Funktionen abschnittsweise definieren

21.04.2008, 13:26

nuschl

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Funktionen abschnittsweise definieren

hallo.

Wink

ich habe einige fragen zum thema abschnittsweise definition von funktionen. anfangen will ich mit folgenden vorschriften:

Beschreiben folgende Angaben Funktionen?

a) $\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases}x^2& x<0 \\ 2x+1 & 0<x<2 \\ x+5& 2<x \end{cases} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases}x^2& x<3 \\ x-1 & 1<x<3 \\ 2x& 3<x \end{cases} \end{eqnarray*}$

ok, jede angabe ist eine funktion. wie kann ich jetzt 100%ig bestimmen und erklären, ob es eine funktion ist oder nicht. a) ist eine funktion, b) hingegen nicht. mir geht es um das verständnis.

21.04.2008, 13:28

Dual Space

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RE: Funktionen abschnittsweise definieren

Zitat:

Original von nuschl
mein problem ist jetzt, dass ich nicht weiss, wie ich das sehen soll. ist das nur EINE funktion, die verschiedene vorschriften an bestimmten bereichen hat oder soll jede vorschrift als eine eigene funktion gesehen werden, die einen eigenen bereich hat.

Sowohl als auch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

mich irrietiert folgende frage:

"Beschreiben folgende Angaben (siehe oben) Funktionen?"

Wie sind denn Funktionen definiert? Falls das obige Konstrukt der Definition entspricht, handelt es sich um eine Funktion.

21.04.2008, 13:28

tigerbine

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RE: Funktionen abschnittsweise definieren
Wie geht das mit latex? Idee!

Idee!

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases}1& x<0 \\ 0 & 0\leq x \end{cases} \end{eqnarray*}$

code:
1:	[latex]f(x)=\begin{cases}1& x<0 \\ 0 & 0\leq x \end{cases}[/latex]

21.04.2008, 13:38

nuschl

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Biene: danke smile

smile

Dual Space: verstehe nur bahnhof. Augenzwinkern

Augenzwinkern

ps: die fragestellung werde ich jetzt mal genau aufschreiben.

21.04.2008, 13:49

Dual Space

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RE: Funktionen abschnittsweise definieren

Zitat:

Original von Dual Space
Wie sind denn Funktionen definiert?

Beantworte doch einfach meine Frage. Um es vorweg zu nehmen: a) ist eine Funktion b) hingegen nicht. Warum das so ist siehst du sofort, wenn du dir die Definition einer Funktion anschaust.

Anders gefragt: Was ist bei b) f(2)?

21.04.2008, 13:51

nuschl

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dass ein element der Definitionsmenge eindeutig einem element der Wertemenge zugeordnet wird?

ps: wie sehen die definitionsbereiche zu a) und b) aus? werden die abschnitte einfach zusammengeworfen?

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21.04.2008, 14:18

Dual Space

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Zitat:

Original von nuschl
dass ein element der Definitionsmenge eindeutig einem element der Wertemenge zugeordnet wird?

Exakt.

Zitat:

wie sehen die definitionsbereiche zu a) und b) aus? werden die abschnitte einfach zusammengeworfen?

Ja, sofern es sich um eine Funktion handelt.

21.04.2008, 14:28

nuschl

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also sehen die wertetabellen folgendermaßen aus?

a)
x |...| -3 | -2 | -1 | 1 | 3 | 4 | ...
----------------------------------------------
y |...| 9 | 4 | 1 | 3 | 8 | 9 | ...

hier komme ich ins stolpern. -3 und 4 liefern den selben wert. ist das nicht demnach eine relation und keine funktion?

b)
x |...| -1 | 0 | 1 | 2 | 4 | 5 | ...
----------------------------------------------
y |...| 1 | 0 | 1 | 1 | 8 | 10 | ...

hier ist das eindeutiger.

oder gehe ich das problem vollkommen falsch an?

21.04.2008, 15:15

nuschl

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kann mir niemand weiterhelfen? unglücklich

unglücklich

21.04.2008, 15:22

tigerbine

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Nein, du verstehst da was falsch. Jedem x muss eindeutig ein y zugeordnet werden können, damit es eine Funktion ist. Wenn man jedem y eindeutig ein x zuordnen kann, dann hat die Funktion eine bestimme Eigenschaft, diese nennt man Injektivität

21.04.2008, 19:41

Dual Space

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Zitat:

Original von nuschl
b)
x |...| -1 | 0 | 1 | 2 | 4 | 5 | ...
----------------------------------------------
y |...| 1 | 0 | 1 | 1 | 8 | 10 | ...

