Ableitungen und DB

24.04.2008, 16:21

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

Ableitungen und DB

Hi,

ich versuche gerade Ableitungen zu bilden, klappt irgendwie schon nicht : (
Kann mir mal jemand bitte helfen?

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{(x²+1)³} \end{eqnarray*}$

Beim Definitionsbereich:

$\begin{eqnarray*} (x²+1)³ = x^5+3x^4+3x^2+1 \end{eqnarray*}$

ist das richtig?

Ich glaube, falsch.
Sonst müsste ich ja Newton-Verfahren machen :/

24.04.2008, 16:28

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitungen und DB
Vielleicht hilft dir bei der Ableitung ja das hier weiter.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{(x^2+1)^3}=(x^2+1)^{-3} \end{eqnarray*}$

Jetzt genügt schon die Kettenregel.

Sieh dir den Graphen an, dann weißt du auch was über den Definitionsbereich.
Wie untersucht man denn den Definitionsbereich?

24.04.2008, 16:34

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich wollte die Ableitung eigentlich über Quotientenregel machen.. ist Kettenregel besser?

Beim DB setzt man doch v(x)=0 :/

24.04.2008, 16:55

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst auch die Quotientenregel benutzen.
Ich persönlich finde hier die Kettenregel einfacher.
Zum Definitionsbereich: Für welches x wird denn $\begin{eqnarray*} x^2+1=0 \end{eqnarray*}$ ?

24.04.2008, 17:01

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

okay, also 0 : )

Aber stimmt denn meine Ausflösung der (..)³ nicht?
Müsste doch auch so 0 rauskommen.

Ich habe jetzt Kettenregel gemacht und rausbekommen:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=-6x(x²+1)^{-2} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

24.04.2008, 17:05

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

Eben nicht, auch für x=-1 ist $\begin{eqnarray*} x^2+1\neq0 \end{eqnarray*}$
Deshalb ist hier der Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Deine Ableitung stimmt nicht, schau dir den Exponenten genau an.

Anzeige

24.04.2008, 17:08

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

hmpf : (

okay, das stimmt.

und Exponent muss -4 sein?

24.04.2008, 17:09

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig und jetzt würde ich das nur noch richtig umformen, also daraus wieder ein Bruch machen. Sieht schöner aus Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.04.2008, 17:10

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

und wie formt man das um?

Man kann doch nicht die -6x oben stehen lassen und den Rest runter oder?

24.04.2008, 17:13

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso sollte man das nicht dürfen?

24.04.2008, 17:23

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

war mir nur unsicher.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^3+2x}{x+3} \end{eqnarray*}$

so meine letzte Hausaufgabenaufgabe : D

habe da raus als Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{(x^3+2x)(x+3) - (x^3+2x)}{(x+3)²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{2x^3+9x^2+6}{(x+3)²} \end{eqnarray*}$

Ist das falsch?

24.04.2008, 17:25

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast im Zähler vergessen $\begin{eqnarray*} u(x)=x^3+2x \end{eqnarray*}$ abzuleiten.

Aber deine Ableitung im letzten Schritt ist richtig. Hast dich sicherlich verschrieben.

24.04.2008, 17:27

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

ja stimmt, habe es falsch von meinem Blatt abgeschrieben. :/

Aber habe trotzdem das Ergebnis raus.

24.04.2008, 17:27

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau

Freude

Das Ergebnis ist richtig

24.04.2008, 17:34

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

Cool.

Sooo, die zweite Ableitung MUSS aber falsch sein.

Da habe ich ein zu langes Ergebnis raus traurig

traurig

$\begin{eqnarray*} f''(x)= \frac{(6x²+18x)(x+3)^2 - ([2x³+9x²+6][2(x+3))}{(x+3)^4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)= \frac{-2x^3+18x²+54x-12}{(x+3)^4} \end{eqnarray*}$

Da ist doch was falsch oder?

24.04.2008, 17:36

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von gugelhupf
Cool.

Sooo, die zweite Ableitung MUSS aber falsch sein.

