Charakteristisches und Minimalpolynom bei 3x3-Matrizen

19.04.2008, 17:48

Mathespezialschüler

Charakteristisches und Minimalpolynom bei 3x3-Matrizen

Hallo!
Ich habe hier eine Aufgabe, die da lautet:

Geben Sie zwei Matrizen $\begin{eqnarray*} A,B\in \mathbb R^{3\times 3} \end{eqnarray*}$ an, deren Minimalpolynome übereinstimmen, die aber nicht ähnlich zueinander sind, für die es also kein $\begin{eqnarray*} S\in Gl(3,\mathbb R) \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} A=S^{-1}BS \end{eqnarray*}$ . Können dann auch die charakteristischen Polynome übereinstimmen?

Der erste Teil ist ja nicht schwierig. Beim zweiten Teil sieht das etwas anders aus. Ich bin mir ziemlich sicher, dass die Antwort "Nein" sein muss. Allerdings ist mein bisheriger Ansatz sehr aufwendig:

Ich gehe einfach alle Möglichkeiten für die Produktdarstellung des charakteristischen Polynoms durch (drei reelle Nullstellen oder eine reelle Nullstelle und ein quadratischer Faktor). Anschließend gehe ich dann alle Möglichkeiten für das Minimalpolynom durch und versuche zu zeigen, dass Matrizen, für die diese beiden Polynome gleich sind, ähnlich sein müssen (wobei ich mir im zweiten Fall noch nicht genau überlegt habe, wie das geht).

Da ich aber diesen Weg gerne umgehen würde, wollte ich fragen, ob es nicht vielleicht eine andere Möglichkeit gibt, dies zu zeigen?

19.04.2008, 18:38

WebFritzi

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RE: Charakteristisches und Minimalpolynom bei 3x3-Matrizen

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Der erste Teil ist ja nicht schwierig.

Kannst du mir erklären, wie du das gemacht hast? verwirrt

19.04.2008, 19:10

Mathespezialschüler

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Ich dachte an

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Offenbar gilt

$\begin{eqnarray*} \chi_A(t)=t^2(t-1),\quad \chi_B(t)=t(t-1)^2 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} m_A(t)=m_B(t)=t(t-1) \end{eqnarray*}$ .

edit: Dass sie nicht ähnlich sind, sieht man z.B. an $\begin{eqnarray*} Ae_2=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Be_2=e_2 \end{eqnarray*}$ .

19.04.2008, 19:46

WebFritzi

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Ah, danke, klar.

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
edit: Dass sie nicht ähnlich sind, sieht man z.B. an $\begin{eqnarray*} Ae_2=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Be_2=e_2 \end{eqnarray*}$ .

Aber die Begründung passt mir nicht. Man sieht es z.B. daran, dass die geom. VFH'en der Eigenwerte 0 bzw. 1 jeweils verschieden sind, denn die Eigenwerte ähnlicher Matrizen sind gleich und die jeweiligen geom. VFH'en auch.

20.04.2008, 01:54

Mathespezialschüler

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Richtig, die Begründung war Mist. Ich habe natürlich den Basiswechsel total missachtet. Aber am einfachsten ist es wohl mit der Aussage, dass die charakteristischen Polynome für ähnliche Matrizen übereinstimmen müssen. Wobei deine Begründung ja letztendlich auf das gleiche hinausläuft.

20.04.2008, 07:20

WebFritzi

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RE: Charakteristisches und Minimalpolynom bei 3x3-Matrizen

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
(wobei ich mir im zweiten Fall noch nicht genau überlegt habe, wie das geht).

Mir ist da nur folgendes eingefallen (ich halte es kurz):

Es reicht, den Fall zu betrachten, indem A und B einen reellen Eigenwert (nennen wir ihn t) und die komplexen Eigenwerte i und -i besitzen. Zeige dann, dass A und B ähnlich sind zu

$\begin{eqnarray*} C := \begin{pmatrix}t & 0 & 0\\0 & 0 & -1\\0 & 1 & 0\end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Wir machen das mal für A. Mit dem Satz von Cayley-Hamilton kann man zeigen, dass es eine Basis {e,v,w} von IR³ gibt, so dass Ae = te, Av = w und Aw = -v gelten (das ist jetzt noch deine Haupt-Aufgabe Augenzwinkern

). Und bezüglich dieser Basis hat A gerade die obige Darstellung C. Also sind A und C ähnlich. Da aus gleichem Grund auch B und C ähnlich sind, sind ebenfalls A und B ähnlich.

EDIT: Für nur reelle Eigenwerte ist deine Behauptung anhand der identischen Jordan-Normalform von A und B klar (JNF und Transformationsmatrizen, bestehend aus Eigen- und Hauptvektoren von jeweils A und B, haben reelle Einträge).

22.04.2008, 00:01

Mathespezialschüler

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Hm, das ist ja im Prinzip die reelle jordansche Normalform von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , ohne dass wir sie explizit so nennen. Augenzwinkern

Der kleine Tipp hat mir aber gut weitergeholfen. Damit hab ichs jetzt geschafft, danke dir! (Ist auch gut so, dass es der direkte Weg ist - die reelle jordansche Normalform hatten wir in der Vorlesung noch nicht.)

22.04.2008, 02:47

WebFritzi

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Ich hab zwar keine Ahnung wie die reelle JNF geht, aber das isse bestimmt. smile

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