Nullfolgen - Beweisen

18.11.2005, 14:26

Smarti

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Nullfolgen - Beweisen

Huhu,

ich habehier zwei Nullfogen und soll eben beweisen,d ass es welche sind:

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n!}{n^n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_n= (\frac{n}{n+1})^{n^2+1} \end{eqnarray*}$

Ich weiss ja bei $\begin{eqnarray*} a_n= \frac{1}{n} * \frac{2}{n} * ... *\frac{n}{n} \end{eqnarray*}$ das die ersten n-1 Folgen Nullfolgen sind ...aber wie schreibe ich das am besten auf? Ich meine..bewiesen habe ich damitdoch noch nichts,oder?

Bei $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ weiss ich überhaupt nicht weiter. Der klammerausdruck geht für mich gegen 1, also doch eigentlich die gesammte Folge...oder gibt es irgendeine Regel, die ich grad nicht griffbereit habe?

18.11.2005, 14:49

lego

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ich weiß nichts obs hilft aber beim 2ten kannst du ja evtl verwenden, dass

$\begin{eqnarray*} a^z=e^{z*ln(a)} \end{eqnarray*}$

18.11.2005, 14:58

AD

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RE: Nullfolgen - Beweisen

Zitat:

Original von Smarti
$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n!}{n^n} \end{eqnarray*}$
Ich weiss ja bei $\begin{eqnarray*} a_n= \frac{1}{n} * \frac{2}{n} * ... *\frac{n}{n} \end{eqnarray*}$ das die ersten n-1 Folgen Nullfolgen sind ...aber wie schreibe ich das am besten auf?

Schätz doch einfach in deiner Produktdarstellung die Faktoren Nummer 2 bis n nach oben durch den Wert 1 ab.

18.11.2005, 18:14

Smarti

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der zweite Faktor bis zum Faktor n-1 sind ja alle kleiner als eins...also ist es insgesammt < 1 und am Anfang die Nullfolge 1/n ...reicht das schon?

Ich glaube nicht, dass mir deine Formel da viel weiterhilft, Lego verwirrt

verwirrt

18.11.2005, 20:25

schnudl

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n}\cdot \frac{3}{n} \cdot ... < \frac{1}{n} \cdot \frac{n}{n}\cdot \frac{n}{n} \cdot ...= \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist, ist wegen des obigen Zusammenhangs auch

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n}\cdot \frac{3}{n} \cdot ... \end{eqnarray*}$

eine solche !

18.11.2005, 21:34

Mathespezialschüler

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Zur zweiten:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2+1}=\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n^2+1}<\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n^2} \end{eqnarray*}$

Benutze nun, dass $\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\operatorname e} \end{eqnarray*}$ geht (sogar streng monoton fallend).

Gruß MSS

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19.11.2005, 11:18

Smarti

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Woher weiss ich denn, dass sie gegen 1/e geht? Vor allem..wenn sie gegen 1/e geht, konvergiert sie doch auch ziemlich direkt dagegen, oder sehe ich das falsch?

19.11.2005, 11:25

AD

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Benutze nun, dass $\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n^2} \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\operatorname e} \end{eqnarray*}$ geht (sogar streng monoton fallend).

Ein kleiner Schreibfehler: Nicht $\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n^2} \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\operatorname e} \end{eqnarray*}$ . Und das folgt mit wenigen Überlegungen aus folgender Definition von $\begin{eqnarray*} \operatorname e \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \operatorname e := \lim\limits_{n\to\infty} ~ \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n \end{eqnarray*}$

19.11.2005, 11:43

Smarti

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Ok, soweit habe ich es verstanden.

Nur worin liegt jetzt der unterschied, ob quadriert oder nicht? Muss ich das Quadrat in die Wurzel ziehen und mein Ergebnis ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^2} \end{eqnarray*}$ oder spielt das Quadrat, weil es über dem n liegt, keine Rolle?

19.11.2005, 12:03

AD

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Du musst das Potenzgesetz $\begin{eqnarray*} a^{b\cdot c} = \left( a^b \right)^c \end{eqnarray*}$ beachten!

19.11.2005, 12:42

Mathespezialschüler

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Danke Arthur, Fehler korrigiert.

Gruß MSS

19.11.2005, 13:09

Smarti

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Also konvergiert es gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2e} \end{eqnarray*}$

19.11.2005, 13:14

Mathespezialschüler

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Nein, die Folge konvergiert gegen 0. Denn es gilt:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2+1}=\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n^2+1}<\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n^2}=\left[\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n\right]^n \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt schätze das noch einmal nach oben ab mit meiner obigen Bemerkung über die Monotonie der Folge

$\begin{eqnarray*} c_n=\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

19.11.2005, 14:27

Smarti

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$\begin{eqnarray*} c_n=\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n = \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$

also folgt draus $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{e}) ^n = \frac{1}{e^n} < \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ , kann ich das so schreiben?

