Problem mit Basen...

20.04.2008, 20:54

Ripper1986

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Problem mit Basen...

Hallo zusammen!

ich hab eein problem mit einer Aufgabe:

"Es sein die Feraden

L= { h * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , h $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R³} und M = { h* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , h $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R³}
in R³ gegeben. Zeigen sie dass L, M und L-M Untervektorräume von R³ sind. Geben sie ihre Basen an.

Ich ahbe nun gezeigt dass es sich um untervektorräume handelt aber weiß nicht was mit Basen gemeint ist! kann mir da vielleicht jemand auf die sprünge helfen?

Danke in voraus

20.04.2008, 21:17

tigerbine

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RE: Problem mit Basen...
mit Basis bezeichnet man eine Menge linear unabhängiger Vektoren, die einen VR erzeugen.

20.04.2008, 21:24

Ripper1986

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dann sind die Basen doch die beiden in der aufgabe gegebenen Vektoren.. oder wie muss ich das jetzt verstehen?

20.04.2008, 21:28

tigerbine

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Richtig, mit den Urpsrungsgeraden haben wir eindimensionale Untervektorräume. Da kannst Du schreiben:

$\begin{eqnarray*} L=\text{span}\{(1,1,0)^T\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M=\text{span}\{(0,1,1)^T\} \end{eqnarray*}$

Interessant wird es nun erst beim Dritten UV

20.04.2008, 21:40

Ripper1986

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hmm... da weiß ich gar nicht was ich machen soll... ich kann doch nicht einfach die beiden von einander abziehen...

20.04.2008, 21:41

tigerbine

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na, wie haste denn gezeigt, dass L-M überhaupt ein UVR ist?

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20.04.2008, 21:47

Ripper1986

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ich muss ja zeigen dass L-M keine leere menge hat, und in der addition und der multiplikation mit akalaren abgeschlossen ist...

L-M ist keine leere menge weil weder M noch L eine Leere menge ist

Addition:
l1-m1 element von L-M l2-m2 element von L-M

(l1-m1) + (l2-m2) = (l1+l2) - (m1+m2)

Multiplikation:

h* (l-m) = h*l - h*m element von L-m

Dabei hat uns jemand geholfen weil wir da ewig dran rumgefummelt haben... ich hoffe mal das stimmt soweit :-D in meinen auge klingt das logisch

20.04.2008, 21:53

tigerbine

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Keine Leere Menge haben, das klingt s*****. Du sollst zeigen, dass die Menge L-M nicht leer ist.

Wie ist denn die Menge (L-M) definiert?

20.04.2008, 21:58

Ripper1986

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gute frage...

das zeug von L - das zeug von M ??

also:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} h1 \\ h1-h2 \\ h2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

kann man das denn nicht so begrunden, dass weder L noch M eine leere menge ist und somit die differenz auch nicht leer sein kann?

20.04.2008, 22:07

tigerbine

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Also, es sei K:=L-M

$\begin{eqnarray*} K:=\{l-m~|~l\in L \text{ und } m \in M\} \end{eqnarray*}$

Nun finden wir schon locker einen trivialen Vektor, der drin liegt. Nämlich den Nullvektor. Damit ist das Dingen nicht leer, ok. aber geht noch mehr? Was sind zwei weitere triviale Vektoren, die da drinnen sind?

20.04.2008, 22:12

Ripper1986

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hmm... keine ahnung.. da weiß ich nicht weiter... ich habe keinen ansatz wieich den finden soll :-S

20.04.2008, 22:16

Ripper1986

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wenn ich meinen oben aufgestellten vektor nehme kann ichja quasi alles einsetzen...

zB

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

20.04.2008, 22:16

tigerbine

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Naja, wähle halt einmal den Nullvektor für l oder m. Für den anderen... na was wohl? Augenzwinkern

Augenzwinkern

edit: oder eben einfach obige Vektoren

$\begin{eqnarray*} (1,1,0)^T, (0,1,1)^T \end{eqnarray*}$

Da siehste auch auf einen Blick, dass die linear unabhängig sind.

