Äquivalenz beweisen

17.11.2005, 15:02

Assal

Äquivalenz beweisen

Hallo!

Momentan hat sich unser Prof auf Beweise fixiert Ansage

...!

Wäre nett, wenn mir jemand dabei helfen könnte:

$\begin{eqnarray*} \forall a, m \in \mathbb N \exists x, y \in \mathbb N mit a^{x+y} \equiv a^{x} (mod {m}) \end{eqnarray*}$

a) Interpretieren und erläutern Sie die Aussage.

b) Begründen Sie die Aussage.

Also, für alle a und m, die Elemente der natürlichen Zahlen sind, existiert genau ein x, y, die ebenfalls Elemente der nat. Zahlen sind, mit...s.oben

Hat es etwas mit der Potenzregel zu tun? Hilfe

Grüße Assal

17.11.2005, 18:53

Egal

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Nach dem was da steht geh ich mal davon aus das 0 bei euch keine natürliche Zahl ist. Dann steht da doch, Potenzgesetz sei Dank, $\begin{eqnarray*} a^y\equiv 1(mod~m) \end{eqnarray*}$

17.11.2005, 19:13

irre.flexiv

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@Egal :
Die Umformung kannst du nicht machen, denn sonst gäbe es für m = a keine Lösung.

17.11.2005, 19:49

Assal

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@Egal

ja, natürliche Zahlen sind bei uns ohne Null definiert

Grüße,

Assal

17.11.2005, 19:53

Egal

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Ich hab jetzt nochmal ein bisschen drüber nachgedacht und mag sein das man es so nicht umformen kann. So 100% will ich dafür nicht garantieren auch wenn ich nachwievor denke dass das stimmen müsste. Aber wieso ich dann für a=m keine Lösung kriege will mir nicht einleuchten. Ich würd im Gegenteil sogar sagen das es für a=m für alle x und y gelten müsste.

17.11.2005, 19:59

irre.flexiv

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@Assal

Die Interpretatio kriegst du doch hin oder?

Zur Begründung : Wieviel Äquivalenzklassen modulo m gäbe es wenn die Aussage nicht gelten würde.

17.11.2005, 20:04

irre.flexiv

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@Egal:

Wenn die Umformung äquivalent zu Assals Aussage wäre, dann würde für $\begin{eqnarray*} a = m \not = 1 \end{eqnarray*}$ folgen : $\begin{eqnarray*} a^y \equiv 1 \mod m \Rightarrow 0 \equiv 1 \mod m \end{eqnarray*}$

Es gibt also keine Lösung für diesen Fall, für die eigentliche Aussage gibt es aber eine Lösung.

21.11.2005, 19:33

Assal

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@irre.flexiv

würde die Interpretation von Anfang nicht langen?

Zitat:

Zur Begründung : Wieviel Äquivalenzklassen modulo m gäbe es wenn die Aussage nicht gelten würde.

steh auf dem Schlauch...wie beweise ich das?

Danke schon vorab mal für deine Hilfe

Grüße
Assal

21.11.2005, 21:38

irre.flexiv

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Angenommen $\begin{eqnarray*} \exists a, m: \forall x,y: a^{x+y} \not \equiv a^x \mod m \end{eqnarray*}$

Jetzt betrachtet man die Äquivalenzklasse $\begin{eqnarray*} [a^{x+(x+y)}]_m \end{eqnarray*}$ und zeigt das dann weder
$\begin{eqnarray*} a^{x+(x+y)} \equiv a^x \mod m \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} a^{x+(x+y)} \equiv a^{x+y} \mod m \end{eqnarray*}$ gelten kann.
So kann man immer neue Restklassen erzeugen und zwar mehr als es eigentlich geben kann.

Das geht bestimmt auch einfacher, aber ich weiss leider nicht wie verwirrt

Zur Interpretation: Naja du hast es in Worte gefasst, ich weiss nicht ob das als Interpretation gelten kann.

21.11.2005, 22:09

irre.flexiv

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Jetzt weiss ich wie man es einfach begründen kann *g

Man betrachtet den Restklassenring $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_m \end{eqnarray*}$ .
Was kannst du über die Ordnung von a aussagen und wie kannst du das dann benutzen um die Aussage zu begründen?

23.11.2005, 15:23

Pflegefall

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das versteh ich nicht ....
ALso ich habe mir das jetzt 10 mal durchgelesen, aber da versteh ich echt nix
Kann das vielleicht jemand noch mal etwas einfacher erklären, so dass selbst ich es verstehen könnte
Vielen Dank im vorraus

gruß Pflegefall

23.11.2005, 15:52

Tobias

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Wenn man den Fall a = m nicht nach Egals Ansatz lösen kann, schließen wir ihn eben aus und lösen ihn separat:

1. Fall: a = m
Hier findet man bestimmt ne Lösung. smile

2. Fall a ungleich m
$\begin{eqnarray*} a^y \equiv 1 \mod m \end{eqnarray*}$

Wenn wir benutzen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/m \end{eqnarray*}$ endlich ist können wir auch über die Ordnung von a was sagen.

23.11.2005, 17:03

irre.flexiv

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Das klappt auch nicht Tobias, denn es gibt noch andere Lösungen die du damit verschluckst, nämlich alle für die ggt(a,m) ungleich 1 ist.

@Pflegefall, kannst du mit den Begriffen Ordnung/ Gruppe usw. was anfangen?

24.11.2005, 17:43

Pflegefall

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@irre
ja kann ich hab es aber aufgegeben und mich wieder meinen lösbaren problemen hingegeben...werde das vielleicht nochmal in den semesterferien angreifen dann werde ich mich melden ....huch das klingt ja wie eine drohung.... Prost

gruß pflegefall

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