19.11.2005, 18:25

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Smarti
$\begin{eqnarray*} c_n=\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n = \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$

Das stimmt nicht. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\operatorname e} \end{eqnarray*}$ ist der Grenzwert der Folge und nicht gleich jedem Folgenglied!
Wie gesagt, die Folge ist (streng) monoton fallend, d.h. es ist für alle $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2+1}<\left[\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n\right]^n<\left[\left(1-\frac{1}{2}\right)^1\right]^n=\frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt hab ich schon (fast) alles verraten.

Gruß MSS

19.11.2005, 19:08

Smarti

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Du wirst lachen, aber warum dud a nun 1 einsetzen durftest, verstehe ich irgendwie gar nicht.

19.11.2005, 19:11

Mathespezialschüler

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Weil die Folge streng monoton fallend ist.

Gruß MSS

19.11.2005, 19:16

Smarti

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Kann man es auch ohne diese Möglichkeit lösen? Ich weiss nämlich nicht, ob wir sowas schon in der Vorlesung hatten...und dran erinnern kann ich micht nicht wirklich

19.11.2005, 19:21

Mathespezialschüler

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Ob ihr was in der Vorlesung hattet? Die Monotonie?
Hattet ihr dann wenigstens schon, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n=\frac{1}{\operatorname e} \end{eqnarray*}$

gilt? Damit ginge das mit einigen Zusatzüberlegungen auch.
Falls ihr beides nicht hattet, würde ich dir raten, die Monotonie einfach selbst zu beweisen.
Obwohl, Moment. Mir fällt da grad was ein. Du kannst auch ganz einfach mit der Bernoullischen Ungleichung zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n\leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

ist für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

19.11.2005, 19:32

Smarti

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Wenn ich das mit Bernoulli mache, habe ich aber immernoch keine Konvergenz ..

und die exponentialfunktion hatten wir meiner Meinung nach komplett noch nicht...kann mich aber auch täuschen.

19.11.2005, 19:36

Mathespezialschüler

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Natürlich hast du dann Konvergenz, wie ich oben gezeigt habe:

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
$\begin{eqnarray*} \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2+1}<\left[\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n\right]^n<\left[\left(1-\frac{1}{2}\right)^1\right]^n=\frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

19.11.2005, 20:03

Smarti

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Also gut...nehemen wir die Bernoullische UNgleichung: $\begin{eqnarray*} (1+x)^n \geq 1+n*x \end{eqnarray*}$

da setze ich nun x ein...und habe: $\begin{eqnarray*} 1-\frac{n}{n+1} \leq (1-\frac{1}{n+1})^n \end{eqnarray*}$

*kopfkratz*

19.11.2005, 20:06

Mathespezialschüler

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Nein. Es ist nach Bernoullischer Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\geq \text{?} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt

$\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\frac{1}{\left(\frac{n+1}{n}\right)^n}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}\leq \text{?} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

19.11.2005, 20:14

Planlos2000

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HI Smartie!
Hab dich das schonmal in nem andren Thread gefragt aba scheinst nich mehr reingeschaut zu haben......du studierst Info in Bonn kanns sein Wink

Wink

Deine Aufgaben kommen mir imma so bekannt vor Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.11.2005, 20:16

Smarti

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Das tue ich tatsächlich, aber ich komme mit Mathe nicht so wirklich klar smile

smile

Wink

*bernoulli anguckn geh*

19.11.2005, 20:19

Mathespezialschüler

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Naja, so schwierig ist das doch nicht:

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\geq 1+n\cdot \frac{1}{n}=2 \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

19.11.2005, 20:20

Planlos2000

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geht mir genauso Augenzwinkern

Augenzwinkern

deshalb bin ich hier
naja jedenfalls sind dein threads für mich imma ziemlich nützlich Prost

Prost

20.11.2005, 13:15

Planlos2000

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RE: Nullfolgen - Beweisen
die eins läßt sich doch auch viel leichter so zeigen:

b= n! / n^n <= (1*n^(n-1)) / n^n --->0

20.11.2005, 19:41

Mathespezialschüler

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@Planlos
Oben wurde das genau so gemacht, deine Aussage, dass das so leichter wäre, ist also falsch.

Gruß MSS

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