Kurvendiskussion von f(x)=e^x/(1-e^(-x))

19.11.2005, 20:18

DasPhi

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Kurvendiskussion von f(x)=e^x/(1-e^(-x))

hey ihr,
ich kann meine matheaufgabe schon wieder nicht.. vllt kann mir ja jemand helfen. also die aufgabe ist: f(x)= e^x /(1-e^-x )
da soll ich jetz achsenschnittpunkte, wendepunkte, extrempunkte und monotonieverhalten bestimmen. dass es keine achsenschnittpunkte gibt hab ich schon rausgefunden...aber jetzt krieg ich die funktion gar nicht abgeleitet. mit der quotientenregel hab ichs schon probiert, aber da kommt so ein dummer ausdruck raus, mit dem kann ich nicht weiterrechnen. bitte helft mir.
lg DasPhi

edit: Titel geändert, bitte wähle einen aussagekräftigen Titel! (MSS)

19.11.2005, 20:19

JochenX

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Zitat:

aber da kommt so ein dummer ausdruck raus, mit dem kann ich nicht weiterrechnen.

dann bitte
poste doch mal deine ableitung, am besten mit allen zwischenschritten der quotientenregel

19.11.2005, 20:24

DasPhi

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f'(x) = [e^x * (1 - e^-x) - e^x * e^x] / (1 - e^-x)^2
= (e^x - e^2x) / (2 - 2e^-x + e^-2x)

19.11.2005, 20:29

JochenX

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bitte bitte, jetzt noch mit dem formeleditor

dann können wir das auch lesen

19.11.2005, 20:30

derkoch

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Zitat:

Original von DasPhi
f'(x) = [e^x * (1 - e^-x) - e^x * e^x] / (1 - e^-x)^2
= (e^x - e^2x) / (2 - 2e^-x + e^-2x)

vorzeichen in der potenz vergessen!

19.11.2005, 20:40

DasPhi

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ach herrje, hoffentlich krieg ich das hin

f'(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{e^x * (1 - e^{-x}) - e^x * e^{-x}}{(1 - e^{-x})^2 } \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \frac{e^x - e^{2x}}{2 - 2e^{-x} + e^{-2x}} \end{eqnarray*}$

puh..hat geklappt

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19.11.2005, 20:43

derkoch

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Zitat:

Original von DasPhi
ach herrje, hoffentlich krieg ich das hin

f'(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{e^x * (1 - e^{-x}) - e^x * e^{-x}}{(1 - e^{-x})^2 } \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \frac{e^x - e^{2x}}{2 - 2e^{-x} + e^{-2x}} \end{eqnarray*}$

puh..hat geklappt

ihh! chef, oder chefin!!?
LOL Hammer

LOL Hammer

$\begin{eqnarray*} e^x\cdot e^{-x}= \frac{e^x}{e^x}= ??? \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.11.2005, 20:47

DasPhi

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ähm...1? aber das ist ja dann trotzdem nicht viel einfacher oder? oder ist das einfach so ein dummer ausdruck mit dem ich wohl oder übel rechnen muss?

19.11.2005, 20:50

DasPhi

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ach ja ich kann dann ja einfach nur mit dem zähler weiterrechnen, denn wenn der 0 wird, dann kann ich die extrempunkte berechnen....danke

19.11.2005, 20:52

derkoch

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$\begin{eqnarray*} e^x\cdot e^{-x}= \frac{e^x}{e^x}= ??? \end{eqnarray*}$

so, wenn das 1 ist ! wie kommst du denn auf deinen ausdruck von $\begin{eqnarray*} e^{2x} \end{eqnarray*}$ ?? Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.11.2005, 20:55

DasPhi

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ähm...jetzt bin ich verwirrt

19.11.2005, 21:00

derkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

f'(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{e^x * (1 - e^{-x}) - e^x * e^{-x}}{(1 - e^{-x})^2 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^x(1-e^{-x})-e^x\cdot e^{-x} = e^x-1-1= e^x-2 \end{eqnarray*}$

19.11.2005, 21:00

DasPhi

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aber ich versteh nicht wieso ich $\begin{eqnarray*} \frac{e^x}{e^x} \end{eqnarray*}$ hab...ich dachte das müsste $\begin{eqnarray*} e^x * e^x \end{eqnarray*}$ heißen..oder hab das dann falsch gemacht mit der quotientenregel?

19.11.2005, 21:07

DasPhi

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Zitat:

Original von derkoch

Zitat:

Original von DasPhi
f'(x) = [e^x * (1 - e^-x) - e^x * e^x] / (1 - e^-x)^2
= (e^x - e^2x) / (2 - 2e^-x + e^-2x)

vorzeichen in der potenz vergessen!

da muss doch gar kein vorzeichen hin oder?

