Brauche Denkanstoß

21.04.2008, 21:32

dipo01

Brauche Denkanstoß

ich bin heute schon lästig, ich weiß, aber kann mir jemand einen denkanstoß für folgendes beispiel geben?

Man transformiere folgenden Kegelschnitt in Normalform

$\begin{eqnarray*} 19x_1^2-6x_1x_2+11x_2^2-50x_1+50x_2+55=0 \end{eqnarray*}$

21.04.2008, 21:34

kiste

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affine oder euklidische normalform?

Als Tipp: Quadratische Ergänzung

21.04.2008, 21:36

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Denkanstoß - aber gern:
$\begin{eqnarray*} 19x_1^2-6x_1x_2+11x_2^2 = \begin{pmatrix} x_1 & x_2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 19 & -3\\ -3 & 11\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

21.04.2008, 21:39

dipo01

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ok, ich hab schon was gefunden... glaub ich komm jetzt drauf.
danke sehr.

21.04.2008, 22:51

dipo01

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oder doch nicht

hab einen lösungsweg gefunden, kann den aber nicht ganz verfolgen

hier wird zuerst die matrix aufgestellt. hab im internet gesucht und auch einiges gefunden. komm aber nicht auf die richtige matrix.

dann sollte ich die eigenwerte errechnen und dazu die hauptachsen berechnen

dann würds weiter gehen mit substitution, aber soweit komm ich gleich gar nicht...

21.04.2008, 22:54

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Zitat:

Original von dipo01
komm aber nicht auf die richtige matrix.

Augen auf im Thread! Augenzwinkern

21.04.2008, 22:56

dipo01

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ist das $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 19 & -3 \\ -3 & 11 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ schon die richtige matrix??

22.04.2008, 15:43

dipo01

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komm hier wirklich nicht weiter... traurig

22.04.2008, 19:49

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Wieviel weißt du denn über Hauptachsentransformation ?

23.04.2008, 13:21

dipo01

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ok, bin jetzt mal weitergekommen, hab die matrize, eigenwerte berechnet und die dazugehörigen eigenvektoren, diese dann normiert und den vektor Q aufgestellt.
aber jetzt steh ich wieder an...

$\begin{eqnarray*} (x,y)\begin{pmatrix} 19 & -3 \\ -3 & 11 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} +(-50,50)\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} +55 = 0 \end{eqnarray*}$

EW: 16,22

Eigenvektoren:
$\begin{eqnarray*} t\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

normiert erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und der vektor Q:

$\begin{eqnarray*} Q= \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{-1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{-1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wie mach ich jetzt weiter???

23.04.2008, 13:32

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Zitat:

Original von dipo01
EW: 16,22

Leider schon falsch - die richtigen Eigenwerte sind 10 und 20.

Es sieht so aus, als hättest du stattdessen die Eigenwerte von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 19 & -3 \\ -3 & 19 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bestimmt...

23.04.2008, 14:02

dipo01

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ja, versehentlich^^
bin gerade dabei das ganze nochmal zu rechnen

aber hat es ansonsten soweit gestimmt?

23.04.2008, 14:04

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Nein, auch für diese andere Matrix ist zumindest dein zweiter Eigenvektor falsch, Vorzeichenfehler. Der hätte sowas wie

$\begin{eqnarray*} t\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

sein müssen. Dein $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ ist durch diesen Vorzeichenfehler nicht mal regulär, geschweige denn orthogonal...

23.04.2008, 14:15

dipo01

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mit 10 und 20 als EW erhalte ich für 10:

$\begin{eqnarray*} t\begin{pmatrix} 1/3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
für 20:

$\begin{eqnarray*} u\begin{pmatrix} 1 \\ -1/3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

23.04.2008, 14:28

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Sieht gut aus.

23.04.2008, 14:32

dipo01

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als nächstes muss ich die jetzt normieren und erhalte:
$\begin{eqnarray*} \frac{3\sqrt{10} }{10} \begin{pmatrix} 1/3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3\sqrt{10} }{10} \begin{pmatrix} 1 \\ -1/3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so, jetzt bin ich so weit wie vorher.. aber wie mach ich dann weiter=?

23.04.2008, 15:19

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Ich gehe mal wie in der Wikipedia von den Bezeichnungen $\begin{eqnarray*} x^T A x + b^T x + \mu = 0 \end{eqnarray*}$ aus. Du hast jetzt die Diagonalisierung $\begin{eqnarray*} A=QDQ^T \end{eqnarray*}$ mit der Diagonalmatrix $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ bestehend aus den Eigenwerten, sowie der orthogonalen Transformationsmatrix $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ bestehend aus Eigenvektoren berechnet, gut.

Jetzt weiter im Text: Du führst die Drehung aus - also die Substitution $\begin{eqnarray*} y=Q^Tx \end{eqnarray*}$ , was wegen der Orthogonalität von $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} x=Qy \end{eqnarray*}$ ist.

Klar ist $\begin{eqnarray*} x^TAx = x^TQDQ^Tx = y^T D y \end{eqnarray*}$ , es geht bei der Substitution eher um die noch verbleibenden linearen Anteile $\begin{eqnarray*} b^Tx= b^TQy = c^Ty \end{eqnarray*}$ , wenn man $\begin{eqnarray*} c:=Q^Tb \end{eqnarray*}$ berechnet. Im vorliegenden Fall betrifft das

$\begin{eqnarray*} -50x_1+50x_2 \end{eqnarray*}$

Wenn das fertig ist bringt man das ganze durch eine Verschiebung in den Ursprung, und zwar durch quadratische Ergänzung.

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