Divergenz von (-1)^n

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Divergenz von (-1)^n
Hallo, ich hab zwei fragen.

1. Wie zeigt man die Divergenz von (-1)^n und

2. Man soll zeigen: Aus x_n -> x folgt |x_n| -> |x|. (x_n ist eine Folge). Und man soll sage, ob auch die Umkehrug gilt.

Ich verzweifel schon dran....Bitte um hilfe,
MfG
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

1 und -1 sind einzigen Häfungspunkte der Folge aber zu geeignetem Epsilon wirst du nie ein Folgenglied finden so das alle anderen ...
Großes Fragezeichen Auf diesen Beitrag antworten »

so dass alle anderen x_n in der Epsilon-Umgebung liegen?
Aber wie schreib ich das formal auf? Könnte ich das z.b durch einen Indirekten beweis machen und z.b annehmen, dass (-1)^n gegen 1 konvergiert?
Und dann müsste ich nur irgendwie aus |(-1)^n - 1|< auf einen Widerspruch kommen....
aber wie mach ich das, oder gehts anders?? verwirrt
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

1. Versuch's mal damit:
Wenn eine Folge gegen konvergiert, dann muss auch jede Teilfolge von gegen konvergieren.
2. Da brauchst du die Dreiecksungleichung

,

die du doch sicher kennst oder? Augenzwinkern

Gruß MSS
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Die Dreiecksungleichung an sich kenn ich, aber ich weiss nicht wie man die hier anwenden soll.
Ist dann a der grenzwert von a_n und was ist dann b? der grenzwert der Teilfolge?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, 1. und 2. haben nichts miteinander zu tun. Das bezog sich auf die Aufgabennummerierung. Das nach "1." bezieht sich also auf die 1. Aufgabe, das nach "2." auf die zweite. Kannst du denn mit dem Tipp die erste schon lösen?
Nochmal zur zweiten Aufgabe:
Wenn du in der Ungleichung setzt, erhältst du

.

Das sollte dir weiterhelfen.

Gruß MSS
 
 
Großes Fragezeichen Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn jetz Xn:= (-1)^n.
Soll ich dann zeigen, dass die eine teilfolge, nämlich die der geraden n, also (X0,X2,X4,...) gegen 1 konvergiert und die andere teilfolge, nämlich (X1,X3,X5,..) den Grenzwert -1 und Xn somit insgesammt divergiert?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das. Wenn du zwei Teilfolge mit verschiedenen Grenzwerten hast, dann kann die Gesamtfolge natürlich nicht konvergieren, siehe meiner obigen Bemerkung.
Und wie sieht es bei 2. aus? Kommst du da weiter? Augenzwinkern

Gruß MSS
Großes Fragezeichen Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das ist schon mal gut, das versteh ich auch...aber wie schreibt man sowas formal auf?
Konvergenz zeigen konnte ich noch nie....

Und bei der zwei weiss ich leider auch nicht, wie man da weiter rechnet. Vielleicht würde mir da ein weiterer tip helfen.. Augenzwinkern
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Dass konstante Folgen konvergieren, dürfte eigentlich klar sein. Nungut.
Bei beiden Aufgaben hilft es, dass du zuerst einmal die Definition von Konvergenz einer Folge gegen aufschreibst! Also, schreib das mal hier rein, am besten mit Formeleditor.

Gruß MSS
Großes Fragezeichen Auf diesen Beitrag antworten »

Da fällt mir grad ein, dass wir das mit: Wenn die Folge gegen einen Grenzwert konvergiert, dann konvergiert die Teilfolge gegen denselben Grenzwert gar nicht bewiesen haben....deshaln bin ich mir grad nicht sicher, ob ich dass dan verwenden darf.....hm....
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Dann beweis das schnell. Das ist ganz einfach.

Gruß MSS
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Die Def. für Konvergenz:
ist äquivalent mit
und kann man ja schreiben als
das ist die Def...
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz genau. Jetzt zeige damit mal, dass konstante Folgen konvergieren!

Gruß MSS
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oh nein....einfach ist das nicht. mal schaun ob ichs hinkriegt....man weiss ja gar nicht, wo und wie man anfangen soll....unglücklich
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Man fängt das immer so an:
Sei beliebig vorgegeben. Dann schreibt man erstmal aus und dann versucht man das abzuschätzen, um letztendlich ein solches angeben zu können.

Gruß MSS
Großes Fragezeichen Auf diesen Beitrag antworten »

ja, aber wenn ich jetzt beiweisen will das wenn dann ist
, was soll ich denn da ausschreiben?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Naja: Sei eine Teilfolge: Du musst ja nun für jedes ein finden, sodass gilt für alle . Das kann ich ja ausnahmsweise mal zeigen:
Da geht, gibt es für jedes ein , sodass bleibt für alle . Jetzt geht aber für . Deshalb gibt es ein , sodass bleibt für alle . Dann ist für diese aber auch . q.e.d.
Hast du das mit der konstanten Folge denn schon geschafft? 2. läuft übrigens ähnlich wie das grad eben, nur noch wesentlich kürzer.

Gruß MSS
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bin dabei....
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Wenn man jeztz als Bsp. die konstante Folge nimmt mit x als Grenzwert, dann muss doch gelten, dass es für ein gibt, so dass , das ex. aber nicht es ja immer gilt ....aber wie soll man das zeigen?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht ganz, was du meinst.
Die konstante Folge hat doch als Grenzwert .
Sei beliebig. Dann ist doch für alle :



und nun musst du ein finden, sodass bleibt für alle . Und das ist jetzt aber trivial.

Gruß MSS
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keine ahnung, ich bin schon so durcheinander mit dieser konvergenz....oder es ist einfach schon zu spät....auf jeden fall wird das Fragezeichen immer größer..
es gilt doch für alle , oder?
Großes Fragezeichen Auf diesen Beitrag antworten »

Wir hatte mal das Archidemische Prinzip, das besagt: . Also ex. und dann kann man doch sagen:
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. D.h., du kannst für alle immer wählen.

Gruß MSS
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D.h. ich zeige zuerst bei 1. dass mit den Teilfolgen und deren Konvergenz, dann nehm ich mir die einzelnen Teilfolgen vor und zeige deren konvergenz, einmal gegen 1 und einmal gegen -1. Dann ist die Folge insgesammt nicht konvergent....

Und bei zwei? Da muss ich wohl noch ne weile dran rumnbasteln...
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, du kannst ja nach Voraussetzung zu jedem ein finden, sodass bleibt für alle . Dann ist für alle aber auch



und das war's schon.

Gruß MSS
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Wenn ich jetzt also ein konkretes Beispiel nehme und sagen:
, dann kann ich doch die Konvergenz folgendermaßen zeigen:
Annahme lim(x_n)=0



Tatsache, jetzt seh ichs auch...und es reich, wenn ichs so aufschreibe? Ich meine man siehts sofot, aber ob das reicht, denn wir müssen es ja zeigen

Übrigens haben wir das mit der Konvergenz der Teilfoge heute bewiesen und auch am Bsp. von (-1)^n gezeigt. Aber der Prof. hat wohl gemeint, dass es zwar auch so geht, wirs aber anders machen müssen....

Aber dann hab ichs mit der 2. ja verstanden.....vielen lieben Dank!!!! smile
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ein Beispiel reicht da natürlich nicht. Du musst das schon allgemein beweisen, wie ich oben gesagt hab.
Und wie ist es bei 1. jetzt? Ihr sollt das ohne Teilfolgen und so machen?