19.11.2005, 21:09

derkoch

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Zitat:

Original von DasPhi

Zitat:

Original von derkoch

Zitat:

Original von DasPhi
f'(x) = [e^x * (1 - e^-x) - e^x * e^x] / (1 - e^-x)^2
= (e^x - e^2x) / (2 - 2e^-x + e^-2x)

vorzeichen in der potenz vergessen!

da muss doch gar kein vorzeichen hin oder?

kollege!
was ist denn die ableitung von
$\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ ??

19.11.2005, 21:14

DasPhi

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aber wieso denn $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ ?
ich hab doch in meiner funktion im zähler $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ stehen und nicht $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$

19.11.2005, 21:18

derkoch

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$\begin{eqnarray*} u= e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u'= e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v= (1-e^{-x}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v' = ??? \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{u'v-v'u}{v^2} \end{eqnarray*}$

rest darfst du zusammen basteln!

19.11.2005, 21:23

DasPhi

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$\begin{eqnarray*} \frac{e^x - 1 - e^{2x}}{1 - 2e^{-x} + e^{-2x}} \end{eqnarray*}$

korrekt?

19.11.2005, 21:25

derkoch

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Zitat:

Original von DasPhi
$\begin{eqnarray*} \frac{e^x - 1 - e^{2x}}{1 - 2e^{-x} + e^{-2x}} \end{eqnarray*}$

korrekt?

nein zum 2. mal wo kommt den das $\begin{eqnarray*} e^{2x} \end{eqnarray*}$ her!?

die lösung stand doch schon in meinem anderen beitrag!

19.11.2005, 21:31

DasPhi

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$\begin{eqnarray*} e^x * (1 - e^{-x}) - e^x * e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^x * (1 - e^{-x}) = e^x - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^x * e^x = (e^x)^2 = e^{2x} \end{eqnarray*}$ --> das ist genau der teil bei dem ich mir nicht sicher bin, ob das stimmt

19.11.2005, 21:34

derkoch

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Zitat:

Original von DasPhi
$\begin{eqnarray*} e^x * (1 - e^{-x}) - e^x * e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^x * (1 - e^{-x}) = e^x - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^x * e^x = (e^x)^2 = e^{2x} \end{eqnarray*}$ --> das ist genau der teil bei dem ich mir nicht sicher bin, ob das stimmt

und ich schrieb daß du das vorzeichen vergessen hast!

19.11.2005, 21:35

mercany

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Zitat:

Original von DasPhi
$\begin{eqnarray*} e^x * (1 - e^{-x}) - e^x * e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^x * (1 - e^{-x}) = e^x - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^x * e^x = (e^x)^2 = e^{2x} \end{eqnarray*}$ --> das ist genau der teil bei dem ich mir nicht sicher bin, ob das stimmt

Das ist Quatsch!

$\begin{eqnarray*} e^x * (1 - e^{-x}) - e^x * e^x = e^x - \frac{e^x}{e^x} - \frac{e^x}{e^x} = e^x - 1 - 1 = e^x - 2 \end{eqnarray*}$

Gruß, mercany

19.11.2005, 21:40

derkoch

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Lösung stand auch schon in meinem beitrag jan! smile

smile

bloß der kollege weigert sich es zu akzeptieren!

19.11.2005, 21:42

DasPhi

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ach wie blöd...jetz hab ich verstanden, woher das vorzeichen kommt. ich hab das einfach weggelassen, nachdem das $\begin{eqnarray*} -e^{-x} \end{eqnarray*}$ positiv geworden ist...vielen dank.

19.11.2005, 21:44

mercany

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Zitat:

Original von derkoch
Lösung stand auch schon in meinem beitrag jan! smile

smile

bloß der kollege weigert sich es zu akzeptieren!

Upsala!
Hätte ich mal den ganzen Thread lesen sollen... dann hätte ich deins natürlich nur zitiert. Sorry! Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.11.2005, 21:48

derkoch

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aber es hat anscheinend geholfen, daß es noch ein 2.es mal von dir geschrieben wurde! Big Laugh

Big Laugh

denn jetzt hat unser gast es verstanden, vielleicht hatte ich es nicht so schön erklärt! LOL Hammer

LOL Hammer

19.11.2005, 21:49

DasPhi

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ich weiger mich nich das zu akzeptieren, ich habs bloß nich verstanden. ich kann ja halt nix dafür dass der ganze untericht viel zu schnell ist und ich nix kapier da und dann probleme mit meinen hausaufgaben hab. ich hab ja noch nicht mal meine letzte klausur alles verstanden, obwohl ich dazu die lösungen bekommen hab. und jetzt sag nicht noch ich hätt halt kein mathe-lk nehmen sollen. das hab ich mittlerweile selbst gemerkt, aber jetzt ist es zu spät.

19.11.2005, 21:54

mercany

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Naja, es macht dir ja auch niemand einen Vorwurf hier! smile

smile

Und zu deinem LK: Im Grunde ist das nicht schwer, du musst es halt nur wollen und etwas dafür tun - dann wird das halt auch schon!

