Abstand: Ebenen zum Ursprung

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flash87 Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand: Ebenen zum Ursprung
hallo, ich war in den letzten stunden krank und bruache nun dringend hilfe bei folgenender aufgabe:

Wie viele Ebenen durch die Punkte A(2|3|4) und B(6|5|16) gibt es, die zum Ursprung den Abstand 2 haben? Bestimme für jede Ebene eine Gleichung.

Also es soll 2 Ebenen geben und wir haben auch schon 2 Gleichungen in der schule erstellt die aber nicht wirklich helfen

I. 2a + 3b + 4c = d
II. 6a + 5b + 16c = d

der normalenvektor ist =

Mich bringt das aber überhaupt nicht weiter, was soll ich nun mit dem abstand und den Gleichungen machen??

Ich bitte um Hilfe!!! Danke
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die dritte Gleichung gewinnst du aus der Tatsache, dass der Abstand des Nullpunktes von der Ebene gleich 2 ist. Ist dir die Hesse'sche Normalform (HNF) ein Begriff?

Wenn ja, dann bringe die Ebene allgemein auf die HNF, setze die Koordinaten des Nullpunktes dort ein und das Ganze setze gleich 2.

mY+
 
 
flash87 Auf diesen Beitrag antworten »

ja ich war zwar nicht da als wir das gemacht haben aber müsste das nicht so sein:

= 2

= 2

und was soll ich jetzt machen??
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Moment mal, die Ebene heisst ja



Die ersten zwei Gleichungen hast du erhalten, indem du die gegebenen Punkte eingesetzt hast.

Die HNF der Ebene lautet nun



da haben keine 2, 3, 4 oder so im Zähler etwas verloren, denn dort stehen ja noch die x - Werte.
Und nun setzt du statt der x-Werte die Koordinaten des Nullpunktes ein und setzt das Ganze = 2. Das ist dann die dritte Gleichung. Beachte, dass die Wurzel zwei Vorzeichen hat, demzufolge resultieren daraus auch die beiden Lösungen.

Du wirst sicher fragen, weshalb es nur 3 Gleichungen gibt, obwohl es doch 4 Unbekannte a, b, c, d gibt. Der Grund ist der, dass die Ebenengleichung durch die Koeffizienten bis auf einen gemeinsamen Faktor bestimmt ist, also alle 4 Koeffizienten a, b, c, d durchaus zu einem anderen Quadrupel (a1, b1, c1, d1) proportional sein können. Du kannst also o.B.d.A. (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) z.B. d = 1 setzen oder auch stehen lassen und die anderen drei Koeffizienten a, b, c in d ausdrücken. Zum Schluss kann man dann beidseits durch d dividieren.

mY+
flash89 Auf diesen Beitrag antworten »

ja wenn man den Nullpunkt einsetzt dann würde da doch

= 2

rauskommen
oder wie soll ich den Nullpunkt einsetzen
ich versteh das nicht
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

ja, genau so, (fast) richtig!
Es hieß nämlich, es gibt zwei Lösungen, also

mY+
flash87 Auf diesen Beitrag antworten »

achja 2 lösungen

und wie soll ich jetzt die drei bzw. 4 gleichungen auflösen??
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du das fertig gerechnet hast.

neben dem obigen weg, gäbe es noch eine alternative:
alle punkte im abstand d = 2 liegen auf einer kugel um O mit radius r = 2.
nun suchst du einen punkt P(a/b/c) (bzw. deren 2), der auf der/ den tangentialebene(n) dieser kugel liegt, die die gerade durch A und B enthält.

der rest steht auf dem bilderl
flash87 Auf diesen Beitrag antworten »

soll ich quadrieren, nach d auflösen und danach in I und II einsetzen?

das mit der kugel versteh ich nicht
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt, setze für d einen beliebigen Wert, eher mit vielleicht angenehmerer Rechnung d = 2 (damit sich die 4 in der dritten Gleichung kürzen ..)

Aus den beiden ersten Gleichungen drückst du nun a bzw. b in c aus (b = c + 1, das verrate ich dir mal, das a = .. machst du selbst) und setzt in die dritte Gleichung







ein. Damit bekommst du eine quadratische Gleichung nur in c. [L.: c1 = -1/3; c2 = -1/19]
Daraus folgen die jeweiligen a, b.

Zum Schluss die Ebenengleichung noch so multiplizieren, dass die Koeffizienten ganzzahlig werden, erledigt. [ ; E2 = ...]

mY+

@werner

Den (optisch schönen) Weg über die Kugel habe ich bewusst nicht gewählt, weil dieser naturgemäß kaum verstanden wird. Das Gleichungssystem bei dir wird auch nicht gerade 'en passant' zu lösen gehen ... Big Laugh (ich hab's allerdings noch nicht getan).
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

@mythos,

das gls ist eher einfach, aus (I) und (II) mit (III) hast du sofort
(1)
(2)

damit kannst du b und c durch a ausdrücken und in (III) einsetzen, fertig unglücklich
flash87 Auf diesen Beitrag antworten »

2a+3b+4c=2 |*3
6a+5b+16c=2

4b-4c=4
b=1+c

2a+3+3c+4c=2
2a=-1-7c
a= -1/2 - 7/2c

a²+b²+c²=1

(1/2-7/2c)² + (1+ c)² +c²=1
14 1/4c² + 5 1/2c + 1/4 = 0
c² + 22/57c + 1/57
c1,2= 11/57+/-
c1 = 11/57 + 8/57 = 1/3
c2 = 11/57 - 8/57 = 1/19


damit ergibt sich für a1 = - 1 2/3, a2 = -13/19
b1= 1 1/3, b2 = 1 1/19

wo soll ich die jetzt einsetzen um die ebenengleichungen zu bekommen in I und II??
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

@werner, mittlerweile hab' ich's auch getan ... es muss ja letztendlich auch auf das Gleiche hinauslaufen, wie bei dem anderen Weg. Nun hat er die Berührungspunkte, jetzt muss er davon die Tangentialebenen (Normalebenen) berechnen.

@flash..

Du hast das Vorzeichen vergessen (-11/57 !), die beiden c müssen daher negativ sein. Wenn du a, b, c hast (d ja auch, d = 2), brauchst es doch nur noch in deinen allgemeinen Ansatz der Ebenengleichung einsetzen! Die Ebene lautet doch



mY+
flash87 Auf diesen Beitrag antworten »

wie haben sie denn die ebenengleichung rausbekommen?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
@werner, mittlerweile hab' ich's auch getan ... es muss ja letztendlich auch auf das Gleiche hinauslaufen, wie bei dem anderen Weg. Nun hat er die Berührungspunkte, jetzt muss er davon die Tangentialebenen (Normalebenen) berechnen.

mY+


man hat aber auch 3 punkte je ebene, kommt also ganz ohne formeln aus.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von flash87
wie haben sie denn die ebenengleichung rausbekommen?


Hast du alles gelesen??
Eine (E1) habe ich dir doch hingeschrieben!

mY+
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von flash87
2a+3b+4c=2 |*3
6a+5b+16c=2

4b-4c=4
b=1+c

2a+3+3c+4c=2
2a=-1-7c
a= -1/2 - 7/2c

a²+b²+c²=1

(1/2-7/2c)² + (1+ c)² +c²=1
14 1/4c² + 5 1/2c + 1/4 = 0
c² + 22/57c + 1/57
c1,2= 11/57+/-
c1 = 11/57 + 8/57 = 1/3
c2 = 11/57 - 8/57 = 1/19


damit ergibt sich für a1 = - 1 2/3, a2 = -13/19
b1= 1 1/3, b2 = 1 1/19

wo soll ich die jetzt einsetzen um die ebenengleichungen zu bekommen in I und II??


da liegt ein fehler,
ergebnis s. oben.

die "c" - koordinate fehlt auch noch

wie einsetzen s. meinen letzten beitrag.
(3 punkte spannnen eine ebene auf)
flash87 Auf diesen Beitrag antworten »

achso ja stimmt jetzt kommt das bei mir auch raus.
also
a1=2/3
a2= -17/38
b1=2/3
b2=18/19

2/3x1 + 2/3 x2 - 1/3x3 = 2
2x1 + 2x2 - x3 = 6

-17/38 x1 + 18/19x2 - 2x3 = 2
-17x1 + 36x2 - 2x3 =76

Ist das so richtig ?????
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die zweite Ebene nicht ganz, die -17 bei a stimmen nicht, da muss -12 hin, danach kann man kürzen und es kommt



mY+
flash87 Auf diesen Beitrag antworten »

achja ich hatte vergessen bei a2 *7/2 zu nehmen
dann kommt bei a2= -6/19 raus
DANKEEEEEE

könntern sie mir vielleicht noch erklären wieso man für d einfach eine zahl einsetzen kann??
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

.. weil die Ebenengleichung auf beiden Seiten mit einer beliebigen Zahl multipliziert werden kann und sie bleibt doch immer die gleiche.



ist identisch mit



oder eben auch mit



oder .... , es ist und bleibt immer die gleiche Ebene.

mY+
flash87 Auf diesen Beitrag antworten »

achsoo ok DANKEEEEE
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