Da habe ich ein zu langes Ergebnis raus traurig

traurig

$\begin{eqnarray*} f''(x)= \frac{(6x²+18x)(x+3)^2 - ([2x³+9x²+6][2(x+3))}{(x+3)^4} \end{eqnarray*}$

Bishierhin ist alles richitg. Den Rest kann ich dir noch nicht sagen, aber ich würde dir hier raten erstmal durch $\begin{eqnarray*} (x+3) \end{eqnarray*}$ zu kürzen und dann weiter zusammenzufassen.

24.04.2008, 17:52

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

okay, ich danke dir : )

24.04.2008, 18:01

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja hier an der Stelle zu kürzen ist sehr wichtig, weil es je mehr Ableitungen es werden immer unübersichtlicher wird.

Gerngeschehen.

21.05.2008, 01:22

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

hallo.

ich habe wieder etwas vergessen,

das ist schon so oder?:

$\begin{eqnarray*} f(x)=(x²+1)³ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=3(x^2+1)²*2x \end{eqnarray*}$

21.05.2008, 02:01

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Jawoll...ist richtig =)

21.05.2008, 12:26

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

oki,

ich war mir nur nicht mehr sicher.

und wenn die innere ableitung wäre (x³+5x)

also

$\begin{eqnarray*} f'(x)=3(x^2+1)²*(x³+5x) \end{eqnarray*}$ irgendwie jetzt

dann die klammer ohne potenz mit der zahl vor der potenzklammer rechnen oder?

22.05.2008, 06:45

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid...ich weiss echt nicht was du meinst.

22.05.2008, 17:02

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

@ gugelhupf:

Ja, so könnte man das machen.

$\begin{eqnarray*} f^{\prime}(x)=\left( x^2 + 1 \right)^2 + 3x^3 + 15x \end{eqnarray*}$

Aber wenn man noch weitere Ableitungen bilden möchte, ist es zum Teil vielleicht günstiger, die Klammern nicht aufzulösen.

23.05.2008, 10:10

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Bjoern1982
Tut mir leid...ich weiss echt nicht was du meinst.

ich wollte nur die Gleichung dann f'(x)=0 lösen. .x

@Jaq:

cool.

aber sieht doch komisch aus oder?

muss es nicht so sein:
$\begin{eqnarray*} 0=\left( x^2 + 1 \right)^2 + (3x^3 + 15x) \end{eqnarray*}$

23.05.2008, 10:27

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von gugelhupf
aber sieht doch komisch aus oder?

Das sieht alles komisch aus, weil du nicht verrätst, um welche Funktion es denn eigentlich geht. geschockt

geschockt

23.05.2008, 12:45

TheWitch

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von gugelhupf

aber sieht doch komisch aus oder?

muss es nicht so sein:
$\begin{eqnarray*} 0=\left( x^2 + 1 \right)^2 + (3x^3 + 15x) \end{eqnarray*}$

Selbst wenn diese "Ableitungs"gleichung da oben irgendwie sinnvoll wäre (was sie so nicht ist, wenn das behauptete die innere Ableitung wäre, sähe auch die äußere Ableitung anders aus) - beide Umformungen sind grottenfalsch. Da steht ein Multiplikationszeichen zwischen den beiden Termen und kein Pluszeichen. Wenn man das Teil gleich 0 setzen würde, würde man jeden Faktor einzeln 0 setzen.

23.05.2008, 16:38

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von TheWitch

[...] - beide Umformungen sind grottenfalsch. Da steht ein Multiplikationszeichen zwischen den beiden Termen und kein Pluszeichen. [...]