Gruß MSS
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also reicht das so hinzuschreiben, so wie dus oben gesagt hast, für 2 jetzt? weil ich finde, dass es so reicht, also wenn man jezt allgemein schreiben würde:
, und das gilt, wegen Dreiecksungleichung...und das , wegen des Archimedischen Prinzips, und , wegen ....

zu 1: ja, ohne teilfolgen...also denk dann mal mit der allgemeinen Def. für konvergenz. Kann man das nicht irgendwie doch mit dem indirektem Beweis machen? Wenn man jetzt wirklich annimmt, dass (-1)^n gegen 1 konvergiert und das dann mit zum Widersruch führen?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Bei 2.: Da darfst du nicht das und mit reinbringen!! Das hat doch gar nichts damit zu tun! Sondern einfach so machen, wie ich's oben hingeschrieben hab:



.

Und bei 1.: Der Ansatz ist zwar gut, aber dass du zeigst, dass nicht der Grenzwert ist, reicht nicht aus. Wer sagt dir, dass nicht vielleicht der Grenzwert ist?

Gruß MSS
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zu 1.
wir haben das bei der folge 1/(n+1) zb. so gemacht, dass wir gesagt haben, dass man annimmt, dass 0 der Grenzwert ist....
und das dann gezeigt. Wenn man das aber annimmt, ist das ja auch nur so ne Art Behauptung und muss nicht gelten,....
Sonst könnte man doch einen allgemeinen Grenzwert wählen:
und das widerlegen...das könnte man doch so machen oder?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du musst sogar eine beliebige Zahl wählen und widerlegen, dass diese der Grenzwert ist.
Bei konvergenten Folgen ist es anders. Da kannst du ja vermuten, was der Grenzwert ist und dann musst du nur beweisen, dass er es auch wirklich ist. Da brauchst du andere Zahlen natürlich nicht mehr zu betrachten.

Gruß MSS
Großes Fragezeichen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Genau. D.h., du kannst für alle immer wählen.

Gruß MSS


Ich hab mal dazu noch ne frage, warum kann ich wählen? Ich könnte doch genausogut wählen, oder wählt man 1 weil es das kleinste ist?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du kannst auch oder wählen. Das ist ja nun wirklich egal. Wenn du ein als wählen kannst, dann kannst du natürlich immer jede Zahl auch als wählen.

Gruß MSS
Großes Fragezeichen Auf diesen Beitrag antworten »

Hab grad in meinem Skript nachgeschaut, und bin auf den Durchschnitt von Epsilon-Umgebungen gestoßen und hab nun folgende Idee...

zuertst wähl ich für und schreibe auf:
da ist

Falluntescheidung:

1. Fall: n=2n




2. Fall: 2n-1




Da und keine gemeinsame Elemente enthalten, konvergiert die folge nicht....denn das müsste im fall einer konvergenz gelten...

Und dann könnte man es ja für ein beliebiges zeigen..
Dann kommt eben raus und enthalten keine gem.
Und damit wär es doch gezeigt, oder?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist ok. Aber du musst es dann nicht mehr für jedes zeigen, es reicht, wenn du das für eines, z.B. für zeigst.

Gruß MSS
Großes Fragezeichen Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist die 1. endlich fertig, und die 2 mach ich so, wie dus geschrieben hast...da muss ja nicht mehr hinzu?

Endlich, nach 35 posts ist es fertig...... Tanzen
Danke schön für die Hilfe!!
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das kannst du so übernehmen, da musst du nichts mehr hinzufügen. Augenzwinkern

Gruß MSS
Großes Fragezeichen Auf diesen Beitrag antworten »

Hab noch was entdeckt, bei 2 sollten wir noch sagen, ob die Umkehrung gilt.
Und die kann gelten, muss aber nicht, oder? Denn es ist ja
Und die Umkehrung gilt nur in dem Fall, wenn beide Seiten gleich sind....und das ist doch wenn x=0, oder. Sonst gilt die Umkehrung nicht....
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du der Meinung bist, dass die Umkehrung gilt, musst du es beweisen. Wenn du meinst, dass sie nicht gilt, dann musst du nur ein Gegenbeispiel angeben.

Gruß MSS
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