Die Werte tabelle ist falsch. Was ist f(2)?

21.04.2008, 20:22

nuschl

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$\begin{eqnarray*} f(x) = x-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(2) = 2-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(2) = 1 \end{eqnarray*}$

2 liegt in diesem def.-abschnitt: $\begin{eqnarray*} 1<x<3 \end{eqnarray*}$ deswegen habe ich die vorschrift $\begin{eqnarray*} x-1 \end{eqnarray*}$ genommen.

21.04.2008, 22:26

Dual Space

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Was ist mit dem ersten "Abschnitt"? 2 ist auch kleiner als 3.

21.04.2008, 23:20

nuschl

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kannst du mir bitte kurz erklären, wie du persönlich vorgehst? das buch hier ist fürn arsch.

folgende begründungen stehen zu ...

a) da jedem x-wert trotz der verschiedenen vorschriften immer nur ein x-wert zugeordnet wird, handelt es sich hier um eine funktion.

b) bei dieen vorschriften überschneiden sich die angegebenen bereiche der x-werte zwischen x=1 und x=3. in diesem bereich müssen die zwei terme x² und x-1 zur berechnung der y-werte herangezogen werden. für x = 2 erhalten sie beim term x²:2² = 4 und beim term x-1: 2-1=1. da die werte verschieden sind, handelt es sich nicht um eine funktion.

22.04.2008, 10:46

Dual Space

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Gut erklärt. Freude

Freude

22.04.2008, 22:33

nuschl

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nur leider nicht für mich Augenzwinkern

Augenzwinkern

kannst du die erklärung bitte erläutern?

22.04.2008, 22:46

tigerbine

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Mal zum Beweisen oder eher gesagt überprüfen. Da ist zunächst einmal Logik gefragt. Bevor wir uns also fragen können, ob durch eine Abbildungsvorschrift ine Funktion definiert wird, müssen wir erst einmal wissen, was eine Funktion ist. Aus der Definition kann man ggf. auch noch Eigenschaften ableiten. Nun gibt es "2" Möglichkeiten:

1. Wir können alle Bedingungen nachweisen => es ist eine Funktion

2. Wir finden eine Eigenschaft, die nicht erfüllt ist => es kann keine Funktion sein.

Zu deiner Aufgabe. b) widerspricht der Eigenschaft, dass eine Funktion jedem "x" eindeutig ein "y" zuordnet. Somit kann es nicht nicht um eine Funktion handeln.

23.04.2008, 09:15

nuschl

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Zitat:

Original von tigerbine
Mal zum Beweisen oder eher gesagt überprüfen. Da ist zunächst einmal Logik gefragt. Bevor wir uns also fragen können, ob durch eine Abbildungsvorschrift ine Funktion definiert wird, müssen wir erst einmal wissen, was eine Funktion ist. Aus der Definition kann man ggf. auch noch Eigenschaften ableiten. Nun gibt es "2" Möglichkeiten:

1. Wir können alle Bedingungen nachweisen => es ist eine Funktion

2. Wir finden eine Eigenschaft, die nicht erfüllt ist => es kann keine Funktion sein.

Zu deiner Aufgabe. b) widerspricht der Eigenschaft, dass eine Funktion jedem "x" eindeutig ein "y" zuordnet. Somit kann es nicht nicht um eine Funktion handeln.

danke bienchen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

was eine funktion ist und wie sie definiert ist, habe ich verstanden. nun kommt noch der punkt, wie man das mit diesen einzelnen abschnitten macht. das verwirrt mich.

bei einer funktion mit nur einer vorschrift ist das ja kein problem. wenn zum definitionsbereich nichts steht, ist dieser ja meist |R. und wenn doch was steht, dann habe ich ja einen definitionsbereich, den ich untersuchen kann. der kernpunkt ist, dass ich |D hier genau kenne.

bei diesen beispielen hier sind 3 vorschriften aufgeschrieben und für jede vorschrift ein abschnitt. sind das alles abschnitte EINES einzigen definitionsbereichs? oder soll ich jeden abschnitt als eigenständigen definitionsbereich sehen? hier kommt das problem. ich weiss nicht genau, wie ich die wertetabelle aufstellen soll, weil ja nicht jede stelle definiert ist.

hoffe, mein problem ist jetzt jedem klar! verwirrt

verwirrt

23.04.2008, 09:23

klarsoweit

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Zitat:

Original von nuschl
bei diesen beispielen hier sind 3 vorschriften aufgeschrieben und für jede vorschrift ein abschnitt. sind das alles abschnitte EINES einzigen definitionsbereichs?

