DFT-Matrix über Körpern

Neue Frage »

gazzle Auf diesen Beitrag antworten »
DFT-Matrix über Körpern
Hi,

ich habe hier folgende Aufgabe die ich leider nicht lösen kann, komme einfach nicht weiter.


Zitat:

Bestimmen Sie jeweils eine DFT-Matrix und die dazu inverser Matrix über den Körpern , GF(4) und GF(7).



Also die normale DFT-Matrix und ihre Inverse aufzustellen ist kein Problem....






Doch wie verfahre ich jetzt weiter für , GF(4) und GF(7)?

Kann da jemand helfen ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn eine DFT-Matrix? Erkläre, wie das definiert ist. Vielleicht kann dir dann jemand hier weiterhelfen ...
gazzle Auf diesen Beitrag antworten »

Also gut ich versuche mal zu erklären....


bei der steht die drei für eine 3x3 Matrix und ist das primitive Element.

Die Einträge der Matrix bildet man wie folgt:

und fürs Inverse


daraus ergibt sich dann die Matrix



(Beispiel: Z1SP1 )

Beim Inversen komm noch 1/n vor die Matrix.

hoffe das war verständlich ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit "primitivem Element"? Vermutlich eine primitive dritte Einheitswurzel. Du kannst dann nur noch im speziellen Körper berechnen, sofern dir eine Realisierung vorliegt.


Für :



Für :



Für :
(wobei hier für die Summen der Körper-Eins stehen)


Die jeweils angegebenen sind gerade die von verschiedenen Körperelemente mit .
gazzle Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Für :



Für :



Für :
(wobei hier für die Summen der Körper-Eins stehen)



Und wie komme ich darauf ? Die Vorgehensweise ist mir nicht ganz klar...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Bei löse die Gleichung .

Tip: Die 1 auf die andere Seite bringen und beachten, daß sich bei der Linearfaktor abspalten läßt. Die primitiven Einheitswurzeln sind dann die Nullstellen des zweiten quadratischen Faktors (Mitternachtsformel).


Bei kann man so argumentieren: Die multiplikative Gruppe besteht aus 3 Elementen, neben der 1 aus noch zwei weiteren . Jede Gruppe der Ordnung 3 ist aber zyklisch, d.h. es muß gelten. und sind also beide primitive dritte Einheitswurzeln.


kann man, weil 7 eine Primzahl ist, mit dem Restklassenring der ganzen Zahlen modulo 7 identifizieren. Und in diesem gilt: (wobei und hier für die entsprechenden Restklassen stehen). Also sind und die primitiven dritten Einheitswurzeln.
 
 
gazzle Auf diesen Beitrag antworten »

Ok also habe ich verstanden mit dem Abspalten und den dann zwei Nullstellen. Habe es aber dann auch noch folgende Formel gefunden:



Komme damit auch auf die Werte und es ist einfacher...

Dann habe ich ja damit und
raus und kann dass dann in in die Matrix ensetzen richtig ?


Bei der gehe ich ja auch noch mit dass , Da ja beides ist. Doch was ist hier nun bzw. ? Etwa 2 und 4 ?

Die verstehe ich nur Bahnhof... unsere Lösung dazu lautet wie folgt:



Aber auch das leuchtet mir nicht ein. Fakt ist ja, dass sich aus

Oder ist die Annahme nicht richtig ? Wenn doch dann gibt es ja in nur jeweils eine Lösung und das ist ja 1.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Jede von 1 verschiedene dritte Einheitswurzel ist eine primitive Einheitswurzel. Denn die Potenzen einer jeden erzeugen die volle Gruppe der Einheitswurzeln. Die Werte sind also austauschbar.


Bei kannst du wählen, dann ist .
Oder du kannst wählen, dann ist .
Probier's aus (direktes Nachrechnen).


Bei kannst du wählen, dann ist .
Oder du kannst wählen, dann ist .


Bei hast du eine spezielle Realisierung dieses Körpers angegeben, und zwar als Polynomring über dem Körper mit zwei Elementen, faktorisiert nach dem von erzeugten Ideal . Deine , genauer: ihre Äquivalenzklassen modulo , sind meine . Wenn die Überstreichung die Äquivalenzklasse bezeichnet, gilt daher:









Du kannst also auch hier austauschen.
Entweder du wählst , dann ist .
Oder du wählst , dann ist .
gazzle Auf diesen Beitrag antworten »

Ok jetzt ist alles klar ausser das mit GF(4) da hakt es ... irgendwie komme ich da nicht mit traurig
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »