Ziehen ohne Zurücklegen

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Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »
Ziehen ohne Zurücklegen
Hallo zusammen!

Mit folgender Aufgabe hab ich so meine Probleme.

Wir betrachten eine Urne mit N=15 Kugeln, von denen r=10 rot und s=5 schwarz sind.
Es wird nun N-mal zufällig ohne Zurücklegen unter Beachtung der Reihenfolge eine Kugel aus der Urne gezogen.
Geben Sie ein stochastisches Modell für dieses Experiment an und berechnen Sie für die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

a) : Im i-ten Zug wird eine rote Kugel gezogen,
b) : Im i-ten und im j-ten Zug wird jeweils eine rote Kugel gezogen.
c) Man löse a) und b) für allgemeine r,s,N aus IN mit r+s=N.

Da ja hier nach der Wahrscheinlichkeit bezogen auf einen bestimmten Zug gefragt ist, finde ich dazu keinen vernünftigen Ansatz. Ferne frage ich mich ob es hier etwas bringt von einer hypergeometrischen Verteilung auszugehen, da man mit dieser ja nichts über die Wahrscheinlichkeit in einem bestimmten Zug aussagen kann.
bil Auf diesen Beitrag antworten »

hi...
fange mal mit der a) an. die anderen sind ja mehr oder weniger gleich.
man soll von die bestimmen.
dann ist
was danach gezogen wird ist ja egal
erster zug kann rot oder schwarz sein, also muss man die wahrscheinlichkeiten addieren. jetzt rechne mal alle aus und schau dir die wahrscheinlichkeiten(ergebnisse) an. wenn du die verstanden hast sollte b) und c) nicht mehr so schwer sein.
gruss bil
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi

Naja, ausrechnen bis i=15 wollte ich ja gerade vermeiden, aber anscheinend kommt für jedes i die gleiche Wahrscheinlichkeit von raus. Wie kann ich das denn jetzt begründen ? Mir würde nur einfallen, dass es für jeden Fall, dass beim i-ten Zug eine rote Kugel gezogen wird, günstige Möglichkeiten und Möglichkeiten insgesamt bei 15 Zügen gibt. (Also P=) Aber ich dachte man könnte die Formel nur bei LaPlace Wahrscheinlichkeiten anwenden.

Hättest du oder jemand anderes vielleicht einen Tipp für mich?

Vielen Dank schon mal bis dahin @bil

Gruß Björn
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Also wir haben diese Aufgabe heute in der Mathe-Übung in der Uni vorgerechnet bekommen und es wurde für diese Aufgabe doch tatsächlich als Wahrscheinlichkeitsmodell das LaPlace Model zugrunde gelegt.
Aber jetzt verrate mir doch mal einer warum das bei einem Experiment mit Ziehen ohne Zurücklegen funktionieren soll, da ja mit jedem weiteren Zug z.B. das Ergebnis "rote Kugel" immer eine kleinere Trefferwahrscheinlichkeit haben kann und eben beim Ziehen ohne Zurücklegen doch keine konstante Trefferwahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis vorliegen kann.
Oder habe ich eine falsche Vorstellung von "gleichwahrscheinlich" ?

Wäre nett wenn mir das jemand erklären könnte.

Danke.

Gruß Björn
bil Auf diesen Beitrag antworten »

gleichwahrscheinlich bzw. laplace experiment ist bei ziehen ohne zurücklegen bzw. urnenmodel schon richtig. du darfst nicht die wahrscheinichkeit zwischen den zügen oder farben betrachten. das heisst egal wieviel kugeln schon weg sind, jede kugel hat die gleiche wahrscheinlichkeit gezogen zu werden. es geht nur um die gleichwahrscheinlichkeit eine kugel zu ziehen, nicht um die wahrscheinlichkeiten von rot und schwarz(sonst wäre es auch bei ziehen mit zurücklegen kein laplace wenn die anzahl von rot und schwarz nicht gleich ist). jede kugel egal ob schwarz oder rot ist quasi gleichgestellt beim ziehen.
hast du es verstanden? ist glaub ich etwas schlecht von mir formuliert aber vll reicht es ja...
mfg bil
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann unterliegt doch eigentlich jedes Zufallsexperiment einer LaPlace Verteilung, es sei denn es wird durch irgendwelche äußeren Einflüsse unvorhersehbar beeinflusst. (unterschiedliche Masseverteilungen, verschieden große Flächen, Oberflächenstruktur, oder auch unterschiedliche Windrichtungen.....)
Sehe ich das richtig?

