Flächeninhalt des Grundkreises eines Kegels in Abhängigkeit von der Mantelfläche und der Höhe

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Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
Flächeninhalt des Grundkreises eines Kegels in Abhängigkeit von der Mantelfläche und der Höhe
Hi,
ich habe in meinem Buch folgende Aufgabe gefunden:

"Gegeben ist ein Kegel mit der Größe der Mantelfläche und der Höhe h. Gib den Flächeninhalt des Grundkreises in Abhängigkeit von und h an."

Ich habe schon ziemlich viel probiert mit Verhältnissen von Mantelfläche zu Grundfläche und dann umstellen und s durch h und r ersetzen, um dann r wegkürzen zu können usw.. Bis jetzt hat aber noch nichts gefruchtet!
Für alle die es nicht mehr wissen, gebe ich mal die Formeln:







Schonmal danke für die Antworten!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist gar nicht mal so schwer, nur eine Rechnerei; wobei sich's fragt, welchen "Nährwert" das haben soll ...

Ich nenne die Mantelfläche M und die Fläche des Grundkreises G.

Aus r = M/(PI*s) folgt ->

G = M²/(PI*s²), darin ist noch das s zu ersetzen

s² = h² + r²
s² = h² + M²/(PI²*s²)
PI²s^4 - h²PI²s² - M² = 0
diese Gleichung ist biquadratisch in s (quadr. in s²)

s²1,2 = (h²PI² +/- sqrt((h^4)PI^4 + 4PI²M²))/(2PI²)

PI² aus der Wurzel, durch PI kürzen
minus vor der Wurzel verwerfen, da die Wurzel größer ist als h²PI²

s² = (h²PI + sqrt(PI²h^4 + 4M²))/(2PI)

dies in G -> (durch PI kürzen)

G = 2M²/(h²PI + sqrt(PI²h^4 + 4M²))

Gr
mYthos
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Mythos,
erstmal vielen, vielen Dank für die Lösung der Aufgabe!!!!!!!!!
Ich hab mal ne Frage an dich. Ich bin Schüler der 10. Klasse. Diese Aufgabe ist aus meinem Lehrbuch. Denkst du nicht, die ist zu schwer für Schüler der 10. Klasse????? Sie ist zwar gekennzeichnet als "Aufgabe, welche die Selbstständigkeit in besonderer Weise herausfordert", aber ich kann dir ja mal sagen, was man als Schüler der 10. Klasse an deiner Lösung noch nicht weiß:

1. Man kennt die Mitternachtsformel nicht, d.h. beim Thema "quadratische Gleichungen" in der 9. Klasse wird den Schülern zwar die allgemeine Form "ax² + bx + c = 0" gegeben, dann aber damit nicht weiter gearbeitet. Es ist ungefähr so, dass der Lehrer sagt, es gibt diese Form. Dann schreibt er sie an und geht sofort über zur Normalform "x² + px + q = 0". D.h. die Schüler arbeiten nur mit der Normalform und auch nur mit der Lösungsformel für die Normalform (pq-Formel).
2. Außerdem arbeitet man nur mit "normalquadratischen Gleichungen", d.h. noch nicht mit Gleichungen höheren Grades oder biquadratischen Gleichungen.

Denkst du also, ein Schüler der 10. Klasse kann das so lösen? Nochmal danke für deine Lösung!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

in der 10. Klasse sollten beide Formeln zur Lösung der quadratischen Gleichung von der Lehrkraft parallel vorzutragen und danach bekannt sein. Ausserdem sind diese einander äquivalent. Sie lassen sich auch leicht ineinander überführen; p = b/a, q = c/a. Die Formeln sollten (und werden) ein fixer Bestandteil in deinem weiteren "mathematischen Leben" sein. Niemand löst auf die Dauer quadratische Gleichungen mittels der quadratischen Ergänzung. Und auch biquadratische Gleichungen sind im Grunde nichts Neues. Setze für x² gleich y, dann ist x^4 = y² und schon liegt eine normalquadratische Gleichung vor.

Zu dem Beispiel sagte ich ja bereits, dass der Sinn dieser Rechnung anzuzweifeln ist. OK, der Schulung der Selbstständigkeit mag dies förderlich sein. Für die 10. Klasse zwar etwas "heavy", eben aussergewöhnlich, stellt es aber, wie zu sehen ist, keine unüberwindliche Hürde dar.

