Induktion

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manifold Auf diesen Beitrag antworten »
Induktion
Hallo! Ich hab ein Problem mit folgender Aufgabe.
Man muss zeigen, dass die folgende Ungleichung für alle gilt:

Ich kann beim Induktionsschluss irgendwie keine Umformung von der Summe bis n+1 vornehmen, um dann mit Hilfe der Indukionsannahme eine gescheite Abschätzung durchzuführen.

Also meine Überlegungen waren die folgenden:

Also um die Aussage zu beweisen, muss gezeigt werden dass
für alle
1) A(2): 1/2<1(wahr);
2) Sei A(n) wahr, dann muss A(n+1) auch wahr sein:
...und weiter weiß ich net mehr genau...hab vieles ausprobiert, aber ohne Erfolg.
und nach Induktionsvoraussetzung, aber das heißt doch noch nicht, dass die Summe kleiner 1 ist.
Also irgendwelche Tipps, Vorschläge. Seht ihr vielleicht etwas, was ich nicht sehe? Wink
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Schätze ab und damit , damit bist du fast am Ziel.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@sqrt(2)
Wie soll das helfen? Ich denke, das geht nicht mit Induktion, aber es geht mit einer einfachen Abschätzung:



für.

Gruß MSS
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

,

womit man das Problem auf die Induktionsannahme zurückgeführt hat.

Wobei ich damit zugegebenermaßen auch eine obere Schranke beweisen könnte. Aber wo liegt der Fehler? verwirrt
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du auf die erste Ungleichung? Wenn du die IA verwenden würdest, müsste da ein Plus und kein Minus stehen.

Gruß MSS
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Da ich nicht weiß, welche "erste Ungleichung" du jetzt meinst, einmal mein ganzer Gedankengang:

Zu zeigen ist ja

;

den zweiten Summanden auf die andere Seite gebracht und die Abschätzung



angewandt, die durch Addition von 1 und Subtraktion des Bruchs sich aus



ergibt, ergibt das insgesamt die Induktionsannahme

.

Das funktioniert dummerweise auch mit , irgendwo da muss ein dummer Fehler sein, den ich nicht finde.
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sqrt(2)
Zu zeigen ist ja

;

...

ergibt, ergibt das insgesamt die Induktionsannahme

.

Du schreibst oben selbst noch, das wäre zu zeigen. Dann nimmst du aber das zu beweisende an und zeigst die Induktionsannahme. Was hast du dMn damit bewiesen?

Gurß MSS
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Ich führe die Aussage A(n+1) (obere Ungleichung) auf die Aussage A(n) zurück, die gemäß Induktionsannahme wahr ist, genauso, wie wenn ich auf zurückführe.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau. Du machst und nicht .
Bei deinem anderen Beispiel gilt genau dasselbe: Wenn du aus



die Gleichung



folgerst, hast du die Gleichung nicht bewiesen. Du musst aus



die Gleichung



folgern.

Gruß MSS
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, jetzt ist der Groschen gefallen. smile
o.B.d.A. Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo zusammen!
Ich muss die gleiche Aufgabe wie manifold lösen. Mit dem Ansatz von MSS bin ich aber leider nur bedingt weiter gekommen.
Mit vollständiger Induktion ist es mir gelungen die Ungleichung
für zu beweisen.
Allerdings weiß ich nicht, wie ich die Ungleichung für beweisen kann.
Wäre für Hilfe äußerst dankbar!
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Für alle reellen und alle gilt die Summenformel für die Partialsummen der geometrischen Reihe:

.

Gruß MSS
manifold Auf diesen Beitrag antworten »

sqrt(2), MSS, danke schön für eure Antworten.

MSS, du hast recht, dass die Aufgabe nicht nach Induktion riecht...zumindest nicht sofort...weil es recht klar ist, dass die Summe aller Zahlen ab dem dritten Summanden kleiner 1 ist. Mit deiner Abschätzung hab ich das noch nicht ausprobiert.
Diese Aufgabe haben wir aber inmitten des Themas "Induktion" bekommen, so dass ich denke, dass wir sie hier auch anwenden müssen.

Vorher ich hab diese Aufgabe auch in ein englisches Forum geschickt. Aber da scheinen die Anfänger unter einer viel größeren Zahl von Profis (also richtige Mathematiker, halt wiss. Mitarbeiter) nicht so beliebt zu sein. Ich wurde da gleich für "doing bad mathematics" kritisiert, und erlangte keine Aufmerksamkeit zu dieser Aufgabe. Ok, zugegeben, ich hab auch wie sqrt(2) den Induktionsschritt (also was eigentlich zu deduzieren war) als erstes hingeschrieben, und so sieht es aus als ob es inder Tat schon wahr wäre. Meine ursprügliche Lösung wurde als falsch bewertet, und in der Tat ist mir dann hinterher klar geworden, dass es bei weitem für den Beweis nicht reicht, was ich zu zeigen versuchte. Ich möchte sie aber hier trotzdem schreiben. Vielleicht fällt was auf und wir kriegen eine Idee.


