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03.11.2005, 11:32	VinSander82	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweise Hallo alle zusammen : ich hab ein kleines Pröbelchen. ich soll beweisen, dass die Anzahl aller durch 3 teilbaren natürlichen Zahlen stimmt mit der Anzahl der ganzen Zahlen überein.. Lg Vinsander
03.11.2005, 11:34	Egal	Auf diesen Beitrag antworten »
Finde eine bijektive Abbildung die die beiden Mengen aufeinander abbildet.
03.11.2005, 11:39	DGU	Auf diesen Beitrag antworten »
du kannst auch jeweils eine Bijektion der beiden Mengen auf die nat. Zahlen suchen
03.11.2005, 17:21	VinSander82	Auf diesen Beitrag antworten »
danke jungs aber könnt ihr mir kurz erläutern wie so ne bijektion funktioniert?
03.11.2005, 18:26	Egal	Auf diesen Beitrag antworten »
Klar. Beispiel es gibt gleich viele Gerade Zahlen wie es natürliche Zahlen gibt. Beweis: Sei G die Menge der geraden Zahlen N wie üblich die Menge der natürlichen Zahlen. Dann ordne ich die Elemente aus N bijektiv elementen aus G zu mit der Vorschrift $\begin{eqnarray} N\rightarrow G:x\mapsto 2x \end{eqnarray}$ Damit hab ich eine bijektive Abbildung der beiden Mengen aufeinander also sind es gleich viele.
04.11.2005, 15:43	VinSander82	Auf diesen Beitrag antworten »
könnt ihr vielleicht mal so erklären das auch normal - stärbliche es verstehen oder ist N ---> G : x --> 2x die Lösung wie hab ich dieses bewiesen, bitte jungs ich check das net
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04.11.2005, 16:33	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuche erst einmal zu verstehen, worum es geht - ganz ohne Formel! Schreibe die ganzen Zahlen der Reihe nach auf (jedenfalls ihren Anfang): $\begin{eqnarray} 0,1,-1,2,-2,3,-3,\ldots \end{eqnarray}$ Und genau darunter schreibst du die Reihe der Dreierzahlen hin. Und wenn du jetzt von jeder Zahl der oberen Zeile einen Doppelpfeil zur darunter stehenden Zahl der unteren Zeile zeichnest, hast du deine Bijektion. Zu jeder ganzen Zahl findest du eindeutig eine Dreierzahl und zu jeder Dreierzahl eindeutig eine ganze Zahl. Voilá! Was du jetzt vielleicht noch gerne hättest, wäre eine formelmäßige Beschreibung der ganzen Angelegenheit. Probiere das einmal selber herauszufinden.
04.11.2005, 17:55	VinSander82	Auf diesen Beitrag antworten »
heisst es vielleicht : wenn zwei Mengen , wie hier N und Z sinfd gleichmächtig, wenn es Bijektion zu N ---> Z gibt. weiss aber nicht wie ich das als formel hinschreiben soll vielleicht so: N --> Z : x --> 3x ???
04.11.2005, 19:32	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du darauf bestehst: Die von Leopold angegebene Abbildung $\begin{eqnarray} f:\;\mathbb{N}\to\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ kann man z.B. so schreiben: $\begin{eqnarray} f(n) = \frac{1-(-1)^n(2n+1)}{4} \end{eqnarray}$
05.11.2005, 02:20	VinSander82	Auf diesen Beitrag antworten »
wie bist du auf die formel gekommen ?? ich nmuss die ganze sache beweisen können setze ich jetzt z.B. für n = ( 3, 6, 9, 12, 15, 18, .....)
05.11.2005, 10:04	Egal	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht gehen wir die Sache falsch an. Wofür brauchst du diesen Beweis denn? Ist das für die Schule? Studierst du Mathematik? und ganz wichtig sagt dir abzählbarkeit etwas?
05.11.2005, 14:20	VinSander82	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin Student, und das haben wir als Aufgabe bekommen mit noch ein paar andreen Aufgaben. abzählbarkeit sagt mir erstmal so noch nix
06.11.2005, 23:51	VinSander82	Auf diesen Beitrag antworten »
bitte jungs ich muss das verstehen bis montag hat keiner von euch ne Lösung parat Ich versuchs die ganze zeit nur,habs net geschafft
07.11.2005, 07:12	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du mußt doch nur noch alles zusammensetzen - ein bißchen Eigeninitiative! $\begin{eqnarray} D = \{ \text{Dreierzahlen} \} = \{ 3 , 6 , 9 , \ldots \} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} = \{ 0 , 1 , -1 , 2 , -2 , \ldots \} \end{eqnarray}$ Erst werden die Dreierzahlen durch 3 geteilt - du erhältst die natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray} \geq 1 \end{eqnarray}$ . Dann wird 1 abgezogen - du erhältst die ganzen Zahlen $\begin{eqnarray} \geq 0 \end{eqnarray}$ . Dann kommt Arthurs Abbildung $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ - du erhältst die ganzen Zahlen: $\begin{eqnarray} \varphi: \ D \to \mathbb{Z} \, , \ \ \varphi(k) = f\left( \frac{k}{3} - 1 \right) \end{eqnarray}$ Da man nun eine bijektive Abbildung $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ zwischen $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ hat, sind diese beiden Mengen gleichmächtig.
16.11.2005, 20:06	VinSander82	Auf diesen Beitrag antworten »
danke erstma für eure mühe das könnte man aber auch so machen: 6z für z > 0 und -6z + 3 für z < 0

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