Linearkombinationen |
| 24.04.2008, 19:32 | a priori | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Linearkombinationen
1.)  http://www.sz-waller-ring.de/wring/mathe/DrahtModelle_3D/3dimages/oktaeder.jpgDie Aufgabenstellung ist: Fig.1 zeigt einen Würfel und ein eingeschriebenes Oktaeder. Die Ecken des Oktaeders sind die Schnittpunkte der Diagonalen der Seitenflächen des Würfels. Stellen Sie die Vektoren a,b und c [des Oktaeders] jeweils als Linearkombination der Vektoren u,v und w [des Würfels] dar. Im Unterricht wurde die Lösung akzeptiert: a=1/2v+1/2u, womit offensichtlich erfolgreich der Vektor a als Linearkombination der Vektoren v und u dargestellt wurde. Meines Verständnisses von Vektoren zufolge ist diese Lösung unsinnig, da der a-Vektor an einer speziellen Position innerhalb des Würfels sein muss und die Lösung meines Erachtens lauten müsste: 1/2(w+v)-1/2(w+u) Damit wird der a-Vektor in Abhängigkeit zu seinem Bezugssystem gebracht. Stattdessen hieß es in etwa: Wenn zwei Vektoren gleich lang und parrallel sind, sind sie die Selben (???) Ist dies nicht unvollständig und die Aussage infolgedessen widersprüchlich? 2.) Beweise mithilfe von Vektoren "ich verstehe nur Bahnhof" bspw.: In einem Parallelogramm ABCD liegt ein Punkt T auf der Seite BC. S ist der Schnittpunkt der Diagonalen BD und der Strecke AT. Beweisen Sie: BT=1/2*TC, dann gilt DS=3*SB und AS=3*ST Den Rechenweg kann ich nachvollziehen. Es kommt raus, dass die Diagonale bsp. in 4 Teile geteilt wird. Damit ist es bewiesen. Ich verstehe es nicht 
. Wie kann man eine Hypothese testen, ohne einen Bezug zu realen Werten zu haben 
(sprich: man muss vorher bereits wissen, dass die Diagonale in 4 gleich große Teile geteilt wird, um die obrige Aussage zu bestätigen)?!Bitte hilft mir! 
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| 24.04.2008, 22:36 | a priori | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Linearkombinationen Mir ist das sehr wichtig! |
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| 25.04.2008, 08:31 | cheetah_83 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Linearkombinationen
lös doch mal die klammern auf |
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| 25.04.2008, 11:27 | Heero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
1.) Die im Unterricht angegebene Lösung ist absolut korrekt. Dein Einwand ist hier vollkommen unwichtig. Vektoren beschreiben eine Länge und eine Richtung. Er ist also von seinem Ort her unabhängig. Nehmen wir an wir haben ein Quadrat mit den Ecken A, B, C und D. DIe Strecken AB und CD sind parallel zueinander. Beschreibt man die Sreche AB nun durch einen Vektor, man rechnet punkt A minus Punkt B. Machst du das gleiche nun mit der STrecke CD wirst du festellen, dass du den selben Vektor bekommen wirst. Wenn du den Ort dieses Vektors bestimmen möchtest, dann kannst du das höchstens durch eine Geradengleichung machen. Die Ortsbestimmung geschiet dann durch den Ortsvektor(Stützvektor). Deine Variante ist da falsch. Durch w änderst du die Werte des Vektors und damit seine Länge und seine Richtung, folglich ist es ein ganz anderer Vektor. Wenn du das überprüfen möchtest, dann nimm dir mal ein einfaches Beispiel, bestimme auf deine Weise den Vektor und addiere ihn dann den Punkt A hinzu und du wirst merken, dass du nicht zu Punkt B gelangst. 2.) Hier kann ich dir leider auch nicht so wirklich helfen. Ich denke aber mal, dass die vermuten, dass wir alle Mathe-Genies sind. Ich denke das mit den 4 gleich großen Teilen ist immer, wenn es sich um ein Parallelogramm handelt, sicher bin ich mir aber nicht. Ich hoffe ich konnte dir ein wenig helfen! |
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| 25.04.2008, 11:35 | Heero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Linearkombinationen
