Konvergenz einer rekursiven Folge

20.11.2005, 14:55

Sheli

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Konvergenz einer rekursiven Folge

Hallo ich hab ein ganz großes Problem.
Ich muss für $\begin{eqnarray*} a_0 := \sqrt2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{n+1}:= \sqrt(2+\sqrt(a_n)) \end{eqnarray*}$
den Grenzwert angeben, das dann begründen und und das dann auch noch beweisen.
Aber ich hab absolut keine Ahnung wie ichs anstellen soll.
Ich hab mir schon gedacht, ich schreib dir Folge in eine explizite um, aber da komm ich auch nicht weiter.
Ich hab ein wenig rumgerechnet, und vermute, dass a_n gegen 2 konvergiert. Aber was weiter weiss ich nicht.
Das wär echt nett wenn mir da jemand weiterhelfen könnte, allein schaff ich das auf jeden Fall nicht. please Hilfe

Hilfe

20.11.2005, 15:23

Frooke

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Hallihallo

Du hast also eine Folge mit

$\begin{eqnarray*} a_0 = \sqrt{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_1 = \sqrt{2+a_0} \end{eqnarray*}$
wenn ich das richtig verstanden hab.

Du suchst also

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to \infty} a_n \end{eqnarray*}$

Das wichtigste dafür hast Du bereits aufgeschrieben:
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \sqrt{2+a_n} \end{eqnarray*}$

Was passiert nun mit der obigen Gleichung, wenn Du n gegen unendlich laufen lässt?

bzw. kleiner Tipp:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to \infty} a_n = \lim\limits_{n\to \infty} a_{n+1} \end{eqnarray*}$

20.11.2005, 15:27

Leopold

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Ich lese das so:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \sqrt{2 + \sqrt{a_n}} \end{eqnarray*}$

@ Sheli: Was stimmt nun?

20.11.2005, 15:28

mercany

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Hi Mike!

Wink

Zitat:

Original von Frooke
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \to \infty} a_n \end{eqnarray*}$

Was bedeutet denn das %A da ???

edit: Hmm.... bei Zitat sehe ich es nicht mehr!
Ich hänge mal ein Bild an, wie das bei mir aussieht.

LG, Jan

20.11.2005, 15:33

Sheli

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Ja Leopold, $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \sqrt{2 + \sqrt{a_n}} \end{eqnarray*}$ ist richtig.
Also wenn ich n gegen unendlich laufen lasse, dann müsste die folge, sofern sie konvergiert sich einem Grenzwert annähren.
Aber ich weiss ja nicht einmal wie ich das begründen soll, dass sie gegen 2 konvergiert. Ich kann ja die ersten Folgeglieder berechnen, was ich auch gemacht habe, aber das kann ich ja nicht als begründung nehmen.

20.11.2005, 15:37

AD

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Zitat:

Original von Sheli
Ja Leopold, $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \sqrt{2 + \sqrt{a_n}} \end{eqnarray*}$ ist richtig.
Also wenn ich n gegen unendlich laufen lasse, dann müsste die folge, sofern sie konvergiert sich einem Grenzwert annähren.
Aber ich weiss ja nicht einmal wie ich das begründen soll, dass sie gegen 2 konvergiert.

Sie konvergiert nicht gegen 2. Überleg dir nochmal genau, ob das die richtige Rekursionsvorschrift ist!

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20.11.2005, 15:37

Sheli

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Also wir sollen ja dann zeigen, dass die Folge wirklich konvergiert. Ich hab mir dann gedacht, dass man einfach zeigt, dass die Folge beschränkt und monoton wachsend ist. Daraus folgt ja die Konvergenz. Das mit der Beschränktheit könnte man ja durch Induktion zeigen, oder?

20.11.2005, 15:41

Sheli

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@Arthur Dent.
Ja, die rekursionsvorschrift ist richtig. Das mit der Konvergenz gegen zwei hab ich angenommen, also muss das nicht stimmen. Ich hab nur die ersten 5 Folgeglieder berechnet daraus hab ich das dann geschlossen, anscheinend falsch.

