10 Tauben auf der Stange

24.04.2008, 20:09

Patrickvd

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10 Tauben auf der Stange

Hallo, habe diese Frage schon im Physikerboard gepostet, aber da kamen wir bisher zu keiner klaren lösung bei aufgabe b) vielleicht könnt ihr uns da weiterhelfen :-)

"Also.. erstmal die Aufgabe:

10 Vögel sitzen auf einer Stange. Es gibt 10 Jäger mit jeweils einem Schuss. Die Jäger sind perfekte Schützen und wählen ihr Ziel unabhängig voneinander zufällig aus, alle schießen gleichzeitig. (Also ingesamt 10 Schüsse auf 1-10 Tauben!)

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Taube "Bertha" überlebt?

b) Wie hoch ist der Erwartungswert (die Anzahl der durchschnittlich überlebenden) der lebenden Tauben?

c) Wie sind die beiden anderen Aufgaben zu behandeln, wenn es statt 10 Jägern 20 Jäger gäbe, die auf 10 Tauben schießen?

Saß heute ne Weile mit meinem Mathelehrer dran, aber so wirklich kamen wir nicht drauf.. was sagt ihr dazu?

Liebe Grüße, Patrick"

Aufgabe a) ist noch relativ einfach, weil das ergebnis einfach (9/10)^10 ist (34%)...
bei b) ist das schon schwieriger, weil es keine binomialverteilung ist... wäre es eine so hätte die Lösung für 10 lebende tauben einen wert über 0, das kann aber nicht sein..

ein guter Ansatz ist, wie ich finde von Pressure:

"Ich hab mir jetzt die ganze Zeit Gedanken gemacht... und auch versucht über die toten Tauben zu gehen. Aber das wird auch kompliziert:

Sagen wir zur Einfachheit die Schützen schießen nacheinander mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf alle Tauben, egal ob eine schon Tod ist oder nicht.

Der erste trifft sicher eine. Beim zweiten ist mit der Wahrscheinlichkeit von 9/10 die zweite tot. Zu 1/10 bleibt es ein. Beim dritten Schützen ist, wenn erst eine tot ist, zu 9/10 die zweite tot, sind zwei tot, dann zu 8/10 usw. ... alles sehr verstrickt.

Es muss einen anderen Weg geben."

er berücksichtigt hier die sich ändernde wahrscheinlichkeit in abhängigkeit der noch lebenden tauben.. das müsste man nur noch irgendwie in formeln fassen können... ;-) kann aber natürlich auch sein, dass selbst dieser weg noch nicht ganz durchdacht ist..

24.04.2008, 21:48

Stoffelhase

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Uff geile Aufgabe. Ich komm nicht drauf. Hat denn keiner von euch eine Idee?

25.04.2008, 14:31

pressure

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Den alten Ansatz hab ich mittlerweile verworfen, wobei ich nun wie folgt ran gegangen bin:

Die Wahrscheinlichkeit, dass k Enten überleben ist die Anzahl der Möglichkeiten k-Enten (bzw. 10-k Enten - kommt ja aufs Gleiche raus) auszuwählen mal die Anzahl der Möglichkeiten 10 Kugeln auf genau (10-k) Enten zu verteilen durch die Anzahl der Möglichkeiten 10 Kugeln auf 10 Enten zu verteilen. Wobei genau bedeutet, dass jede Ente mindestens eine Kugel bekommt.

Die Anzahl der Möglichkeiten 10 Kugeln auf 10 Enten zu verteilen ist:

$\begin{eqnarray*} {10 + 10 -1 \choose 10} = {19 \choose 10} \end{eqnarray*}$

Die Anzahl der Möglichkeiten 10-k Enten aus den 10 Auszuwäheln ist:

$\begin{eqnarray*} {10 \choose 10-k} = {10 \choose k} \end{eqnarray*}$

Die Anzahl der Möglichkeiten 10 Kugeln auf genau 10-k Enten zu verteilen ist nun

$\begin{eqnarray*} {10-(10-k)+10-k-1 \choose 10-k-1} = {9 \choose 9 - k} \end{eqnarray*}$

Damit berechnet sich die Wahrscheinlichkeit, dass k Enten noch leben wie folgt:

$\begin{eqnarray*} P_{(X = k)}=\frac{{10 \choose k} \cdot {9 \choose 9 - k}}{{19 \choose 10}} \text{ mit } k \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \end{eqnarray*}$

Und es gilt sogar bzw. zum Glück:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^9~ P_{(X = k)} =\sum_{k=0}^9~\frac{{10 \choose k} \cdot {9 \choose 9 - k}}{{19 \choose 10}} = 1 \end{eqnarray*}$

Ich hab es einfach ausgerechnet ... wie man das mathematisch zeigt ist mir schleierhaft.

Für den Erwartungswert gilt dann:

$\begin{eqnarray*} E(X) = \sum_{k=0}^9~ P_{(X = k)} \cdot k =\sum_{k=0}^9~\frac{{10 \choose k} \cdot {9 \choose 9 - k}}{{19 \choose 10}} \cdot k \approx 4,7368 \end{eqnarray*}$

25.04.2008, 16:39

pressure

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Leider ist die Idee falsch !