Dazu sage ich mal nichts! Wenn man keine Ahnung hat, dann sollte man sich lieber nicht äußern. w und v sind hier Variablen. Die Werte sind uns hier nicht bekannt. In einer Klausur wirst du Werte gegeben haben mit denen du rechnen musst. |
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| 25.04.2008, 13:11 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vektoren sind prinzipiell lageunabhängig, d.h. man kann sie überal parallell hinverschieben, ohne dass sich ihr Wert ändert. Der Vektor a des Oktaeders verbindet also zwei Seitenmitten des Würfels. Der Ortsvektor zur ersten ist u/2 + v/2, der zur zweiten v/2 + w/2. Nun müssen diese beiden Ortsvektoren subtrahiert werden, damit man den Verbindungsvektor a erhält: a = u/2 + v/2 - v/2 - w/2 = u/2 - w/2 cheetah_83 hatte also nicht unrecht ... Analog für die beiden anderen Vektoren des Oktaeders. Zu 2) Man muss nichts vorher wissen! Wir beweisen eigentlich von vornherein auch nichts, sondern berechnen einfach nur das Teilverhältnis, welches der Punkt S auf den beiden Strecken AT und BD erzeugt. Die Berechnung wird mit der Methode des geschlossenen Vektorzuges durchgeführt. Die Suche hier im Board zeigt, dass dies schon oft gefragt wurde. Die Vektoren AB und BC des Parallelogrammes werden mit a, b bezeichnet, diese beiden sind linear unabhängig, d.h. es gilt Nun wird T als Teilungspunkt 1 : 2 von BC angenommen und daraus gezeigt, dass S die Strecke BD im Verhältnis 1 : 3 teilt, dass also BS = 3 SD ist. Das darf man nicht annehmen, sondern dies ist zu zeigen. Der geschlossene Vektorzug wird nun beispielsweise im Dreieck ABS aufgebaut, dazu setzen wir AB = a, AD = BS = b, BT = b/3, AT = a + b/3, AS = r.AT, BD = b - a, BS = s.BD Weil BT = TC/2, teilt T BC im Verhältnis 1 : 2, somit ist BT = BC/3 = b/3 Nun ist AB + BS + SA = 0, also a + s(b - a) - r(a + b/3) = 0 Ausmultiplizieren und den Satz der linearen Unabhängigkeit verwenden ... [s = 1/4, ...] Dieser Sachverhalt gilt nun in jedem Parallelogramm. Wir erhalten nebenbei in einem Aufwaschen auch gleich das Teilverhältnis auf der Strecke AT. mY+ |
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| 25.04.2008, 13:12 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@ Heero
Schreib das mal bitte etwas um...da schüttelt es einen 
@ a priori Zu deiner 2. Aufgabe: Ich weiss gar nicht was dein Problem ist. In der Mathematik sieht es doch bei zahlreichen Aufgaben aus, dass man etwas bekanntes beweisen soll. Entscheidend ist dann halt wie man es beweist mit den gegebenen Voraussetzungen, sich also an diesen orientierend zur Lösung "hangelt". Klar könnte man auch einfach nur schreiben "Was folgerst du daraus aus den gegebenen Voraussetzungen für die die Teilverhältnisse durch den Punkt S ?" Hier ist eben schon eine Lösung vorgegeben, die man dann als Kontrollergebnis nehmen kann. Zu lösen ist die Aufgabe entweder mit dem Strahlensatz oder etwas aufwändiger mit einem geschlossenem Vektorzug und der Kenntnis linearer Unabhängigkeit - aber den Rechenweg scheinst du ja nach eignen Angaben eh verstanden zu haben. Gruß Björn |
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| 25.04.2008, 15:35 | a priori | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich verstehe. 1+1=2 weil 2-1=1. @Heero danke, ich habe es verstanden! |
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| 25.04.2008, 15:53 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn du voraussetzen sollst dass 2-1=1 gilt und auch gegeben ist, dass du bestimmte Äquivalenzumformungen bzw Axiome benutzen darfst dann ist das so. Sowas nennt man einen "Wenn-Dann-Beweis" oder eine Implikation. Die Wahl deines Beispiels lässt allerdings darauf schließen, dass du das ganze für Käse hälst, weil für dich keinen Sinn ergibt...