@derkoch
Naja, Im Großen und Ganzen sehe ich zwischen unseren Ausführungen keinen Unterschiede, aber wer weiß Big Laugh

Big Laugh

Gruß, mercany

19.11.2005, 22:12

DasPhi

Auf diesen Beitrag antworten »

danke

smile

. aber noch eine frage: die 2. Ableitung dieser funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{e^x}{1 - e^{-x}} \end{eqnarray*}$
ist die so ein riesiger bombastischer ausdruck oder muss ich nochmal schaun, ob ich da was falsch gemacht hab?

19.11.2005, 22:16

mercany

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von DasPhi
danke smile

smile

. aber noch eine frage: die 2. Ableitung dieser funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{e^x}{1 - e^{-x}} \end{eqnarray*}$
ist die so ein riesiger bombastischer ausdruck oder muss ich nochmal schaun, ob ich da was falsch gemacht hab?

Zeig dochmal, was du hast! smile

smile

edit:

Also eigentlich ist die Ableitung ziemlich kurz Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.11.2005, 22:22

DasPhi

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ok

$\begin{eqnarray*} f''(x) = \frac{e^x - 2,5 - 3,5e^{-x} + 4e^{-2x}}{1 - 4e^{-x} + 5e^{-2x} - 2e^{-3x}} \end{eqnarray*}$

19.11.2005, 22:23

derkoch

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Zitat:

Original von DasPhi
ok

$\begin{eqnarray*} f''(x) = \frac{e^x - 2,5 - 3,5e^{-x} + 4e^{-2x}}{1 - 4e^{-x} + 5e^{-2x} - 2e^{-3x}} \end{eqnarray*}$

leider falsch! es kommen keine krummen zahlen drin vor! es kommt ein sehr angenehmer ausdruck raus!

edit: @ dasphi
wenn du probleme mt solchen langen ausdrücke hast, empfehle ich dir wie folgt vorzugehen:
u= ...
u'= ..
v= ..
v'= ..
und dann zusammen zusetzen!

19.11.2005, 22:27

mercany

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Zitat:

Original von DasPhi
ok

$\begin{eqnarray*} f''(x) = \frac{e^x - 2,5 - 3,5e^{-x} + 4e^{-2x}}{1 - 4e^{-x} + 5e^{-2x} - 2e^{-3x}} \end{eqnarray*}$

Erstens: Von welcher Funktion gehst du da bitte aus?

Es ist $\begin{eqnarray*} f' = \frac{e^x - 2}{e^{x^2}} \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} (f')' = f'' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} u = e^x - 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v = e^{x^2} \end{eqnarray*}$

Sag mir mal, was du für $\begin{eqnarray*} u' = .... \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v' = .... \end{eqnarray*}$ herausbekommst!

Gruß, mercany

19.11.2005, 22:33

DasPhi

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hm..danke, gute idee

ist das denn richtig, dass $\begin{eqnarray*} v = 1 - 2e^{-x} + e^{-2x} \end{eqnarray*}$ ist und demnach dann $\begin{eqnarray*} v' = 2e^{-x} - 2e^{-2x} \end{eqnarray*}$ ?

@ mercany
ich geh aus von $\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{e^x - 2}{(1 - e^{-x})^2} \end{eqnarray*}$

edit: tatsächlich, hab ich vergessen, sorry

19.11.2005, 22:42

mercany

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ui, mein fehler hast recht mit f'!

dein v' stimmt nicht ganz.... der hintere teil past fast bis auf das vorzeichen der potenz, aber vorne ist was zu viel!

19.11.2005, 22:48

derkoch

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v' paßt schon jan!

edit: du hast oben wieder vergessen (tippfehler Augenzwinkern

Augenzwinkern

) im nenner das vorzeichen in der potenz hinzuschreiben!

19.11.2005, 22:50

DasPhi

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hmm... also ich hab nach der kettenregel abgeleitet: $\begin{eqnarray*} f'(x) = e^{v(x)} * v'(x) \end{eqnarray*}$

demnach ist vorne mein v'(x) = -1 und hinten ist es -2

19.11.2005, 22:55

mercany

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Also irgenwie sehe ich wohl den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr, aber:

$\begin{eqnarray*} 1 - 2e^{-x} + e^{-2x} = (1 - e^x)^2 \end{eqnarray*}$

Hä verwirrt

verwirrt

19.11.2005, 22:58

DasPhi

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ja sorry mein fehler, es ist nicht $\begin{eqnarray*} (1-e^x)^2 \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} (1-e^{-x})^2 \end{eqnarray*}$

19.11.2005, 23:00

derkoch

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$\begin{eqnarray*} v= (1-e^{-x})^2 \end{eqnarray*}$

das ist die ausgangssituation , also der nenner der ersten ableitung!

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