Basis vom Untervektorraum |
02.11.2005, 22:02 | tobi25s | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Basis vom Untervektorraum ich soll im Vektorraum R³ =<E1,E2,E3> mit E1 (1;0;0), E2 (0;1;0) und E3 (0;0;1) die Vektoren At (1;1;t) , B= (1;3;3) und C = (-1;1;0) betrachten. Die Vektoren At, B und C erzeugen für t=1,5 den Untervektorraum U von R³. Ich soll nun zeigen, dass A1,5 und C eine Basis von U bilden ? Wie zeige ich das ?? |
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02.11.2005, 22:10 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn du zeigst, dass du B mit A_1.5 und C ausgedrückt werden kann, dann lässt sich jeder durch A_1.5, B und C erzeugte Vektor auch nur durch A_1.5 und C erzeugen, damit hast du dann deine Basis. |
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02.11.2005, 22:52 | tobi25s | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
da 2* At + C = B ist, bedeutet das automatisch, dass A und C eine Basis von U bildet ?? |
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03.11.2005, 16:12 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, da U durch At, B und C erzeugt wird, und du überall für B 2At+C einsetzen kannst. |
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03.11.2005, 21:04 | tobi25s | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
U kann auch mit Hilfe der in R³ üblichen kanonischen Basis E1,E2,E3 beschrieben werden (X= x1E1+x2E2+x3E3) also: U = Wie bestimme ich die reellen Zahlen p und q ?? |
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03.11.2005, 22:05 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
A_1.5 und C spannen als Basis von U sozusagen eine Ebene auf. Da gemäß der Voraussetzungen für einen Unterraum gilt , hast du auch einen Aufvektor für diese "Ebene", die du nur in Koordinatenform bringen und so normieren musst, dass der Vorfaktor von x_1 eins ist. |
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03.11.2005, 22:08 | tobi25s | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie lautet der "Aufvektor" ?? |
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03.11.2005, 22:11 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Na, . |
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07.11.2005, 21:18 | tobi25s | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
muss ich also auf Koordinatenform bringen ????? |
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07.11.2005, 21:23 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn du schreibst, dann ja. |
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08.11.2005, 20:32 | tobi25s | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also müßte p= 1 und q= - 4/3 lauten !? des weiteren soll ich bei der gegeben Bilinearform f mit f(X,Y)= x1y1 + x1y2 + x2y1 + 2x2y2 - x2y3 -x3y2 +x3y3 beweisen, dass f in R³ kein Skalarprodukt ist, aber in U. ?? |
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08.11.2005, 22:39 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja.
Dass es bilinear ist, wissen wir, weil gegeben ist, dass f eine Bilinearform ist. Beweise zunächst einmal die Symmetrie in ganz durch einfaches Einsetzen und Umstellen, damit hast du die dann auch für bewiesen. Mit der positiven Definitheit bekommst du allerdings bei einem Beweis auf ein Problem, setze dazu auch einfach ein, da sollte dir etwas ins Auge springen, was dir beim Umformen hilft. Dann sollte es dir leicht fallen, ein Gegenbeispiel anzugeben. So weit erstmal, zum Beweis des Skalarprodukts in kommen wir dann. |
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11.11.2005, 19:44 | tobi25s | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
? Symmetrie bedeutet doch (X,Y) = (Y.X) Da lediglich Multiplikations-Faktoren "gedreht" werden, ist die Symmetrie gegeben (Kommutativgesetzt). ?? |
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11.11.2005, 20:05 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja klar, die Symmetrie ist kein Problem. Damit hast du schon mal gezeigt, dass diese Eigenschaft des Skalarprodukts in und damit auch in gilt. Worum es aber eigentlich bei der Aufgabe geht:
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11.11.2005, 20:54 | tobi25s | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hmm, alle Skalarprodukte sind positiv (egal ob (A;A) , (B;B) oder (C;C) ) |
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11.11.2005, 20:59 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja. Zur positiven Definitheit gehört aber auch , und da stößt du in auf Probleme. Warum? |
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11.11.2005, 23:06 | tobi25s | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
? für X= (0;0;0) ist das Skalarprodukt = 0 |
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11.11.2005, 23:53 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja. Darf es auch. Verstehst du die Aufgabenstellung überhaupt, oder ist die es, die die Probleme bereitet? |
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12.11.2005, 12:19 | tobi25s | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich soll die Vorraussetzungen für Skalarprodukte prüfen - f(X;Y) = f(X;Y) für alle X,Y - f(X,X) größer Null für alle X |
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12.11.2005, 12:24 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
- f(X, X) = 0 nur für X = 0 |
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12.11.2005, 22:38 | tobi25s | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das Problem ist also, dass (X,X)= 0 nicht nur für X=0 gegeben ist ? |
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12.11.2005, 22:41 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Richtig. Gib ein Beispiel dafür an, um zu beweisen, dass diese Voraussetzung nicht erfüllt ist. |
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13.11.2005, 12:10 | tobi25s | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
z.B. : X = (1;-1;1) |
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13.11.2005, 12:46 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
; wenn man dein einsetzt, erhält man . |
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13.11.2005, 15:07 | tobi25s | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hmm, also für X = (-1;1;1) |
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13.11.2005, 15:56 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zum Beispiel, ja. Jetzt musst du diese Eigenschaft nur noch für beweisen, dann hast du gezeigt, dass ein Skalarprodukt in ist. Löse dafür deine Gleichung für nach einer der drei Variablen auf und setze in das Skalarprodukt ein. |
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16.11.2005, 21:21 | tobi25s | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hmm, U in das Skalarprodukt eingesetzt, ergibt nach meiner Rechnung: = 4/3 X3 + (X2-X3) ist das richtig ? |
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