20.11.2005, 16:04

Leopold

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Ich will da Arthur beipflichten: Ist das wirklich die richtige Rekursionsvorschrift? Denn wenn sie es ist, dann ist der Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \alpha = \frac{\sqrt[3]{4}}{6} \left( \sqrt[3]{79 + 3 \sqrt{249}} + \sqrt[3]{79 - 3 \sqrt{249}} \right) - \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Und der Fachmann erkennt, was da dahinter steckt ... Big Laugh

Big Laugh

20.11.2005, 16:16

Sheli

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Oh....gut dass ich nachgefragt habe, sonst hätt ich wohl noch tage mit dieser aufgabe verbracht aber darauf würd ich wohl nie kommen smile

smile

)
Aber so ist die Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} a_0:=\sqrt2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ hab ist so wies da steht und nu Grenzwert von $\begin{eqnarray*} (a_n)_n \end{eqnarray*}$ angeben...
Aber was soll ich denn jetzt machen? Ich muss die Aufgabe schon übermorgen abgeben...Vielleicht kann man zunächst generell zeigen, dass die Folge überhaup konvergiert. Also das mit monotonie und beschränktheit...so ganz allgemein, ohne bestimmte grenzwert smile

smile

)

Aber wenn man wirklich die ersten fünf, sechs folgeglieder berechnet, dann kommt da tatsächlich sowas wie 1.54, 1.84, 1.96, 1.990, 1.996, 1.999.... und so weiter. Vielleicht hab ichs auch falsch eingesetzt.

20.11.2005, 16:19

AD

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Also wirklich, Leopold. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du hättest wenigstens noch verraten können, dass das die einzige reelle Lösung der kubischen Gleichung $\begin{eqnarray*} \alpha^3 + \alpha^2 - 3\alpha - 4=0 \end{eqnarray*}$ ist.

20.11.2005, 17:13

Leopold

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Also wirklich, Leopold. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du hättest wenigstens noch verraten können, dass das die einzige reelle Lösung der kubischen Gleichung $\begin{eqnarray*} \alpha^3 + \alpha^2 - 3\alpha - 4=0 \end{eqnarray*}$ ist.

Aber - unter uns! - ein Fachmann sieht das doch gleich! Big Laugh

Big Laugh

@ Sheli

Die von dir berechneten Werte passen nicht zur Rekursionsvorschrift. Du mußt dich jetzt schon entscheiden, was gilt. Man kann ja auch nicht mitten im Spiel die Spielregeln ändern. Das gibt nur Frust, Ärger und Streit.

Also erst einmal: Spielregeln festlegen.
Dann sieht man weiter.

20.11.2005, 17:31

Sheli

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Ok, dann einigen wir uns jetzt mal endgültig auf:
$\begin{eqnarray*} a_0:=\sqrt2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{n+1}:=\sqrt{2+\sqrt(a_n)} \end{eqnarray*}$ und Aufgabe: Sagen wogegen $\begin{eqnarray*} (a_n)_n \end{eqnarray*}$ konvergiert und zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (a_n)_n \end{eqnarray*}$ tatsächlich konvergiert.

Auf die oben angegebenen Werte bin ich so gekommen:
$\begin{eqnarray*} a_0 = \sqrt2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_1 = \sqrt{2+ \sqrt(a_0)} = \sqrt{2+ \sqrt2} = 1.847 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_2 = \sqrt{2+ \sqrt(a_1)} = \sqrt{2+ \sqrt{2+ \sqrt2}} = 1.962 \end{eqnarray*}$
usw. wo hab ich denn da den Fehler?

20.11.2005, 17:50

sdauth

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der fehler liegt darin, dass du die wurzel des jeweils vorigen folgengliedes nehmen musst.
also:

$\begin{eqnarray*} a_1 = \sqrt{2+ \sqrt(a_0)} = \sqrt{2+ \sqrt{\sqrt2}} \end{eqnarray*}$

ps: ich würde mich an deiner stelle wirklich noch einmal erkundigen, ob das die richtige rekursionsvorschrift ist.

ich glaube ja, dass es, wie frooke schon ganz am anfang geschrieben hat
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\sqrt{2+a_n} \end{eqnarray*}$ sein sollte.

20.11.2005, 17:54

Frooke

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Gemeint ist sicherlich
$\begin{eqnarray*} \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}} \end{eqnarray*}$
was dann ganz einfach mit einer quadratischen Gleichung gelöst werden kann. Dafür spricht auch die Vermutung von Sheli. Denn das gibt wirklich zwei Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.11.2005, 18:21

Sheli

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Ja, das Problem wie gesagt ist, dass ich das schon Di abgeben muss. Und die anderen sind auch alle ziemlich planlos. Unser Tutor hatte in den Übungen auch nichts gesagt, dass da ein Fehler ist....
Aber ich kann mir ehrlich gesagt auch nicht vorstellen, dass wir diese Folge auf konvergenz untersuchen sollen, nachedem Leopold den wirklichen Grenzwert geschrieben hat....also wird es sich wohl um einen Tippfehler handeln.