25.04.2008, 17:44

Zellerli

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In den sauren Apfel beißen und elementar den Erwartungswert bestimmen...

Als Modell würde ich Ziehen mit Zurücklegen nehmen. In der Urne sind zehn nummerierte Kugeln.

Und dann die Wahrscheinlichkeiten über Laplace. Die Anzahl aller möglichen Ereignisse ist somit auch sehr einfach.

1 Vogel: Alle Kugeln gleiche Nummer
2 Vögel: Zwei verschiedene Nummern
3 Vögel: ...

Ich denke so kann man das machen oder?

25.04.2008, 17:57

AD

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Sei $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ die Überlebenswahrscheinlichkeit von Vogel $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ .

a) Für festes $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ gilt: Jeder der 10 unabhängig (!) wählenden Jäger schießt mit Wkt $\begin{eqnarray*} \frac{9}{10} \end{eqnarray*}$ auf einen anderen als den $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -ten Vogel. Also ist dessen Überlebenswahrscheinlichkeit gleich

$\begin{eqnarray*} p_i = \left( \frac{9}{10} \right)^{10} \end{eqnarray*}$

b) Hier betrachtet man zweckmäßig die 0-1-Zufallsvariablen

$\begin{eqnarray*} X_i = \begin{cases} 0 & \;\mbox{Vogel $i$ wird getroffen}\\ 1 & \;\mbox{Vogel $i$ überlebt} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Die Summe $\begin{eqnarray*} S=X_1+\ldots+X_{10} \end{eqnarray*}$ gibt die Zufallszahl der überlebenden Vögel an. Dann ist $\begin{eqnarray*} E(S) \end{eqnarray*}$ ziemlich einfach aus $\begin{eqnarray*} E(X_i)=p_i \end{eqnarray*}$ bestimmbar... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Interessanter wäre dann schon die Varianz - da müsste man sich wegen der hier bestehenden Abhängigkeit der $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ untereinander noch ein wenig mehr anstrengen.

c) Na besonders viel ändert sich in der vorstehenden Rechnung nicht mit 20 statt 10 Jägern. smile

smile

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25.04.2008, 20:46

pressure

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D.h.

$\begin{eqnarray*} E(S) = 10 \cdot E(X) = 10 \cdot \left( \frac{9}{10} \right)^{10} \approx 3,49 \end{eqnarray*}$

Darf man den Erwartungswert also auch bei voneinander abhängigen Zufallsgrößen einfach addieren ?

Und wie würde man die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass k Tauben überleben ?

25.04.2008, 21:00

AD

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Zitat:

Original von pressure
Darf man den Erwartungswert also auch bei voneinander abhängigen Zufallsgrößen einfach addieren ?

Ja! Abhängigkeit ist bei Summen kein Problem.

Das ist ja der Clou bei dieser Aufgabe: Während die eigentliche Verteilung von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ziemlich aufwändig zu berechnen ist (siehe Beitrag Zellerli), ist der Erwartungswert aufgrund seiner Linearität bzgl. der $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ sehr einfach zu berechnen.

Zitat:

Original von pressure
Und wie würde man die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass k Tauben überleben ?

"Genau" k Tauben? Wird bei der Aufgabe hier nicht gebraucht und ist ziemlich aufwändig... aber bitte sehr:

Mit Siebformel kommt man da bei insgesamt $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ Tauben und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Jägern auf die nette Wahrscheinlichkeitsformel

$\begin{eqnarray*} \binom{m}{k} \sum_{j=k}^{m} (-1)^{j-k} \binom{m-k}{j-k} \left(1 - \frac{j}{m} \right)^n = \binom{m}{k} \frac{1}{m^n} \cdot \sum_{i=0}^{m-k} (-1)^{m-k-i} \binom{m-k}{i} i^n \end{eqnarray*}$ .

für genau $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ überlebende Tauben. Abschreckend genug, oder noch begierig auf Details? Big Laugh

Big Laugh

EDIT: Hab mal eine Indexverschiebung in der Summe vorgenommen, um den Summationsindex $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ an die Erklärung von 22:16 anzupassen. Anschließend folgt rechts eine weitere Indexsubstitution $\begin{eqnarray*} i=m-j \end{eqnarray*}$ , zwecks "leichterer" Berechnung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.04.2008, 22:06

pressure

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Nein noch nicht !

Wie kommt man auf die Formel ? Wenn man versucht sich die Wahrscheinlichkeit zu überlegen.

25.04.2008, 22:16

AD

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Tapfer...

Big Laugh

Man definiert die Ereignisse

$\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ ... Vogel $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ überlebt,

d.h. es ist $\begin{eqnarray*} A_i = [X_i=1] \end{eqnarray*}$ mit obigem von mir bereits definierten $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ .

Als erstes widmet man sich der Wkt, dass genau die letzten $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Vögel überleben, also

$\begin{eqnarray*} q := P(A_1^c \cap \ldots \cap A_{m-k}^c \cap A_{m-k+1} \cap \ldots \cap A_m) \end{eqnarray*}$

Gemäß Siebformel ist das

$\begin{eqnarray*} q = \sum_{I \subseteq \{1,\ldots,m-k\}} (-1)^{|I|} \cdot P\left( \left[ \bigcap\limits_{i\in I} A_i \right] \cap A_{m-k+1} \cap \ldots \cap A_m \right)\qquad (*) \end{eqnarray*}$

Der Durchschnitt von genau $\begin{eqnarray*} j:=|I|+k \end{eqnarray*}$ verschiedenen $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ - wie er im Summand der Siebformelsumme auftaucht - bedeutet nun, dass genau diese $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ Vögel überleben, und somit die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Jäger höchstens auf die restlichen $\begin{eqnarray*} m-j \end{eqnarray*}$ Vögel schießen (nicht notwendig auf jeden davon!) - diese Wahrscheinlichkeit ist gleich $\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{j}{m}\right)^n \end{eqnarray*}$ . Die Siebformel (*) nun gemäß dieser Werte aufgedröselt führt dann auf die obige Formel, wobei letzlich nicht $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} \binom{m}{k}\cdot q \end{eqnarray*}$ steht, denn es müssen ja nicht die letzten $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , sondern nur irgendwelche $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ der $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ Vögel sein, die da überleben...

Jetzt aber genug der Erklärungen, durch die Siebformel muss jeder Interessierte selbst mal durch. smile

smile

26.04.2008, 09:52

pressure

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Ah Danke !

26.04.2008, 10:00

AD

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Letztendlich kann man die Verteilung für $\begin{eqnarray*} m=n=10 \end{eqnarray*}$ gemäß dieser Formel auch konkret ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{|c|l|}\hline k & P(S=k)\\ \hline 0 & 0.00036288\\ 1 & 0.0163296\\ 2 & 0.13608\\ 3 & 0.3556224\\ 4 & 0.34514424\\ 5 & 0.1285956\\ 6 & 0.01718892\\ 7 & 0.00067176\\ 8 & 0.000004599\\ 9 & 0.000000001\\ 10 & 0\\ \hline \end{array} \end{eqnarray*}$

26.04.2008, 18:58

Patrickvd

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Vielen herzlichen Dank euch allen :-) wünsche euch noch ein schönes Wochenende.. jetzt kann ich einem Mathe-Gymnasiallehrer erstmal was zu knacken geben :P

24.01.2011, 15:44

Herr Lehmann

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Hallo Könnte mir jemand die Lösung geben wir kommen einfach nicht drauf

mfg : Lehmann

24.01.2011, 15:51

Math1986

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Zitat:

Original von Herr Lehmann
Hallo Könnte mir jemand die Lösung geben wir kommen einfach nicht drauf

Komplettlösungen geben wir grundsätzlich nicht (Prinzip "Mathe online verstehen!"), zumal bereits der Lösungsweg hier ausführlichst besprochen wurde.
Welchen Teil davon verstehst du nicht?

24.01.2011, 16:06

Herr Lehmann

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die anfrage war wohl eher falsch formuliert ^^

also es ist so :

wir sind schüler einer reha gruppe und haben einige leute die immer meinen sie sein die besten und wissen immer alle lösungen was mathe und physik anbelangt

nun habe ich das hier gesehen und denke das es eine harte nuss sei für die leute deshalb wollte ich mal lieb anfragen .

sodas sie dann mal im gemeinschaftsraum ne runde rechnen können und vill auch dann eine erklärung abgeben können

nur wissen wir ja nicht ob das dann stimmt deshalb würde ich mich freuen

wenn es möglich ist bitte per PM

mfg : Lehmann

und nochmal sry wenn ich störe

24.01.2011, 16:28

René Gruber

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Zitat:

Original von Herr Lehmann
wir sind schüler einer reha gruppe und haben einige leute die immer meinen sie sein die besten und wissen immer alle lösungen was mathe und physik anbelangt

nun habe ich das hier gesehen und denke das es eine harte nuss sei für die leute

Klingt danach "Jetzt wollen wir die mal so richtig nass machen, aber selbst um Himmelswillen das Wasser nicht anrühren". Ich glaube nicht dass das so funktioniert, ihr müsst euch schon selbst richtig reinknien. Ansonsten fallt ihr selbst in die Grube, die ihr graben wollt.

24.01.2011, 16:31

Math1986

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Die Hilfestellungen sehen auf den ersten Blick richtig aus, und dein Vorposter hats ja auch verstanden, daher nochmal die Frage was dir genau an der Rechnung unklar ist.

Wofür du das nun brauchst ist mir doch egal, ich finde es aber auch reichlich kindisch smile

smile

LOL Hammer

Zitat:

Original von Herr Lehmann
wenn es möglich ist bitte per PM

Da auch das gegen das Prinzip verstösst poste ich dir noch einmal den Link Prinzip "Mathe online verstehen!"

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