Potenzmenge |
09.11.2005, 19:19 | Constanze | Auf diesen Beitrag antworten » |
Potenzmenge ich bin total verzweifelt und sitze schon seit Stunden an dieser Aufgaben. Ich hoffe ihr könnt mit schnell helfen, die Aufgabe muss nämlich bis morgen fertig sein... Nun die Aufgabe: Man begründe: Jede Menge M mit n Elementen besitzt genauso viele Teilmengen mit gerader Elementeanzahl wie Teilmengen mit ungerader Elementeanzahl. Danke schonmal im voraus!!! |
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09.11.2005, 20:24 | irre.flexiv | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nimm dir ein beliebiges aber festes . Jetzt packst du alle Teilmengen von M in denen x enthalten ist ein eine Menge A (Das ist dann eine Teilmenge der Potenzmenge von M). Dann ist P(M)/A die Menge aller Teilmengen in denen x nicht enthalten ist. Jetzt musst du nur noch eine bijektive Abbildung zwischen den beiden angeben die dir das gewünschte Ergebnis liefert. |
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09.11.2005, 20:54 | Constanze | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke, aber ich habe gerade erfahren, dass der Mathe dozent wohl gemeint hat, dass man diese Aufgabe mit Hilfe von Binomialkoeffizienten lösen soll. Aber ich weiß echt nicht wie. Jetzt stehe ich wieder genauso da wie vorher... |
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10.11.2005, 00:13 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
@ irre.flexiv Vielleicht stehe ich ja auf dem Schlauch. Aber wie folgt aus der Tatsache, daß es genau so viele Teilmengen gibt, die enthalten, wie solche, die nicht enthalten, die Behauptung? @ Constanze ist ja die Anzahl der -elementigen Teilmengen. Bekanntlich ist (Beweis z.B. über Anwendung des binomischen Lehrsatzes auf ). Somit ist nur zu zeigen: Und das geht z.B., indem man auf zwei Arten berechnet: erstens direkt, zweitens über Anwendung des binomischen Lehrsatzes. |
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10.11.2005, 00:19 | IchDerRobot | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo Leopold, die "richtige" Bijektion ordnet der Menge m in A die Menge m \ {x} zu und stellt so eine Bijektion zwischen den Mengen gerade und ungerade Mächtigkeit her. Robot |
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10.11.2005, 07:04 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Es wird wohl eher so gehen: Wenn ein ausgezeichnetes Element und die Menge der Teilmengen mit geradzahliger bzw. ungeradzahliger Elementezahl ist, so definiert eine Bijektion zwischen und . |
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10.11.2005, 21:32 | IchDerRobot | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo Leopold, ja, das ist das Endergebnis meiner Überlegung. Sei x in M fest. Seien A und B die Mengen aller Teilmengen von M mit gerade bzw. ungerade Elementzahl, und seien A' und B' die Mengen aller Teilmengen von M, die x enthalten bzw. nicht enthalten. f: A' -> B', f(m) = m \ {x} ist die von mir genannte Bijektion. Ist , so ist . Ist , so ist . Die von dir genannte Bijektion phi: A -> B wird also gerade von f vermittelt: , falls , , falls . Wie gesagt, mein f stellt die gewünschte Bijektion her, f ist nicht die gewünschte Bijektion: Je nachdem, ob m in A' oder in B' liegt, muss man f oder f^{-1} anwenden - die "Paarung" selbst ist aber schon in f gegeben. Robot |
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11.11.2005, 00:21 | irre.flexiv | Auf diesen Beitrag antworten » |
@ Leopold Ich wollte auf folgendes hinaus: fix ist die Menge aller Teilmengen von M in denen das m enthalten ist. Sei mit Es ist klar das eine Funktion von A in P(M)\A ist. Sei dann ist ist also injektiv und surjektiv. Die Elemente von sind jetzt in jedem Fall Paare aus einer Menge mit gerader Elementanzahl und einer Menge mit ungerader Anzahl. |
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11.11.2005, 00:41 | IchDerRobot | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo irre.flexiv, ich hoffe, genau diese Idee mit meinem vorherigen Beitrag beschrieben zu haben. Robot |
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11.11.2005, 00:49 | irre.flexiv | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ah, manchmal lohnt es sich doch alle Posts zu lesen. |
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