Gruppe operiert auf Menge, Fixpunkte?

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Olivia123 Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppe operiert auf Menge, Fixpunkte?
Guten abend,

ich sitze momentan vor folgender Aufgabe und komme einfach nicht weiter.

Eine Gruppe der Ordnung 55 operiere auf einer Menge M mit 18 Elementen. Zeige, dass die Gruppe auf M mindestens 2 Fixpunkte hat.

So jetzt mein erstes Problem, was haben Fixpunkte bei Gruppen verloren? Fixpunkte kenne ich nur aus der Analysis und Numerik und ich weiß, dass f(x)=x gelten muss.
Außerdem weiß ich, dass eine Operation von G auf M eine Abbildung ist, mit den Eigenschaften:
e(m)=m
(g*h)(m)=g(h(m))

Wie bringe ich das denn jetzt mit der Aufgabe in Einklang???
Mir fehlt jeglicher Ansatz.
Danke
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

heißt Fixpunkt der Aktion von G auf M, wenn für alle , m.a.W. .
Olivia123 Auf diesen Beitrag antworten »

HI,

also lag ich mit meiner vermutung gar nicht so schlecht, allerdings weiß ich immer noch nicht wie ich die Aufgabe zeigen kann. Ich komme einfach nicht weiter und weiß auch nicht wie man da vorgeht. Ich hatte diese Woche die ersten 2 Algebra Stunden überhaupt...
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Beachte, dass die Länge jeder Bahn ein Teiler der Gruppenordnung ist und die Summe der Längen der Bahnen, in die M zerfällt, muss gleich |M| sein. Wenn du darüber etwas nachdenkst, wirst du erkennen, dass es zwei Bahnen der Länge 1 geben muss. Damit bist du fertig.
Olivia123 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank therisen,

werde darüber gleich noch mal nachdenken. Wir haben hier auch einen Bahnensatz stehen, den meinst du doch oder? Die Definiton einer Bahn habe ich schon kennengelernt, aber weißt du vielleicht auch anschaulich, was man sich darunter vorzustellen hat? Mir ist das momentan noch alles ziemlich fremd! unglücklich
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich meine den Bahnensatz. Anschaulich stelle ich mir unter den Bahnen gewisse "Kuchenstücke" von M vor (M als "Torte"). Die Notation ist auch sehr intuitiv, man lässt einfach alle Elemente von G auf das kleine m los. Du wirst dich daran schon gewöhnen, dafür sind ja die Übungsaufgaben da.
 
 
Olivia123 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo therisen,

ich habe mir mal den Bahnensatz genauer angeschaut und danach gilt ja:
, , wenn ich das nun teile bekomme ich doch die Mächtigkeit von , also des Stabilisators und das sind ja meine Fixpunkte nicht wahr? Aber da komme ich ja auf mehr als 3! Das wird wohl nicht stimmen oder?

Danke für die info.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Olivia123
ich habe mir mal den Bahnensatz genauer angeschaut und danach gilt ja:
,


Nein, das ist falsch. Das siehst du schon allein daran, dass 55 nicht durch 18 teilbar ist. Ich dachte an



mit einem geeigneten und gewissen .

Dabei ist ein Teiler von , denn es gilt (Index der Fixgruppe in G).
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

@therisen

Bin zwar nicht so in diesem Topic involviert, jedoch habe ich genau die gleiche Aufgabe aufgetischt bekommen!

Kann ich da folgendermaßen interpretieren: Die Zahlen 1,5,11 teilen 55, und die Summe von diesen Zahlen muss ja logischerweise 18 ergeben, daraus folgt also das es mind. 2 Bahnen der Länge 1 und damit mind. 2 Fixpunkte geben muss!
Mit deiner Notation sollte man das auch mathematisch korrekt formulieren können oder? Ist jetzt noch etwas dazu zu sagen oder war es das?
Danke sehr
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau das hatte ich mir überlegt Freude
Seren Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Abend,
Ich habe eine ähnliche Aufgabe, nur, dass meine Menge 39 Elemente beiinhaltet und ich zeigen soll, dass die Operation einen Fixpunkt hat.
Ich gehe also gleich vor und schreibe die Mächtigkeiten der Gruppe M als Summe der Bahnen und soll damit auf 39 kommen ( nach Fletchers Ausführung ). Nun stellt sich mir aber die Frage über die Eindeutigkeit:
Bei 18 Elementen ist es naheliegend: 11+5+1 sind ja schon 17 Elemente, ergo muss die Operation 2 Fixpunkte, also 2 Bahnen der Länge 1 enthalten.
Bei 39 ist es jedoch nicht ganz so eindeutig, theoretisch könnte man sich doch viele Linearkombinationen der Bahnen vorstellen, die als Mächtigkeit 39 hätten.
Oder anders gesagt: Ist diese Tatsache überhaupt ein Problem?

Ich hoffe mal, dass, obwohl das Thema 1 Jahr her ist, jemand sich die Mühe macht und mich etwas aufklärt smile

lg
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