Dann verstehe ich allerdings die ganzen anderen Wahrscheinlichkeitsverteilungen nicht. Warum gibt es die dann überhaupt? (Etwa wegen Experimenten, welche durch äußere Einflüsse nicht dem puren Zufall unterliegen?)

Beispiel: Hypergeometrsiche Verteilung beim Lotto 6 aus 49 (Ziehen ohne Zurücklegen).
Dazu wird doch immer eine hypergeometrische Verteilung zugrunde gelegt. Aber nach deiner These hat doch dann auch jede Kugel die gleiche Chance gezogen zu werden (LaPlace).

Was sind somit denn eindeutige Merkmale und wo liegt überhaupt der Sinn der verschiedenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen?
(Geometrische Verteilung, Hypergeom. Vert., Normalverteilung, Binomialverteilung......)

Zitat:
(sonst wäre es auch bei ziehen mit zurücklegen kein laplace wenn die anzahl von rot und schwarz nicht gleich ist).


Ich dachte halt, dass unabhängig wieviele rote und schwarze Kugeln es gibt, beim Ziehen mit Zurücklegen bei jedem Zug dieselbe Anzahl von schwarzen und roten Kugeln gegeben hat (wegen Zurücklegen), und dass das ein Indiz dafür ist, immer gleichwahrscheinlich eine bestimmte Farbel zu ziehen.

Wär nett wenn du mir dazu nochmal etwas schreiben könntest.

Gruß Björn
 
 
bil Auf diesen Beitrag antworten »

ok... ich glaub ich versteh jetzt dein denkfehler... du verwechselst laplace experminent mit der gleichverteilung. laplace experiment ist keine wahrscheinlichkeitsverteilung.

hier mal ein link was wahrscheinlichkeitsverteilung überhaupt sind:
http://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsverteilung


mal zu deinem bsp lotto.

also schauen wir uns das lottoverfahren mal an. es ist eine urne aus der kugeln ohne zurücklegen gezogen werden. keine kugel wird mit höherer oder niedriger wahrscheinlichkeit gezogen als die anderen kugeln.==>laplace experiment.fertig...
jetzt kommt die verteilung ins spiel und die hängt davon ab was man überhaupt mit der urne machen will bzw. was gefragt ist (z.b die wahrscheinlichkeit von einer kugelnr, die wahrscheinlichkeit 6 aus 49, die wahrscheinlichkeit nur gerade nr zu ziehen, usw)

6 aus 49 siehe hypergeometrische verteilung(wenn z.b urne mit zurücklegen wäre, wäre es die binomialverteilung)
http://de.wikipedia.org/wiki/Hypergeometrische_Verteilung

hier lies dir mal auch z.b die beiden verteilungen durch dann siehst du glaub ich den unterschied der fragestellung
http://de.wikipedia.org/wiki/Diskrete_Gleichverteilung
http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung

sollte es nicht klar sein oder du die links nicht ganz verstehen kann ich nochmal ein kleines bsp machen das es noch anschaulicher macht.

gruss bil
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe du hast noch ein wenig Geduld mit mir.
Ich schreib jetzt nochmal durchnumeriert auf, wie ich die Dinge jetzt sehe und es wäre nett, wenn du zu jeder Nummer schreiben könntest, ob ich recht habe oder nicht.

1)

LaPlace Experiment: Versuch, bei dem jedes mögliche Ergebnis gleichwahrscheinlich ist

Bernoulli-Experiment: Versuch, der genau zwei mögliche Ergebnisse hat.

Das wären so die Typen von Experimenten, die mir einfallen.
Gibts noch andere Experimentarten?

2)

Wahrscheinlichkeitsverteilungen ordnen jedem Ergebnis eine bestimmte Wahrscheinlichkeit zu:

LaPlace-Verteilung: Ordnet jedem Ergebnis eines LaPlace Experiments die gleiche Wahrscheinlichkeit zu

Binomialverteilung: Ordnet bei einem Bernoulli-Experiment einem Treffer die WK p und einer Niete die WK 1-p zu

Hypergeometrische Verteilung: ???
Wie könnte ich das denn am Besten formulieren? Wem ordnet diese Verteilung was zu? Ich verstehe zwar, dass man sie bei Urnenmodellen mit Ziehen ohne Zurücklegen verwendet, aber das wäre ja nur ein Anwendungsbeispiel und keine Formulierung zur Art der Verteilung, wie bei den anderen Verteilungen oben...

