Berechnung Vektorprodukt

31.10.2005, 12:59	user76	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung Vektorprodukt Hallo, kann mir jemand erklären, wie ich zu dem Ansatz: http://mathenexus.zum.de/html/geometrie/vektorprodukt_spatprodukt/Vektorprodukt_images/IMG0714.PNG komme? Wir sprechen das Vektorprodukt vor dem Skalarprodukt durch und ich habe keine Ahnung, wie die Kombination der einzelnen Komponenten sich erklären lässt. Danke
31.10.2005, 13:07	derkoch	Auf diesen Beitrag antworten »
das kreuzprodukt wurde in der determnantenschreibweise hingeschrieben und dann die determinante gestürzt! oder du kannst die detrminante auch nach saurrus berechnen!
31.10.2005, 13:10	PK	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, beim Vektorprodukt wird im Prinzip nur ein zu den beiden gekreuzten Vektoren rechtwinkliger Vektor bestimmt. Mit dem Skalarprodukt findest du u.a den Winkel zwischen zwei Vektoren heraus. Du kannst den Normalenvektor zu zwei Vektoren auch umständlicher (mit dem Skalarprodukt) bestimmen, aber ein paar schlaue Leute haben es schon vereinfacht. Sei nebenbei froh, dass du das Vektorprodukt jetzt schon kennst, dann musst du mit dem Skalarprodukt nicht noch umständlich rumrechnen.
31.10.2005, 13:13	user76	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, aber ich muss weiterfragen: Wie schreibt man das Kreuzprodukt in Determinantenschreibweise?
31.10.2005, 13:30	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann das Vektorprodukt folgendermaßen motivieren: Gesucht ist ein vom Nullvektor verschiedener Vektor $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ , der auf den zwei Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \, , \ \vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ senkrecht steht. Anschaulich ist es klar, daß es da unendlich viele Möglichkeiten gibt, da man über die Länge des Vektors $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ frei verfügen kann. Der Ansatz mit dem Skalarprodukt liefert ein homogenes lineares Gleichungssystem für die Koordinaten $\begin{eqnarray} x_1,x_2,x_3 \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ mit zwei Gleichungen: $\begin{eqnarray} a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_1 x_1 + b_2 x_2 + b_3 x_3 = 0 \end{eqnarray}$ Aus diesen beiden Gleichungen folgt, wenn man das $\begin{eqnarray} (-b_1) \end{eqnarray}$ -fache der ersten zum $\begin{eqnarray} a_1 \end{eqnarray}$ -fachen der zweiten Gleichung addiert, die Gleichung: $\begin{eqnarray} (a_1 b_2 - a_2 b_1) x_2 - (a_3 b_1 - a_1 b_3) x_3 = 0 \end{eqnarray}$ Und diese Gleichung wird erfüllt, wenn man für $\begin{eqnarray} x_2 , x_3 \end{eqnarray}$ die Koeffizienten der Gleichung "über Kreuz" wählt: $\begin{eqnarray} x_2 = a_3 b_1 - a_1 b_3 \, , \ x_3 = a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{eqnarray}$ Setzt man die Werte für $\begin{eqnarray} x_2, x_3 \end{eqnarray}$ in die erste Gleichung ein, so sieht man, daß mit $\begin{eqnarray} x_1 = a_2 b_3 - a_3 b_2 \end{eqnarray}$ auch diese Gleichung gelöst wird. Und die Probe mit den drei Werten für $\begin{eqnarray} x_1,x_2,x_3 \end{eqnarray}$ an den beiden Ausgangsgleichungen zeigt dann, daß diese tatsächlich gelöst werden. Allerdings ist jetzt noch nicht klar, ob und wann bei dieser Wahl gegebenenfalls der Nullvektor entsteht. Man kann dann weiter zeigen, daß die lineare Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray} \vec{a}, \vec{b} \end{eqnarray}$ garantiert, daß $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ nicht der Nullvektor ist. Vielleicht versuchst du dich einmal selber an diesem Beweis.

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