Viele Gesetzmäßigkeiten werden natürlich empirisch aus Daten aus bestimmten Meßreihen VERMUTET. Bestätigen tut man diese noch nicht bewiesene Behauptung mit der Mathematik. Insgesamt wirst du also immer wieder mit Aufgaben konfrontiert werden, von denen du die Lösung noch nicht kennst, der Lehrer aber voraussetzen darf, dass du mit dem von ihm vermittelten theoretischen Wissen darauf schließen kannst...was anfangs dann noch möglicherweise ungewohnt und verwirrend erscheint löst sich dann mit einer Kette aus "Wenn-Dann-Folgerungen" in wohlgefallen auf und am Ende hat man bewiesen, dass eine bestimmte Behauptung gilt. |
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| 25.04.2008, 17:23 | a priori | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
1.) Ich weiß, Bjoern und ich hätte dies nicht als Problem empfunden, wenn unsere Lehrerin uns das so gesagt hätte. Ich glaube dir, dass du weißt, was ein "wenn-Dann-Beweis" ist, nicht aber, dass du einen Solchen anwenden kannst. 2.) Ich möchte hinzufügen, dass ich meinen Ausdruck "Ich habe es verstanden!" auf die Unsinnigkeit der erstgenannten Aufgabe im speziellen und bezugslosen Vektoren im Allgemeinen bezog. |
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| 25.04.2008, 19:31 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich glaub dir ist echt nicht zu helfen 
Dann noch viel Spaß mit der Mathematik, auch wenn es wohl eine Quall werden wird... |
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| 25.04.2008, 20:01 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Linearkombinationen
Nein, du musst nur drauf kommen. Genauso wie du in einer Interpretation im Deutschunterricht auf richtige Ideen kommen musst. Zu den Hypothesen: In der Mathematik "testet" man keine Hypothesen. Man beweist sie. Testen tust du sie, indem du mal ein paar Zahlen einsetzt und siehst, dass das richtige rauskommt. Aber weißt du dann auch, dass das richtige rauskommt, wenn andere Zahlen eingesetzt werden? Nein, und deshalb ist die Hypothese dann nicht bewiesen. Im übrigen weiß Björn sehr gut "Wenn-dann-Beweise" zu führen. Ich habe schon einige von ihm gesehen. Im übrigen ist er ein hervorragender Lehrer. Leider hast du ja abgeblockt und seine Qualitäten nicht in Anspruch genommen. Pech gehabt. |
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| 25.04.2008, 21:41 | a priori | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich entschuldige mich für diese Dummheiten. Da war mir wirklich nicht zu helfen, insbesondere, weil schon mYthos schrieb: "Das darf man nicht annehmen, sondern dies ist zu zeigen." @Bjoern1982 Entschuldigung. 
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| 25.04.2008, 22:57 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Find ich cool von dir. 
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| 25.04.2008, 23:10 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich auch 
@ WebFritzi Danke für die Blumen
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| 25.04.2008, 23:25 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
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| 28.04.2008, 15:13 | Heero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Man kann sich auch anstellen. Ich mache ab und zu mal Rechtschreibfehler, bzw Tippfehler. Und gefällt dir das Wort "subtrahieren" besser? |
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| 28.04.2008, 15:27 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich stelle mich sicher nicht an....in einem Forum sollte es aber schon von Bedeutung sein falsche Dinge anzusprechen, und Punkte zu subtrahieren ist nun mal Quatsch....sowas gibt es nicht (es kam mir also nicht auf das minus an). Wenn sich das jemand so merkt und in einer mündlichen Prüfung so einen Satz benutzt macht das keinen sonderlich guten Eindruck, auch wenn man weiss was wohl gemeint ist, formal ist es halt falsch. |
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| 29.04.2008, 10:25 | Heero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
jaja....schon gut.... |
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