1) A(0): 1<3 bzw. 1/3<1 (wahr);
2) Sei A(n) dann A(n+1):

Also muss einerseits gelten: , was klar ist, denn für alle n, und gleichzeitig . Das folgt aus der Tatsache, dass und , so dass für alle n?
Leider ist das offensichtlich nicht genug!



Oh, hab die Antworten von o.B.d.A und MSS nicht gemerkt.
Also, ich werde jetzt auch die geom. Reihe einbeziehen, denn es sieht so aus als wäre dieser der beste Weg zu der Lösung. Ich glaub diser Ansatz ist der Mühe wirklich wert. Klo ...mal schauen

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht, was das bringen soll, was du da gemacht hast. verwirrt

Gruß MSS
manifold Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist es...eigentlich GAR NIX! Rock
Naja, da war halt klar, dass beide Summanden kleiner 1 sind, aber das sieht man auch so, glaub ich, aber das ist nich genug dafür, dass die ganze Summe kleiner 1 ist...ich musste doch zeigen, dass ich's zumindest versucht hab. LOL Hammer

MSS, danke für deine Abschätzung und für den Verweis auf die Verbindung zur geom. Reihe. Ich glaub ich kann damit was anfangen. Außerdem ist es auch in der Vorlesung vorgekommen.

Mich würde natürlich interessieren, ob es eine andere Lösung gibt, wo man diese zusätzliche Information nicht braucht...wo man also vielleicht nur durch das Rumspielen mit Summen und Fakultäten zu was gescheitem kommt, aber ok...
o.B.d.A. Auf diesen Beitrag antworten »

Hey! Wink
Erst einmal vielen Dank an MSS! Ich glaube soeben die zweite Ungleichung mit der Summenformel für die Partialsummen der geometrischen Reihe gelöst zu haben Tanzen

Nach Umformen erhält man

Damit ist die Ungleichung für alle bewiesen.
Stimmt doch so, oder? Augenzwinkern

Viele Grüße,
o.B.d.A.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von o.B.d.A.

Das stimmt nicht ganz. Außerdem kann man das auch direkt abschätzen in einer Ungleichungskette und muss nicht nochmal umformen:

.

Gruß MSS
o.B.d.A. Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, stimmt. Das direkte Abschätzen ist wirklich besser als die ganze Umformerei. Dann erst einmal vielen Dank!
VG,
o.B.d.A.
manifold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab doch noch eine Frage.
Wo habt ihr bei der Zerlegung von der Ausgangssumme plötzlich -1 nach der Summe von k=0 bis n (bzw. n-1) her?
Außerdem ist mir die Umnummerierung der Indizes beim Summenzeichen unklar . Muss es nicht etwa so aussehen?:
für alle
verwirrt
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

.



jetzt kann man eine eins addieren und subtrahiern. die -1 bleibt stehen und die +1 kommt in die Summe

mfG 20
manifold Auf diesen Beitrag antworten »

Achso! Gut, danke! Alles klar jetzt! Wink
War das, was ich da oben gemacht hab, auch richtig?
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

jepp, müsste stimmen.
mfG 20
o.B.d.A. Auf diesen Beitrag antworten »

Hey manifold!
Hast du die erste Ungleichung jetzt auch mit Hilfe von vol. Induktion gezeigt?
Ich frag mich nämlich gerade, ob ich das formal korrekt ausgedrückt habe.
Ich habe jetzt zunächst durch vol. Induktion gezeigt, dass die Abschätzung für alle gilt (die letzte Zeile in meinem IS ist ).
Die letzte Zeile in meinem IS für die Ungleichung lautet , was ja nach der Abschätzung für erfüllt ist.
Kann man das so machen bzw. ist das so korrekt geschrieben?
VG,
o.B.d.A.
manifold Auf diesen Beitrag antworten »

Hm...ehrlich gesagt kann ich mir im Moment nicht viel vorstellen, wie du's gemacht hast. Wenn du Zeit hast, kannst du's ein bißchen detallierter aufschreiben, dann schauen wir weiter.

Gruß,
manifold Wink
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Da musst du keine Induktion ansetzen, das kann man auch ohne Induktion simpel begründen. Für gilt nämlich:

.

Gruß MSS
o.B.d.A. Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo! Wink
Sorry, dass ich nicht mehr geantwortet hatte, aber war in letzter Zeit etwas im Stress. @manifold bist du noch an dem Lösungsweg interessiert?
Schönes Wochenende!
VG,
o.B.d.A.
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