Das ist leider richtig. Ups

Ups

@ gugelhupf:

In Wahrheit hätte man so umformen müssen:

$\begin{eqnarray*} f^{\prime}(x) = 3 \cdot \left( x^2 + 1 \right)^2 \cdot \left(x^3 + 5x \right) = \left(x^2 + 1 \right)^2 \cdot 3 \cdot \left( x^3 + 5x \right) = \left(x^2 + 1 \right) \cdot \left(3x^3 + 15x \right) \end{eqnarray*}$

Aber wie schon gesagt: Bei dem "Gedankenspiel" hätte man, wenn man eine andere innere Funktion nimmt, natürlich auch die äußere Ableitung anpassen müssen. Und zum anderen ist die Umformung nicht sinnvoll, wenn man den Term im nächsten Schritt = 0 setzen möchte. Denn statt 3x³ + 15x = 0 dann wieder durch 3 zu dividieren, um die Gleichung besser lösen zu können, hätte man das Auflösen der Klammern auch von Anfang an lassen können.

24.05.2008, 01:34

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

@klarsoweit: sorry, war nur ein beispiel : (
@witch: danke.. das * .. ähm ja. : )

ich wusste nur den abend nicht mehr, was ich mit der drei dann anstellen soll, wenn auch keine .. (...)² unbedingt steht.. sondern^5 oder so..

dann weiß ich jetzt, dass ich die drei in die andere klammer mit reinmachen kann.

@jaq: danke, jaaa. =)

ist das jetzt normal, dass du deine binomische gleichung nicht binomisch aufgelöst hast?

wenn ich ^5 oder so habe, muss ich wohl die auflösungformel aus dem tafelwerk nehmen. nennt sich pascalsche formel (so ähnlich).

24.05.2008, 01:46

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

@ gugelhupf:

Ob man die Klammer überhaupt auflöst, hängt davon ab, was man mit dem Term noch machen möchte. In diesem Fall, wo der Term = 0 gesetzt werden soll, wäre das Auflösen einfach nicht sinnvoll.

24.05.2008, 01:51

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

krass.

das geht wirklich ?

wenn ich also mache:

$\begin{eqnarray*} f^{\prime}(x) = 3 \cdot \left( x^2 + 1 \right)^2 \cdot \left(x^3 + 5x \right) = \left(x^2 + 1 \right)^2 \cdot 3 \cdot \left( x^3 + 5x \right) = 0 \end{eqnarray*}$

dann steht da $\begin{eqnarray*} 0=\left(x^2 + 1 \right) \cdot \left(3x^3 + 15x \right) \end{eqnarray*}$

man kann da echt bei der binomischen formel einfach die potenz wegnehmen und sie so lösen praktisch:

0=x²+1

0=3x³+15x

normal würde ich (x²+1)² =0 so machen: x^4 + 2x² + 1=0 :///

24.05.2008, 02:27

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, man darf den Exponenten natürlich nicht weglassen, das war oben ein Tippfehler. Bitte entschuldige. unglücklich

unglücklich

Aber beim Lösen dieser Art von Gleichung fällt der Exponent insofern doch weg, als er keine Rolle spielt:

Ein Produkt ist genau dann 0, wenn (mindestens) einer der Faktoren 0 ist. Also

$\begin{eqnarray*} 3 \cdot \left( x^2 + 1 \right)^2 \cdot \left( x^3 + 5x \right) = 0 \end{eqnarray*}$

würde man dann so lösen:

$\begin{eqnarray*} 3 \cdot \left( x^2 + 1 \right)^2 \cdot \left( x^3 + 5x \right) = 0 \ \Longleftrightarrow \ 3 \cdot \left(x^2 + 1 \right) \cdot \left( x^2 + 1 \right) \cdot \left( x^3 + 5x \right) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow \ \left( x^2 + 1 \right) = 0 \ \underbrace{\vee \ \left( x^2 + 1 \right) = 0}_{\textrm{überflüssig!}} \ \vee \ \left( x^3 + 5x \right) = 0 \end{eqnarray*}$

D. h. der Exponent sorgt nur dafür, dass man mehrere gleiche Faktoren hat. Weil es natürlich Unsinn ist, die gleiche Bedingung mehrfach hinzuschreiben (siehe oben), spielt der Exponent keine Rolle. Also dass man "die Potenz wegnimmt" ist nicht ganz falsch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.05.2008, 10:11

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

achsooooooooooooooooooooooooo : )

i see.

dankii

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »