Abelsche Gruppe |
09.11.2005, 19:53 | Alex1982 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Abelsche Gruppe Ich habe folgende Aufgabe bis Morgen zu erledigen: Sei A eine abelsche Gruppe endlicher Ordnung. Definition: Sei m , a A. Wir definieren m*a:= a+a+...+a, wobei auf der rechten Seite m Summanden stehen. Zeigen Sie: Für alle a A gibt es eine Zahl m>0, so dass gilt: m*a = 0. Ich verstehe die Aufgabe nicht. Meiner Meinung nach gibt es kein m mit m>0, so dass gilt m*a = 0. Brauche Hilfe! |
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09.11.2005, 20:08 | irre.flexiv | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vergiss nicht das A eine endliche Gruppe ist. Das heisst nix anderes als das a eine endliche Ordnung hat. |
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09.11.2005, 20:18 | Alex1982 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, das weiss ich aber ich habe keine Ahnung wie ich das hier verwenden soll. |
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09.11.2005, 20:50 | IchDerRobot | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo Alex, die Gruppe A ist endlich. Sei n die Anzahl ihrer Elemente und a ein Element von A. Wir betrachten die Summen 1*a bis (n+1)*a. Das sind n+1 Elemente von A. Die können nicht alle verschieden sein, denn die Gruppe hat nur n Elemente. Also gibt es mindestens zwei gleiche, z.B. n1*a = n2*a, wobei n1 < n2 ist. Nun subtrahiere n1*a auf beiden Seiten dieser Gleichung... Robot |
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09.11.2005, 20:53 | irre.flexiv | Auf diesen Beitrag antworten » |
Es ist einfacher als du denkst. Sei Ord(a)=d Die Ordnung ist definiert als eine natürliche Zahl insbesondere ist sie größer als 0. Dann ist a+a+a+...+a = 0 (d Summanden auf der linken Seite) Jetzt wendest du noch die Def. von * an. Fertig. Gleichzeitig hast du damit die kleinste natürliche Zahl gefunden für die das gilt. |
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09.11.2005, 21:11 | IchDerRobot | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo irre.flexiv, die Verwendung der Ordnung von a setzt aber voraus, dass wir bereits wissen, dass a endliche Ordnung hat - genau das ist aber zu zeigen. "Die Ordnung ist definiert als eine natürliche Zahl insbesondere ist sie größer als 0." -- Die Ordnung ist genau dann eine natürliche Zahl, wenn das Element endliche Ordnung hat, ansonsten ist sie . Robot |
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09.11.2005, 21:26 | irre.flexiv | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wir wissen ja auch das a endliche Ordnung hat, wie gesagt das folgt daraus das A eine endliche Gruppe ist. Man betrachtet einfach die von a erzeugte Untergruppe, es ist klar das die Ordnung nicht größer als die von A sein kann. |
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09.11.2005, 21:31 | IchDerRobot | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, die von a erzeugte Untergruppe zu betrachten, ist eine weitere Möglichkeit, nachzuweisen, dass a endliche Ordnung hat. Wenn allerdings bereits bekannt ist, dass a eine endliche Ordnung hat, dann ist die gestellte Aufgabe trivial. Ich bin gespannt, was Alex1982 dazu meint. Robot Ende |
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10.11.2005, 13:12 | Alex1982 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke Leute. Habe das ganze jetzt verstanden. Tschüß |
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