Logische Umformung mit Quantoren

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IchDerRobot Auf diesen Beitrag antworten »
Logische Umformung mit Quantoren
Hallo,

ich soll die Äquivalenz dieser beiden Aussagen zeigen:
und
Dabei sind A und B beliebige logische Aussagen, wobei A von x abhängt aber B nicht, und M ist eine nichtleere Menge.

Dass das gelten soll will mir nicht in den Kopf.
Nehmen wir an, M ist eine Herde Schafe, A(x) = "x hat ein rotes Fell", B = "alle Schafe haben dieselbe Fellfarbe".

Wenn jetzt alle Schafe rot sind, dann haben alle Schafe dieselbe Fellfarbe, also gilt die linke Aussage.
Aber warum sollte ein einzelnes Schaf existieren, das durch sein rotes Fell dafür sorgt, dass die ganze Herde dieselbe Fellfarbe hat?

Ich sehe auch nicht, wie man das logisch beweisen kann.

Bitte helft mir, dem
Robot
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Implikation ist keine Folgerung.
Deshalb führen solche Veranschaulichungen zu komischen Resultaten. Mach eine Fallunterscheidung anhand dessen ob wahr oder falsch ist. Aber nicht mit deinen Schafen, sondern mit der Formel.
IchDerRobot Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo papahuhn,

wenn eine Implikation keine Folgerung ist, was ist es denn dann?

Robot
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

ist eine andere Notation für .

Edit: Vielleicht sollte ich doch etwas mehr dazu sagen.
Nimm meine Aussage nicht als eine mathematisch bewiesene Tatsache auf. Es ist eher ein Tipp, die Implikation nicht als Folgerung zu betrachten, sondern als eine stinknormale Formel, die sich praktisch wie eine Folgerung verhält.
Hier zur Anschauung, warum beide Gebilde für mich nicht ein und dasselbe sind:
. Diese Aussage passt für fast alle natürlichen Zahlen. Aber es gibt ein Gegenbeispiel, und das reicht, damit die komplette Folgerung falsch ist.
. Diese Formel ist ohne nähere Angabe von weder wahr, noch falsch. Quantoren habe ich bewusst weggelassen. Wenn du einsetzt, wird die Implikation wahr. Wenn du aber nimmst, ist sie falsch.

EDIT: «\Rightarrow» eingesetzt. Implikation ist ein Doppelpfeil Augenzwinkern
(Frooke)


@Frooke: Nein, ist sie nicht. Ich rede ja extra von Implikationen im Gegensatz zu Folgerungen.
IchDerRobot Auf diesen Beitrag antworten »

OK, wir bewegen uns in der klassischen Logik, da ist das dasselbe.
Was ist dann eine "Folgerung"?

Wenn ich die Fallunterscheidung auf mein Schafbeispiel anwende, erhalt ich:
Falls B wahr ist, dann gilt "A(x) -> B" für jedes Schaf, also kann ich mir einfach eins aussuchen.
Falls B falsch ist, dann ist es wichtig, was für ein Schaf ich nehme. Wenn ich ein rotes nehme, ist "A(x) -> B" falsch, also muss ich ein nichtrotes nehmen. Aber warum gibt es jetzt ein nichtrotes Schaf?

Robot
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Falls B falsch ist, dann ist es wichtig, was für ein Schaf ich nehme. [...] Aber warum gibt es jetzt ein nichtrotes Schaf?
.
Was bedeutet es denn, dass falsch ist?
 
 
IchDerRobot Auf diesen Beitrag antworten »

Die Implikation ist eine logische Formel, das weiß ich. Dass sie ohne Angabe von n weder wahr noch falsch ist, ist klar, weil n in der Formel eine freie Variable ist.

Ist die Folgerung denn keine logische Formel? Was ist es dann? Du sagst, hier reicht ein Gegenbeispiel aus - ist das n hier nicht frei?


Nicht B bedeutet, dass es Schafe mit verschiedener Fellfarbe gibt. Mindestens eins davon ist nicht rot (wenn eines rot ist, dann ist wenigstens das andere nicht rot).
Es gibt also ein nicht rotes Schaf, das die Implikation "A(x) -> B" wahr macht.

Na da soll einer drauf kommen! "Es gibt ein Schaf (das nicht rot ist!), das wenn es rot ist, dafür sorgt, dass die ganze Herde rot ist."


Wir sollen ja die Äquivalenz dieser beiden Aussagen zeigen, die Rückrichtung ist mir bei den Schafen klar:
Wenn alle Schafe rot sind, und - nach Voraussetzung - ein Schaf existiert, dessen Rotsein für die Einfarbigkeit der Herde sorgt, dann ist insbesondere dieses Schaf rot und deshalb ist die Herde einfarbig.

Jetzt muss ich das nur noch logisch aufschreiben...

Robot
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IchDerRobot
Ist die Folgerung denn keine logische Formel? Was ist es dann?


Das ist eine Aussage, hat also bereits einen Wahrheitswert. Formeln werden erst durch eine Interpretation wahr oder falsch. Eine Folgerung ist genau dann wahr, wenn es keine Gegenbeispiele gibt. Sie ist übrigens bereits syntaktisch keine Formel.

Zitat:
Original von IchDerRobot
Jetzt muss ich das nur noch logisch aufschreiben...


Dann bleib mit deinen Schafen weg. Anhand der Formel ist die Fallunterscheidung keine Mühe.
IchDerRobot Auf diesen Beitrag antworten »



Ist es so richtig?

Robot
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Du schreibst es ziemlich merkwürdig auf, aber ich denke du meinst das richtige. Wenn du nämlich genau hinguckst, wirst du feststellen, dass du die Voraussetzungen beider Richtungen gar nicht benutzt, sondern nur die Tatsache, dass wahr bzw. falsch ist. Etwas kompakter aufgeschrieben:

Fall


, wegen Definition der Implikation und der Tatsache, dass frei und nicht leer ist.

Fall kannst du ja noch selber probieren.
IchDerRobot Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt: Im Fall, dass B wahr ist, brauche ich die Voraussetzung nicht, weil dann beide Formeln stets wahr sind.

Falls ist, können die beiden Formeln aber auch falsch sein (was man an meiner bunten Herde sieht. Augenzwinkern )




Das ist ja einfach. smile

Robot
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Noch einfacher wirds wenn du benutzt, dann fällt die Fallunterscheidung weg.
IchDerRobot Auf diesen Beitrag antworten »


smile

Robot
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Der Knackpunkt ist in dem Fall, ob/dass man das reinziehen darf. Im Prinzip auch eine Fallunterscheidung, aber natürlich viel einfacher.
IchDerRobot Auf diesen Beitrag antworten »

Ja papahuhn,

an der Stelle hab ich auch kurz überlegen müssen. Ich hab dann dort doch wieder ne Fallunterscheidung gemacht. Aber immerhin beschränkt sich die jetzt auf den einen Schritt.

Robot

PS: Machst du deine lange Formel da oben etwas schmaler? Die Anzeige ist so verschoben.
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, hab ich nicht dran gedacht.
IchDerRobot Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für eure guten Ideen, papahuhn und irre.flexiv.

Robot Ende
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