a-Bruchentwicklung - Periode

08.11.2005, 17:25

Sunwater

a-Bruchentwicklung - Periode

Hi...

ich habe eine Aufgabe, bei der ich einfach die Aufgabenstellung nicht verstehe...

Bestimmen Sie die (periodischen) a-Bruchentwicklungen der Zahlen
1/(a-1)² für a=3,4,5,6,7.

Was soll ich da tun?

ne, hab schon rausgefunden wie es geht...

es hat immer die Form 0,x wobei x die Periode ist...

also bei a=3 ist die Periode x=02

bei a = 4 ist die Periode x=013

bei a = 5 ist die Periode x=0124

bei a = 6 ist die Periode x=01235

und bei a = 7 ist die Periode x= 012346

jetzt soll ich das für beliebige a beweisen?!... wie soll denn das gehen?

08.11.2005, 20:07

Auf diesen Beitrag antworten »

Die obigen Werte müssten dich doch auf folgende Vermutung führen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(a-1)^2} = [ 0.\overline{01\ldots (a-3)(a-1)}]_a \end{eqnarray*}$

(in $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ -adischer Darstellung). Die Periode aufgelöst ist das äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(a-1)^2} = \frac{1}{a^{a-1}-1} ~ \left[\sum_{k=0}^{a-2} ~ k a^{a-2-k} ~ + ~ 1\right] \end{eqnarray*}$

08.11.2005, 22:05

Sunwater

Auf diesen Beitrag antworten »

ja auf die Vermutung bin ich auch gekommen...

heißt das die eckigen Klammern drücken das gleiche aus und
der Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a^{a-1} - 1} \end{eqnarray*}$ ist quasi die "Umrechenzahl" vom a-System ins Dezimalsystem?

und wenn das in den eckigen Klammern das gleiche ist, dann steh ich immer noch vor der Frage: Warum?

08.11.2005, 22:26

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a^m-1} \end{eqnarray*}$ ist der Wert folgender Zahl im $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ -adischen Zahlensystem:

$\begin{eqnarray*} 0,\overline{000\ldots 001} \end{eqnarray*}$

also mit genau $\begin{eqnarray*} (m-1) \end{eqnarray*}$ Nullen am Anfang und genau einer 1 am Ende der Periode. Wieso das so ist? Nun, der Wert berechnet sich gemäß der geometrischen Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} ~ a^{-mk} \end{eqnarray*}$ .

Und alle anderen Perioden der Länge $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ (in unserem Fall ist $\begin{eqnarray*} m=a-1 \end{eqnarray*}$ ), die unmittelbar nach dem Komma starten, sind dann natürlich entsprechende Vielfache dieser Zahl $\begin{eqnarray*} [0,\overline{000\ldots 001}]_a \equiv \frac{1}{a^m-1} \end{eqnarray*}$ .

Perioden, die erst später starten (also nicht unmittelbar nach dem Komma) sind natürlich noch mit irgendso einem Faktor $\begin{eqnarray*} a^{-n_0} \end{eqnarray*}$ zu verknüpfen.

Hoffe, jetzt ist das etwas klarer geworden.

09.11.2005, 00:05

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Verschoben

09.11.2005, 15:35

Sunwater

Auf diesen Beitrag antworten »

ich werd mich damit mal auseinander setzen, aber ich glaube, dass das für unseren Beweis viel zu hoch ist, denn ich bin erst 1. Semester und dieses Wissen wird nicht vorrausgesetzt.

Wir sind gerade beim Thema Intervallschachtelungen - kann man das damit auch irgendwie beweisen?

09.11.2005, 17:16

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Sunwater
denn ich bin erst 1. Semester und dieses Wissen wird nicht vorrausgesetzt.

Also geometrische Reihe ist meines Wissens nach Gymnasialstoff - das sollte für das 1.Semester nicht zu hoch sein. Augenzwinkern

09.11.2005, 21:09

Sunwater

Auf diesen Beitrag antworten »

die Summe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{a-2}~ka^{a-2-k} \end{eqnarray*}$ + 1

stellt also mein

0123...(a-3)(a-1) dar, wenn ich das richtig verstanden habe...

habs erstmal im Dezimalsystem ausprobiert... - das Problem ist, dass ich beim (a-3) Glied, was ja im Dezimalsystem die 7 ist schon bei $\begin{eqnarray*} 10^0 \end{eqnarray*}$ bin da die 7 aber in meiner Ziffernfolge an vorletzter Stelle stehen soll, müsste ich doch noch bei $\begin{eqnarray*} 10^1 \end{eqnarray*}$ sein, oder?
und anstatt + 1 am Schluss müsste ich doch noch eigentlich das eher + (a-1) hinsetzen, oder?

müsste die summe also nicht so aussehen?:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{a-2}~ka^{a-1-k} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} + (a-1) [ * a^0 ] \end{eqnarray*}$

09.11.2005, 21:16

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn schon, dann nur bis $\begin{eqnarray*} a-3 \end{eqnarray*}$ summieren: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{a-3}~ka^{a-2-k} ~ + ~ (a-1)\cdot a^0 \end{eqnarray*}$ .

Und wenn du mal vergleichst: Beide Darstellungen sind identisch. Augenzwinkern

09.11.2005, 21:18

Sunwater

Auf diesen Beitrag antworten »

*g* - stimmt, dass die 1 ja nur den letzten erhöht - ok, jetzt seh ich's...

und das kann man jetzt so umstellen, dass da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(a-1)^2} \end{eqnarray*}$ rauskommt? ohje...

09.11.2005, 21:24

Auf diesen Beitrag antworten »

Vorschlag: Versuch lieber das äquivalente

$\begin{eqnarray*} (a-1)\left\{ (a-1) \left[\sum_{k=0}^{a-2} ~ k a^{a-2-k} ~ + ~ 1\right] \right\} = a^{a-1}-1 \end{eqnarray*}$

nachzuweisen. Wobei die zwei (a-1) bereits andeuten sollen, dass du nach und nach multiplizierst.

Neue Frage »

Antworten »

a-Bruchentwicklung - Periode

Verwandte Themen