n!=n^k Welche Zahlen erfüllen die Gleichung??

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06.11.2005, 12:32	Evelyn7931	Auf diesen Beitrag antworten »
n!=n^k Welche Zahlen erfüllen die Gleichung?? Hallo Matheprofis! Ich habe schon einiges an Zeit mit der Aufgabe verbracht aber ich kriegs einfach nich hin. Bestimme alle natürlichen Zahlen n>=1 und k>=1, die die Gleichung n!=n^k erfüllen. Und begründen muss ich das ganze auch noch. Leider habe ich keine ahnung wie ich das anstellen soll. Vielleicht kann mir ja hier jemand helfen. Evi
06.11.2005, 13:04	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n-1 \end{eqnarray}$ sind teilerfremd. Was bedeutet das für $\begin{eqnarray} n\geq 3 \end{eqnarray}$ ?
06.11.2005, 13:08	sjoemka	Auf diesen Beitrag antworten »
dass die lösung nu 1 und 2 ist))
06.11.2005, 13:18	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Endeffekt bedeutet es das, ja. Aber ein wenig mehr Begründung könnte nicht schaden.
06.11.2005, 13:59	Evelyn7931	Auf diesen Beitrag antworten »
also dsa heisst dann wenn n>=3 ist, haben n und n-1 keine gemeinsamen teiler mehr...denk ich...und auf 1 und 2 für n und das k dann 1 sein muss habe ich durch probieren auch rausbekommen. Aber ich weiss nich wie ich das nu sagen soll warum das so ist.
06.11.2005, 14:05	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} n\geq 3 \end{eqnarray}$ besitzt $\begin{eqnarray} n-1 \end{eqnarray}$ mindestens einen Primteiler, nennen wir ihn $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ . Und jetzt untersuche mal - jeden für sich - die beiden Ausdrücke $\begin{eqnarray} n! \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n^k \end{eqnarray}$ hinsichtlich ihrer Teilbarkeit durch $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ .
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06.11.2005, 15:58	Evelyn7931	Auf diesen Beitrag antworten »
hmmmm...versteh ich leider überhaupt nich wie ich da mit primteilern was begründen soll oder austesten wo ich auch nichma weiss was damit gemeint ist
06.11.2005, 16:06	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Man nennt $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ einen Primteiler von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ eine Primzahl ist und $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ teilbar ist.
06.11.2005, 16:12	Evelyn7931	Auf diesen Beitrag antworten »
ja gut aber ich versteh nich worauf das hinaulaufen soll...dann nehme ich p=1 und es is ja alles durch 1 teilbar...
06.11.2005, 16:14	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Seit wann ist 1 eine Primzahl?
06.11.2005, 16:19	Evelyn7931	Auf diesen Beitrag antworten »
oh peinlich...welch geistige umnachtung hat mich da nur geritten...hab wohl einfach shcon zuviel über matheaufgaben gebrütet...naja so oder so versteh i es ni...
06.11.2005, 16:53	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Und ich dachte, dass es nach diesen Hinweisen einfach ist: Es ist $\begin{eqnarray} p\|(n-1) \end{eqnarray}$ und nach Fakultätsdefinition natürlich auch $\begin{eqnarray} (n-1)\|n! \end{eqnarray}$ , somit gilt $\begin{eqnarray} p\|n! \end{eqnarray}$ . Andererseits folgt aus $\begin{eqnarray} p\|(n-1) \end{eqnarray}$ unmittelbar $\begin{eqnarray} p\nmid n \end{eqnarray}$ und damit auch $\begin{eqnarray} p\nmid n^k \end{eqnarray}$ für beliebige natürliche Exponenten $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ . Damit kann also für $\begin{eqnarray} n\geq 3 \end{eqnarray}$ niemals $\begin{eqnarray} n!=n^k \end{eqnarray}$ gelten.
06.11.2005, 17:14	Evelyn7931	Auf diesen Beitrag antworten »
ahhhhh...das leuchtet selbst mir ein...vielen dank...
06.11.2005, 18:49	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
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