Gr
mYthos
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, hast schon recht damit, dass beide Formeln gelehrt werden sollten. Ich hab mir die Mitternachtsformel allerdings dann einfach selbst erarbeitet, genauso wie die Scheitelpunksform der allgemeinen Form. Auch das mit dem Überführen ist mir dabei natürlich über den Weg gelaufen und ich hatte es auch selbst herausgefunden. Ich habe es mir zwar erarbeitet, aber ich habe nie eine Aufgabe damit gemacht, deswegen fällt das mir auch nicht so schnell ein, wenn ich es irgendwo anwenden soll, dass ich es hier anwenden muss. Ich bin ja erst seit 3 Tagen in diesem Forum. Bei meinen Aufgaben, die ich gestellt habe, kam auch zweimal eine Lösung mit Mitternachtsformel. Ich hatte bei meinen Aufgaben immer überlegt, was ich mit der Gleichung machen kann und da ich halt keine praktische Erfahrung mit der Mitternachtsformel habe, macht es nicht "Klick", dass ich die Formel anwenden kann. Man sieht, ich hätte diese Formel in drei Tagen drei mal anwenden müssen, ich weiß also jetzt, dass ich sie auf jeden Fall brauche. Man sieht daran auch, dass ich keine Erfahrung mit der Formel habe, wenn ich sie 2mal hätte anwenden müssen und bei der dritten Aufgabe immer noch nicht anwenden konnte, wobei man sagen muss, dass ich zwar den ersten Schritt noch geschafft habe:
r = M/(PI*s)
=> G = M²/(PI*s²),
aber dann nicht darauf gekommen bin in die Pythagorasgleichung
s² = h² + r²
für r
r = M/(PI*s)
einzusetzen. Ich habe dann versucht h² + r² für s² in
G = M²/(PI*s²) einzusetzen und dann irgendwie r daraus zu kürzen. Das hat natürlich nicht geklappt. der Fehler lag also weiter vorne.
Aber auch das zweite mit der biquadratischen Gleichung habe ich mir logisch erarbeitet, auch wenn es nicht im Unterricht rankam. Vielleicht musst du auch wissen, ich bin der beste Matheschüler in meiner Klassenstufe und gehe nächstes Jahr in einen Mathespezialkurs. Du hast Recht damit, dass du sagst, sie ist nicht unüberwindlich, diese Aufgabe. Was ich einfach sagen möchte ist folgendes: Als guter Matheschüler kann man sich alles selbst erarbeiten, aber man mutet sich selbst dann etwas zu viel zu und denkt "Ja das werde ich immer im Kopf haben, ich brauche es also nicht üben". Aber das ist nach meiner eigenen Erfahrungen, wie man auch an dieser Aufgabe sieht, falsch. Man braucht praktische Übung im Umgang mit mathematischen Formeln! Und wenn nun ein schlechter Schüler diese Aufgabe lösen soll, der erkennt das mit der biquadratischen Gleichung eben nicht und die Mitternachtsformel kennt er sowieso nicht. Du siehst, es ist also schwer, für einen 10.-Klässler diese Aufgabe zu lösen. Hast du ja auch schon gesagt. Nur was genau meinst du eigentlich mit "heavy"? Meinst du wirklich "schwer"? Das hört sich in diesem Satz(gefüge) irgendwie so komisch an. Oder meinst du, die Aufgabe ist "exotisch" oder "außergewöhnlich schwer" oder was genau meinst du damit? Wär schön, wenn du nochmal antwortest und vielleicht auch nochmal ein bißchen über die Schwierigkeit dieser Aufgabe für 10.-Klässler "philosophierst"! Danke dir!!!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Unter 'heavy' verstehe ich (für diese Schulstufe) schwer, manchmal auch voluminös, mit schwierigerer Rechenarbeit verbunden, aber eigentlich nicht exotisch und auch nicht außergewöhnlich schwer.

Das, was du unter Übung gesagt hast, kann ich nur voll unterstreichen. Zuerst kommt die Auseinandersetzung mit dem Sachgebiet, dann die Übung, zum Schluß die Routine und dann vor allem die Erfahrung. Was nicht geübt wurde, geht auch nicht ins Langzeitgedächtnis und ist nach kurzer Zeit vergessen.

Dennoch muss man auch Prioritäten setzen. Der Focus wird sicher auf zentrale, und essentielle wichtige Punkte zu legen und nicht jede Facette bis zum Exzess durchzuspielen sein. Sonst reicht die Zeit einfach nicht. Abgesehen von seinen eigenen Interessensgebieten ist zunächst ein gediegenes Überblickswissen Voraussetzung, um sich dann in einzelne Details einzuarbeiten.

Die Formeln sind allerdings gleichsam die Werkzeuge, die immer an Bord zu sein haben, so wie ein Kasten nicht ohne Hammer, Säge, Schrauben oder Nägel entstehen kann. Falls man eine Formal einmal nicht genau im Kopf hat, kann man sie immer noch zwischendurch schnell mal ableiten. Das kostet zwar Zeit, garantiert aber, dass sie nicht mehr so schnell vergessen wird.

Gr
mYthos
 
 
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