Ja. Der Definitionsbereich umfaßt die Menge aller x, für die die Funktion definiert ist. Man kann also zu jedem x aus D einen Funktionswert f(x) bestimmen. Bei abschnittsweise definierten Funktionen muß man eben schauen, in welchen Abschnitt ein konkretes x fällt, bevor man den Funktionswert ermittelt.

23.04.2008, 09:39

nuschl

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vielen dank! smile

smile

jetzt kommt licht in die ganze sache.

was ist an dieser werte tabelle falsch? denn für -3 und für 4 kommt der selbe funktionswert raus.

Zitat:

a)
x |...| -3 | -2 | -1 | 1 | 3 | 4 | ...
----------------------------------------------
y |...| 9 | 4 | 1 | 3 | 8 | 9 | ...

ist der definitionsbereich hier falsch gewählt?

zu b) kommen wir, wenn a) geklärt ist. smile

smile

23.04.2008, 09:47

TheWitch

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An der Tabelle ist gar nichts falsch. Zu verschiedenen x-Werten dürfen durchaus die gleichen Funktionswerte rauskommen. Es dürfen aber nicht zum gleichen x-Wert verschiedene Funktionswerte rauskommen.

23.04.2008, 10:02

tigerbine

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Zitat:

Original von tigerbine
Nein, du verstehst da was falsch. Jedem x muss eindeutig ein y zugeordnet werden können, damit es eine Funktion ist. Wenn man jedem y eindeutig ein x zuordnen kann, dann hat die Funktion eine bestimme Eigenschaft, diese nennt man Injektivität

D.h. dann also im Falle einer Funktion, nehmen wir den Klassiker f(x)=x² eben nur, dass sie nicht injektiv ist.

23.04.2008, 10:04

nuschl

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danke! genau das war mein problem. Augenzwinkern

Augenzwinkern

b)
x |...| -1 | 0 | 1 | 2 | 2 | 4 | 5 | ...
----------------------------------------------
y |...| 1 | 0 | 1 | 4| 1 | 8 | 10 | ...

jetzt sehe ich auch, wieso b) falsch ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

es ist nämlich eine relation. smile

smile

wenn eine stelle (wie hier x=2) mehr als eine vorschrift hat und nur ein einziger funktionswert von anderen abweicht, so ist das keine funktion? wenn jede vorschrift aber den selben funktionswert liefert, so ist das trotz verschiedener vorschriften eine funktion?

jetzt macht die erklärung aus dem buch einen sinn für mich.

@biene: jetzt habe ich auch das mit der injektivität auch verstanden, danke! Mit Zunge

Mit Zunge

23.04.2008, 10:37

klarsoweit

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Zitat:

Original von nuschl
wenn eine stelle (wie hier x=2) mehr als eine vorschrift hat und nur ein einziger funktionswert von anderen abweicht, so ist das keine funktion?

Ja.

Zitat:

Original von nuschl
wenn jede vorschrift aber den selben funktionswert liefert, so ist das trotz verschiedener vorschriften eine funktion?

Rein formal würde ich ja sagen. Praktikabel ist sowas aber nicht.

23.04.2008, 10:57

AD

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Zitat:

Original von klarsoweit
Praktikabel ist sowas aber nicht.

Das würde ich so pauschal nicht sagen. Wenn ich z.B. an kubische Splines denke, dann definiert man die durchaus abschnittsweise $\begin{eqnarray*} x_{k-1} \leq x \leq x_k \end{eqnarray*}$ , hat also an den Nahtstellen $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ "doppelte" Definitionen. Da man dort aber sowieso auf Stetigkeit an diesen Nahtstellen achten muss, ist die Definition dann auch wieder Ok.

23.04.2008, 11:04

nuschl

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ich will sowas auch können. wie muss ich vorgehen, um das alles so zu verstehen, wie ihr? habe mathematik eigentlich immer geliebt und es macht mir spaß. wie lange braucht man, um auch komplexe themen zu verstehen?

bei mir steht momentan analysis auf dem plan, danach stochastik. die gesetze der algebra habe ich eigentlich schon drauf.

23.04.2008, 11:29

Dual Space

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Übung macht den Meister. Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.04.2008, 13:37

nuschl

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was konkretes zum üben? Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.04.2008, 15:20

nuschl

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und nochwas, wie würde man den definitionsbereich in der mengensprache hinschreiben? also in der form |D = {x| ... }. soll man die einzelnen abschnitte mit einem und-operator verbinden oder kann man hier auch ein intervall angeben und dann die einzelnen nicht definierte elemente mit / ausschließen?

kann mir jemand je ein beispiel für a) und b) hinschreiben? dient nur zum verständnis und hat nichts mit noten zutun.

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