20.04.2008, 22:23

Ripper1986

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mein Problem war ja die Basis von L-M anzugeben... kann ich dann da schreiben:

L-M = span{(h1, h1-h2, h2)^T}

20.04.2008, 22:24

tigerbine

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Nein. Denn das sind zwar 3 Vektoren aus dem UVR L-M, aber keine Basis. Warum? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit: Was ist eigentlich h1? Und welche Dimension meinst du hat L-M?

20.04.2008, 22:27

Ripper1986

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warum sind das 3 vektoren verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

meiner meinung ist das die basis weil die Basis die Menge lu Vektoren ist die eine Raum aufspannen!

die Gerade ist ja ein untervektorraum im R^1 und somit doch auch eine basis, oder nicht?

20.04.2008, 22:30

Ripper1986

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h1 gehört zur Gerade L!

meiner meinung nach ist L-M im Eindimensionalen weil es sich um eine Gerade handelt

20.04.2008, 22:32

tigerbine

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Ich verstehe deine hs indem vektor nicht. Ich habe Dir nun schon 3 verschiedene Vektoren genannt, die in dem UVR liegen. 2 davon, sind vom Nullvektor verschieden und linear unabhängig. Gibt es noch einen dritten lu Vektor? Nein, da L-M aus der Menge der liniearkombimation der beiden lu Vektoren (1,1,0)^T und (0,1,1)^T besteht.

$\begin{eqnarray*} L-M=\text{span}\{(1,1,0)^T,(0,1,1)^T\} \end{eqnarray*}$

Das kannste Dir im R³ als Ebene vorstellen. Warum wird nun nicht der Ganze R³ erzeugt? Da geben wir mal einen -vektor an, der nicht Drinnen liegt. Z.B.

$\begin{eqnarray*} (1,1,1)^T \end{eqnarray*}$

20.04.2008, 22:40

Ripper1986

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lu = linear unabhänig war eine doofe abkürzung.. sorry

die Vektoren L, M und L-m Spannen eine ebene auf, das ist mir klar! und dass L-M "überllüssig" ist ist mir auch klar weil man L-M ja aus L und M bildet ;-)

mein Problem lag da, dass ich nicht wusste was basen sind und wie gemeint ist dass ich die Basen angeben soll

20.04.2008, 22:43

tigerbine

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Zitat:

Original von Ripper1986
meiner meinung nach ist L-M im Eindimensionalen weil es sich um eine Gerade handelt

Da haste aber oben was anderes behauptet. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also Ebene ist richtig, Dimension 2. Basis ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h. mit den Basisvektoren kann man jeden Vektor des VR erzeugen und sie sind linear unabhängig.

20.04.2008, 22:45

Ripper1986

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aber L-M ist doch eine Gerade und somit Eindimensional, oder nicht?

erst wenn man M, L (und L-M) betrachet ist es doch Zweidimensional, oder?

20.04.2008, 22:50

Ripper1986

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aber ist ja auch egal!

danke für deine hilfe!

bye

20.04.2008, 22:52

tigerbine

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Nein, L-M ist ein Vektorraum wie ich ihn oben dargestellt hatte. Für seine Elemente gilt:

$\begin{eqnarray*} K:=\{l-m~|~l\in L \text{ und } m \in M\} \end{eqnarray*}$

Das ist etwas anderes, als wenn wir in der Analysis zwei Funktionen K(x)=f(x)-g(x) betrachten, was du dir vielleicht vorstellst? Schreiben wir die beiden Vektorräume L und M mal in Form von analytischer Geometrie. Dann haben wir die beiden Geraden:

$\begin{eqnarray*} L:~\vec{x} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M:~\vec{x} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun die Ebene L-M:

$\begin{eqnarray*} L-M:~\vec{x}&& = \begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\0\end{pmatrix} -t \cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\1\end{pmatrix} \\&& =\begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\0\end{pmatrix} + \hat{t} \cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

20.04.2008, 22:56

WebFritzi

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Zitat:

Original von Ripper1986
aber ist ja auch egal!

Nein, ist es nicht, wenn jemand seine Zeit damit verbringt, dir etwas beizupulen.

21.04.2008, 10:55

Ripper1986

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@webfritzi

das stimmt schon aber gestern war ich zu müde, da war es mir egal.. jetzt habe ich es aber verstanden glaube ich!

vielen dank

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