3)

Ich glaube mir war nicht klar, dass jetzt auf die Aufgabe bezogen, mit der Formulierung "Geben sie ein stochastisches Modell für dieses Experiment an" dieses Modell sich ausschließlich auf den Ergebnisraum bezieht, also nur "alle möglichen Ergebnisse" (also hier jede einzelne der N=15 Kugeln betrachtend) gleichwahrscheinlich sein müssen. Das hat dann natürlich keinen Einfluss auf alle günstigen, schon das konkrete Ereignis beschreibenden, Ergebnisse (konkrete Kugeln mit bestimmter Farbe betrachtend).

Wenn man also ein Modell angeben soll, muss man sich demnach nur an allen überhaupt möglichen Ergebnissen orientieren, wonach man ja bei Urnen eigentlich immer von einem LaPlace Modell ausgehen kann , oder?

Allerdings müsste man das dann doch beim Ziehen ohne Zurücklegen so sehen: beim 1. Zug kann jede Kugel mit der gleichen WK von p=1/N gezogen werden, beim 2. Zug kann jede Kugel mit der gleichen WK von p=1=N-1 gezogen werden.....(also jeden Zug einzeln betrachtend)

Bin ich jetzt auf dem richtigen Weg?

Gruß Björn
bil Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bjoern1982
1)
LaPlace Experiment: Versuch, bei dem jedes mögliche Ergebnis gleichwahrscheinlich ist

Bernoulli-Experiment: Versuch, der genau zwei mögliche Ergebnisse hat.

Das wären so die Typen von Experimenten, die mir einfallen.
Gibts noch andere Experimentarten?


das ist schonmal richtig. experimentarten gibt es natürlich wie sand am meer. z.b ein gezinkter würfel ist weder laplace noch bernoulli da es ja 6 ausgänge gibt. es kommt aber wie immer auf die fragestellung an, wenn es nur um gerade ungerade geht wäre es z.b wieder ein bernoulli.

Zitat:

2)
Wahrscheinlichkeitsverteilungen ordnen jedem Ergebnis eine bestimmte Wahrscheinlichkeit zu:

LaPlace-Verteilung: Ordnet jedem Ergebnis eines LaPlace Experiments die gleiche Wahrscheinlichkeit zu

Binomialverteilung: Ordnet bei einem Bernoulli-Experiment einem Treffer die WK p und einer Niete die WK 1-p zu

Hypergeometrische Verteilung: ???
Wie könnte ich das denn am Besten formulieren? Wem ordnet diese Verteilung was zu? Ich verstehe zwar, dass man sie bei Urnenmodellen mit Ziehen ohne Zurücklegen verwendet, aber das wäre ja nur ein Anwendungsbeispiel und keine Formulierung zur Art der Verteilung, wie bei den anderen Verteilungen oben...

ok das ist zwar richtig, sagt aber noch nich viel aus. die verteilung sind eigentlich mehr oder weniger formeln, und wann du welche formel anwendest kommt ganz auf die fragestellung an. ich mach am besten beispiele.

fragestellung: experiment: würfel wird einmal geworfen wie hoch ist die wahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln.
hier würde ich dann die gleichverteilung nehmen,d.h. P(X=6)=1/6 aber die gleichverteilung ist so simpel das man das ergebniss in der regel eh so weiss.

