Beweise mit Ungleichung

Neue Frage »

Lamalambra Auf diesen Beitrag antworten »
Beweise mit Ungleichung
Hey hallo, ich habe hier drei Aufgaben, bei denen ich vielleicht etwas Hilfe benötigen könnte...

a) Sei 0<a<b sowie , n>1. Beweisen Sie via vollständige Induktion die Ungleichung:


b) Zeigen Sie: Für beliebige reelle Zahlen x,y und z gilt die Ungleichung:


c) Welche Verallgemeinerung der Ungleichung in b) gilt? (Ohne Beweis)

Zu a) Hier würde ich einfach ganz normal die vollständige Induktion durchführen mit n=2 und n=n+1, wäre das schon mal ein richtiger Ansatz? Wenn ich dann in die Gleichung für n=2 einsetze, sieht man ja dass die gleichung zutrifft, reicht das für n=2 ode rmuss man da noch mehr machen?

Gruß dat Lama
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

a) Benutze

.

Bei b) schreibe einfach



und wende jetzt die Dreiecksungleichung zweimal an.

Gruß MSS
Lamalambra Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also erst mal danke für die schnelle Antwort, aber ich habe da bei a) gerade ein kleines Problem, wieso hast du denn da mitten drin die Summe genommen, dass ist doch ein Produkt, oder liege ich jetzt total falsch??
Wäre nett, wenn du mir das erklärst...
Kann ich dann damit die vollständige Induktion machen, wie ich es gerade vorgeschlagen hatte?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Du brauchst keine vollständige Induktion, das geht auch ganz einfach so.
Die Schreibweise ist eigentlich so üblich, vielleicht ist das ja verständlicher:



.

Um das jetzt zu beweisen, musst du nur das mithilfe von abschätzen.

Gruß MSS
Lamalambra Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist mir ja irgendwie peinlich, aber ich weiß echt nicht wie ich das machen soll, also eine Abschätzung wäre es für mich, wenn ich da nun verschiedene Werte einsetze, aber das ist doch bestimmt nicht so gemeint oder`?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Aus folgt .

Gruß MSS
 
 
Lamalambra Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, ich würde jetzt mal sagen, dass das für das Fragezeichen eingesetzt werden muss, aber verstehen, was man damit jetzt hat, raff ich nicht... Oder habe ich jetzt total nen Brett vor dem Kopf?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das stimmt nicht. Ich meinte:

.

Wenn du das in die Gleichung oben einsetzt, bekommst du die Behauptung.

Gruß MSS
Kleiner Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Halli Hallo!!!
Ich will hier ja nicht alles durcheinander bringen, aber ich verstehe absolut nicht wie du von

< (b-a)

auf die Formel mit der Summe gekommen bist.
Vorallem bei deiner zweiten Antwort sehe ich auf beiden Seiten das gleiche nur, dass das auf der einen Seite geklammert ist und auf der anderen nicht.
Irgendwie verwirrt mich das total, kannst du das BITTE nochmal erklären?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin natürlich nicht von der Ungleichung auf die Gleichung gekommen. Die Gleichung habe ich als Vorwissen vorausgesetzt, was man an meiner Wortwahl eigentlich auch erkennen sollte. Warum ich dann beim zweiten Mal noch eine Klammer gesetzt habe, sollte klar werden, wenn du dir den Post von Lamalambra davor nochmal anguckst.

Gruß MSS
Großes Fragezeichen Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, ich hab das jetzt ein bisschen anders gemacht, ohne diese formel, denn die hatten wir zwar, aber wir haben die nicht bewiesen. Den Beweis hab ich zwar trotzdem gemacht, aber wir sollten das wohl eher so machen wie mit diesem Beispiel:

zu zeigen:
Indukt.anfang ist klar. dann:


So hab ich das jetzt auch mit der Aufg gemache, nur bin ich mir nicht sicher, ob das wirklich richtig ist...also:
Induktionsanfang ist klar...Dann:




, da beide Klammern pos. sind.

Könnte man das jetzt auch so machen?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Das erste Gleichheitszeichen ist falsch. Du hast aus einem ein gemacht. Außerdem ist das letzte auch nicht richtig, weil du da so etwas hast: , wobei ist. Das ist nicht , sondern .

Gruß MSS
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

ja das könntest du auch so machen. das is der induktive weg, max hats ja ohne induktion gemacht, geht halt schneller und is weniger formale schreibarbeit!


\\edit: hab was übersehn unglücklich

servus
Großes Fragezeichen Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ja, hab die ganzen Vorzeichen vertauscht, dann sieht das nämlich so aus:









dann könnte mans doch so hinschreiben?....
Großes Fragezeichen Auf diesen Beitrag antworten »

Oh nein, da fällt mir was auf.... und das kann ja nicht sein...
Aber das prinzip ist doch richtig...ich seh nur nicht, wo ich da den Fehler hab...hmm..
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt ist das letzte falsch aus dem selben Grund wie oben. Der Rest ist zwar richtig, aber das hilft dir ja auch nicht weiter ...
Allerdings ist ein Induktionsbeweis doch möglich, nur halt etwas anders.

Gruß MSS
Großes Fragezeichen Auf diesen Beitrag antworten »

ja, mit induktion sollen wirs ja auch wohl machen..
aber ist denn zumindest der ansatz richtig? die ersten schritte? Damit ich dann damit weitermachen kann.....oder bringt mich dieser Weg überhaupt nicht weiter? verwirrt
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du musst anders umformen. Hinweis:

.

Jetzt Induktionsvoraussetzung einsetzen.

Gruß MSS
Großes Fragezeichen Auf diesen Beitrag antworten »

Komme einfach nichtg weiter....
das versteh ich ja. Aber wo soll ich da die Indukt.voraussetz. eisetzen? Meinst du und das dann weiter auflösen?
Ich hab das auf verschiedene Weise versucht, komme aber immer auf sowas wie:
oder so ähnlich...aber das bringt mich doch gar nicht weiter....unglücklich
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »





Induktionsvoraussetzung natürlich auf anwenden.

Gruß MSS
Großes Fragezeichen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaub ich habs, also:



Das ist doch richtig so, oder? Augenzwinkern
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Freude

Gruß MSS
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »