9-seitige Pyramide

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michael Auf diesen Beitrag antworten »
9-seitige Pyramide
Hallo!

Folgende Aufgabe ..

Von einer regelmäßigen 9-seitigen Pyramide sind gegeben:

V = 560 cm³ (Volumen)
a = 5,6 cm (Läneg der Grundkante)

Berechnen Sie die Mantelfläche der Pyramide.

Grundfrage: Wie leite ich die Berechnung vielseitiger regelmäßiger Pyramiden aus den bekannten Pyramiden-Formeln (quadratisch, dreiseitig, sechseckig) ab?
Wie sieht die Berechnung des o.g. Beispiels aus?
Wo finde ich weiterführende Links im Internet?

Dank für eure schnelle Antwort im Voraus!
Grüsse - Michael
Deakandy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 9-seitige Pyramide
Du hast eine REGELMÄßIGE 9setige Pyramide und willst die Mantelfläche berechnen.
Erstmal zur Grundfläche
DAs sind dann durch einzeichnen der Diagonalen nachher 9 gleichschenklige Dreiecke von denen du die Grundseite gegeben hast.
Also wenn ich richtig überlege, und du eine neunseitige Grundfläche hast, dann sind alle Dreiecke nachher gleichgroß
Demnach ist der Winkel in der Spitze jeweils 40°.
Wenn du nun die Höhe in einem Dreieck einzeichnest, dann hast du einen WInkel und eine Seite gegeben und halt den rechten Winkel und du kannst die Höhe ausrechnen.
Naja wenn du dann die Mantelfäche hast kannst du ja für Pyramiden 1/3 G*h nehmen und und h ausrechnen um wiederrum die anderen Kantenlängen über Pythagoras zu bestimmen...
Also das ist glaube ich eine aneinander Kettung vieler grundlegenden Sachen...
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

In jedem regelmäßigen n-Eck (Radius r) gilt: Zentriwinkel in M für ein gleichschenkeliges Teildreieck (r, r, a): z = 360/n, z/2 ist dann der Winkel für das halbe (rechtwinkelige Dreieck) und es ist:

a/2 = r*sin(z/2)
h = r*cos(z/2)

Fläche eines Teildreieckes:
A1 = a*h/2 = r²*sin(z/2)*cos(z/2)

n-Eck: A1 = (r²/2)*sin(z) .. z = 720/n

[wegen 2*sin(z/2)*cos(z/2) = sin(z)]

n-Eck: Grundfläche G = n*A1 = n.(r²/2)*sin(z) .. z = 720/n


r = a/(2sin(z/2), z = 40°, z/2 = 20°

A1 = a²/(8sin(z/2)) = 3,92/sin(20°);
r = 8,187 cm; h = 7,69 cm

Grundfläche G = 9*A1 = 35,28/sin(20°) = 12,066 cm²

Aus dem Volumen V = G*H/3 ist jetzt H zu ermitteln -> H.
Die Höhe h1 eines Seitendreieckes (a, s, s) ergibt sich leicht aus

h1² = H² + h² -> h1

Der Mantel letztendlich ist dann M = 9*a*h1/2

Gr
mYthos
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