neues experiment: würfel wird n=10 mal geworfen, wie gross ist die wahrscheinlichkeit GENAU 4mal eine 6 zu würfeln.
ich könnte es jetzt per hand ausrechnen das würde ca. so aussehen:
1/6*1/6*1/6*1/6*5/6*5/6*5/6*5/6*5/6=(1/6)^4*(1/6)^6 das wäre aber nur eine reihenfolge also muss ich die anderen noch dazu addieren sprich
(1/6)^4*(1/6)^6+(5/6)*1/6*1/6*1/6*1/6*5/6*5/6*5/6*5/6=
(1/6)^4*(1/6)^6+(1/6)^4*(1/6)^6 gut jetzt hab ich zwei reihenfolgen es gibt aber genau reihenfolgen.
also kann ich einfach schreiben

und genau das ist die binomialverteilung oder von mir aus formel.(ach ja dieses P(X=4) heisst das meine zufallsvariable X für den genauen wert der 6en steht.sollte dir zufallsvariable noch nicht bekannt sein dann lies dir das mal durch Und noch eine Frage...die Zufallsvariable ist recht einfach zu verstehen.) wieder zurück zu binomialverteilung. in meinem bsp hätte ich direkt einfach die werte in die binomialverteilung einsetzen können und fertig. hatte ja n=10 k=4 p=1/6 und 1-p=5/6.
das schwierige am anfang ist herauszufinden wann es binomialverteilt ist und deswegen nimmt man das urnen bsp mit zurücklegen.
das heisst wenn man ein versuch der form urne mit zurücklegen hat und einen genauen wert wie z.b 4 mal die 6 haben will, kann man die formel anwenden. der würfel ist ja genau das gleiche wie die urne mit zurücklegen.unser bsp:
ich würfel entweder {6}mit p=1/6 oder {1,2,3,4,5}mit p=5/6 (ziehe entweder rot mit p=? oder schwarz mit p=?) und beim nächsten wurf habe ich wieder alle ausgänge(sprich mit zurücklegen)
die binomialverteilung ist wahrscheinlich eine der wichtigsten verteilungen, man kann die ja auch durch die normalverteilung approximieren. noch ein bsp für die binomialverteilung: habe 100 cd rohlinge und weiss das eine cd defekt ist mit p==1/100. ich ziehe 10 rohlinge hintereinander mit zurücklegen. wie hoch ist die wahrscheinlichkeit GENAU 3 defekte zu ziehen. sprich gesucht P(X=3)=... haben alle daten, n=10, p=1/100 1-p und k=4. fertig...

hypergeometrische verteilung ist genau das selbe nur OHNE zurücklegen! sprich urne ohne zurücklegen. bsp für dieses modell. hab wieder 100 cd rohlinge. die wahrscheinlichkeit das eine cd beim brennen kaputt geht ist 1/10. wie hoch ist die wahrscheinlichtkeit das genau 3 kaputt gehen wenn ich 10 stück teste. in diesem fall kann man ein gebrannte cd ja nicht wieder in die menge geben, folglich wäre es ziehen ohne zurücklegen. formel steht ja im genannten link. oder das standardbsp genau 6 aus 49.

das heisst die verteilungen sind quasi nur formeln die man bei bestimmten experimmenten anwendet.man kann auch alles ohne die verteilungen einfach per hand ausrechnen.nochmal allgemein. man will einen genauen wert von etwas haben(z.b 5 mal die 6, 6 aus 49, usw.) dann gilt
urne mit zurücklegen-->binomialverteilung
urne ohne zurücklegen-->hypergeometrische v.

Zitat:

Wenn man also ein Modell angeben soll, muss man sich demnach nur an allen überhaupt möglichen Ergebnissen orientieren, wonach man ja bei Urnen eigentlich immer von einem LaPlace Modell ausgehen kann , oder?

ja kann man. natürlich kann man eine urne auch so zusagen zinken aber davon gehen wir mal nicht aus.
Zitat:

Allerdings müsste man das dann doch beim Ziehen ohne Zurücklegen so sehen: beim 1. Zug kann jede Kugel mit der gleichen WK von p=1/N gezogen werden, beim 2. Zug kann jede Kugel mit der gleichen WK von p=1=N-1 gezogen werden.....(also jeden Zug einzeln betrachtend)

Bin ich jetzt auf dem richtigen Weg?

genaus so ist es.... Freude

über die verteilung gibt es noch jede menge an sich zu sagen wie z.b. das für grosse n die hyergeometische binomialverteilung.
wichtig für die zukunft ist das man die binomialverteilung durch die normalverteilung approximieren kann. hier ein link, da wirst du in der uni so oder so nicht rumkommen: http://de.wikipedia.org/wiki/ Normalvert...rt<br /> eilung

alles was unklar ist einfach nochmal nachfragen...
bis dann...Augenzwinkern
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