Polynomring

19.04.2008, 22:19	Kati	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynomring Hi, ich habe ein normiertes Polynom $\begin{eqnarray} f \in R[X] \end{eqnarray}$ vom Grad n. $\begin{eqnarray} k \in K \end{eqnarray}$ ist eine Nullstelle von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ . Ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray} k \in R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} k \| a_0 \end{eqnarray}$ . Dabei ist $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ der Quotientenkörper und $\begin{eqnarray} a_0 \in R \end{eqnarray}$ der Koeffizient 0-ten Grades. Leider habe ich keine richtige Idee. Mir ist nicht klar, wie ich die Eigenschaft "normiert" verwenden soll Kann mir jemand helfen?
19.04.2008, 23:10	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} f=a_0+a_1X+\dots+X^n \end{eqnarray}$ mit einer Nullstelle $\begin{eqnarray} k\in Q(R) \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} f(k)=0\Longrightarrow a_0=\dots \end{eqnarray}$ Die Normiertheit spielt ebenfalls eine Rolle. Mach mal den Ansatz $\begin{eqnarray} k=\frac pq \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} q\not\|p \end{eqnarray}$ . Gelingt es dir aus $\begin{eqnarray} f(k)=0 \end{eqnarray}$ zu folgern, dass $\begin{eqnarray} q\|1 \end{eqnarray}$ ?
20.04.2008, 09:22	gast1	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist R? Für einen beliebigen Integritätsring kann man nicht folgern, dass k aus R ist.
20.04.2008, 17:16	Kati	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, ich habe es hinbekommen.
21.04.2008, 00:22	gast1	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstaunlich, da wie gesagt ohne weitere Voraussetzungen ein Teil der Aussage falsch und der andere somit sinnlos ist.

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