Abelsche Gruppe

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Alex1982 Auf diesen Beitrag antworten »
Abelsche Gruppe
Hallo Leute

Ich habe folgende Aufgabe bis Morgen zu erledigen:

Sei A eine abelsche Gruppe endlicher Ordnung.

Definition: Sei m , a A. Wir definieren m*a:= a+a+...+a, wobei auf der rechten Seite m Summanden stehen.

Zeigen Sie: Für alle a A gibt es eine Zahl m>0, so dass gilt: m*a = 0.

Ich verstehe die Aufgabe nicht. Meiner Meinung nach gibt es kein m
mit m>0, so dass gilt m*a = 0.

Brauche Hilfe!
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Vergiss nicht das A eine endliche Gruppe ist. Das heisst nix anderes als das a eine endliche Ordnung hat.
Alex1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das weiss ich aber ich habe keine Ahnung wie ich das hier verwenden soll.
IchDerRobot Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Alex,

die Gruppe A ist endlich. Sei n die Anzahl ihrer Elemente und a ein Element von A. Wir betrachten die Summen 1*a bis (n+1)*a. Das sind n+1 Elemente von A. Die können nicht alle verschieden sein, denn die Gruppe hat nur n Elemente. Also gibt es mindestens zwei gleiche, z.B. n1*a = n2*a, wobei n1 < n2 ist. Nun subtrahiere n1*a auf beiden Seiten dieser Gleichung...

Robot
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist einfacher als du denkst.

Sei Ord(a)=d
Die Ordnung ist definiert als eine natürliche Zahl insbesondere ist sie größer als 0.
Dann ist a+a+a+...+a = 0 (d Summanden auf der linken Seite)

Jetzt wendest du noch die Def. von * an. Fertig.

Gleichzeitig hast du damit die kleinste natürliche Zahl gefunden für die das gilt.
IchDerRobot Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo irre.flexiv,

die Verwendung der Ordnung von a setzt aber voraus, dass wir bereits wissen, dass a endliche Ordnung hat - genau das ist aber zu zeigen.

"Die Ordnung ist definiert als eine natürliche Zahl insbesondere ist sie größer als 0." -- Die Ordnung ist genau dann eine natürliche Zahl, wenn das Element endliche Ordnung hat, ansonsten ist sie .

Robot
 
 
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Wir wissen ja auch das a endliche Ordnung hat, wie gesagt das folgt daraus das A eine endliche Gruppe ist. Man betrachtet einfach die von a erzeugte Untergruppe, es ist klar das die Ordnung nicht größer als die von A sein kann.
IchDerRobot Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die von a erzeugte Untergruppe zu betrachten, ist eine weitere Möglichkeit, nachzuweisen, dass a endliche Ordnung hat.

Wenn allerdings bereits bekannt ist, dass a eine endliche Ordnung hat, dann ist die gestellte Aufgabe trivial. Ich bin gespannt, was Alex1982 dazu meint. smile

Robot Ende
Alex1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Leute.

Habe das ganze jetzt verstanden.

Tschüß
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