiben. Nein, die Argumentation ist nicht die gleiche. Du hast zwar gezeigt, dass die Reihe divergiert, aber die anderen beiden Fragen hast du noch nicht beantwortet. Du musst noch zeigen, dass die Reihe alternierend ist! Du sollst ja auch noch begründen, warum du das Leibniz-Kriterium nicht anwenden darf. Nur weil du es auf

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

anwenden kannst, heißt das ja noch nicht, dass du es auf den ganzen Term nicht anwenden kannst. Wenn du gezeigt hast, dass die Reihe divergiert, dann ist natürlich klar, dass man das Leibniz-Kriterium nicht anwenden kann. Du sollst hier aber natürlich anders argumentieren. Du sollst sagen, welche Voraussetzung des Leibniz-Kriteriums nicht erfüllt ist.

Gruß MSS

31.10.2005, 00:04

Jan83

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Sry, hab die ganze Frage hingeschrieben, wollte aber nur zu

"Die Reihe ist divergent.
Warum ist das Leibniz Kriterium nicht anwendbar?"

etwas fragen. Die Partialsummen habe ich auf meinem Blatt schon richtig stehen, da hab ich mich vertippt.
Zu den anderen Pkt.

Um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a(n) = 0 \end{eqnarray*}$

habe ich zunächst die Teilfolge betrachtet, in der ich n=2n , sprich die geraden n's, setze und zeige, dass diese gegen 0 konvergiert und dann natürlich noch für alle ungeraden, GW ebenfalls 0, beide konvergent, deshalb lim a(n)=0

Alternierend einfach damit, dass die geraden immer positiv sind und die ungeraden immer negativ.

Und Leibnizkriterium geht halt deshalb nicht, weil die Reihe ja gezeigter Weise divergent ist. Und weil die Reihe ja gar nicht die geforderte Form $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~(-1)^{n}*a(n) \end{eqnarray*}$ hat.

So, gute Nacht!

31.10.2005, 00:21

Mathespezialschüler

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Wie gesagt: Leibniz sollst du nicht über die Divergenz begründen.
Nur weil es auf Anhieb so aussieht, als hätte sie diese Form nicht, muss das nicht heißen, dass man sie nicht darin umschreiben kann!

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}=(-1)^n\cdot \left(\frac{(-1)^n}{n}+\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \end{eqnarray*}$ .

Deine zweite Begründung ist also falsch.

Gruß MSS

31.10.2005, 00:31

Jan83

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Zitat:

Nur weil es auf Anhieb so aussieht, als hätte sie diese Form nicht, muss das nicht heißen, dass man sie nicht darin umschreiben kann!

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}=(-1)^n\cdot \left(\frac{(-1)^n}{n}+\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \end{eqnarray*}$ .

Deine zweite Begründung ist also falsch.

Gut, dann schreibe ich es in diese Form um und verweise dann auf die fehlende Monotonie, das sollte dann korrekt sein.

Nochmal danke!

31.10.2005, 00:33

Mathespezialschüler

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Genau, dann musst du noch zeigen, dass die Folge in der Klammer nicht monoton fallend ist. Dann bist du fertig. Freude

Freude

Gruß MSS

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