Und dem Grenzwert 2 hab ich tatsächlich so berechnet wie oben, wie Frooke das eben aufgeschrieben hat.

Dann sollte man sich wirklich die Folge $\begin{eqnarray*} a_{n+1}:= \sqrt{2+a_n} \end{eqnarray*}$ vornehmen....
Aber auch da weiss ich nicht wies geht. Beschränktheit und monotonie zeigen? Geht das?

20.11.2005, 18:55

AD

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(1) Weise zuerst $\begin{eqnarray*} a_n<2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nach.
(2) Mit (1) gelingt dann auch der Nachweis der Monotonie $\begin{eqnarray*} a_n<a_{n+1} \end{eqnarray*}$ .

20.11.2005, 19:41

Frooke

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Und letztendlich kannst Du dann die quadratische Gleichung finden, indem Du

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} a_{n+1} \end{eqnarray*}$
ausnutzt. Gibt eine hübsche quadratische Gleichung smile

smile

20.11.2005, 20:30

Sheli

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Kann ich das mit Induktion machen?
Induktionsanfang: $\begin{eqnarray*} a_0 = \sqrt2 <2 \end{eqnarray*}$ ist richtig.
Annahme: $\begin{eqnarray*} a_n<2 \end{eqnarray*}$ für alle n aus N
Induktionsschuss: $\begin{eqnarray*} a_{n+1}= \sqrt{2+a_n} < 2 \end{eqnarray*}$ ist auch erfüllt, da $\begin{eqnarray*} (\sqrt{2+a_n} < 2)^2 \end{eqnarray*}$ <=> $\begin{eqnarray*} 2+a_n<4 \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} a_n<2 \end{eqnarray*}$ und damit wär es doch gezeigt. Oder hab ich da nen Fehler?

20.11.2005, 20:40

AD

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Die Schreibweise

Zitat:

Original von Sheli
$\begin{eqnarray*} (\sqrt{2+a_n} < 2)^2 \end{eqnarray*}$

ist schon sehr gewöhnungsbedürftig, aber du meinst zumindest das richtige. In einem "ordentlichen" Beweis solltest du das aber nicht so schreiben.

20.11.2005, 21:14

Sheli

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Huh, da hab ich wohl was neues erfunden :-)
Aber sonst stimmts? Das freut mich.
Monotonie hab ich jetzt auch durch Induktion bewiesen:
Induktionsanfang: $\begin{eqnarray*} a_0= \sqrt2< \sqrt{2+\sqrt2}=a_1 \end{eqnarray*}$ stimmt
Annahme: $\begin{eqnarray*} a_n<a_{n+1} \end{eqnarray*}$
Induktionsschluss: $\begin{eqnarray*} a_{n+1}<a_{n+2} \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} \sqrt{2+a_{n+1}} < \sqrt{2+ \sqrt{2+a_{n+1}}} \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} 2+a_{n+1}<2+ \sqrt{2+a_{n+1}} \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} a_{n+1}< \sqrt{2+a_{n+1}} \end{eqnarray*}$
und das stimmt dann ja auch. Reicht es, wenn ich so schreiebe?

Und dann hätte man ja die Beschränktheit und Monotonie bewiesen und somit gezeigt, dass die Folge überhaupt konvergiert.

20.11.2005, 21:20

AD

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Zitat:

Original von Sheli
=> $\begin{eqnarray*} \sqrt{2+a_{n+1}} < \sqrt{2+ \sqrt{2+a_{n+1}}} \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} 2+a_{n+1}<2+ \sqrt{2+a_{n+1}} \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} a_{n+1}< \sqrt{2+a_{n+1}} \end{eqnarray*}$

Hier sind dir wohl sämtliche Indizes falscherweise um 1 nach oben gerutscht!

Fang mit den Zeilen

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} &<& a_{n+2}\\ \Leftrightarrow\quad \sqrt{2+a_n} &<& \sqrt{2+a_{n+1}} \end{eqnarray*}$

an!

20.11.2005, 21:33

Sheli

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$\begin{eqnarray*} a_{n+1} &<& a_{n+2}\\ \Leftrightarrow\quad \sqrt{2+a_n} &<& \sqrt{2+a_{n+1}} \end{eqnarray*}$
<=> $\begin{eqnarray*} 2+a_n<2+a_{n+1} \end{eqnarray*}$
<=> $\begin{eqnarray*} a_n<a_{n+1} \end{eqnarray*}$
jetzt aber.

20.11.2005, 21:36

AD

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Jepp - ist auch kürzer und klarer.

20.11.2005, 21:38

Mathespezialschüler

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Warum denn nicht gleich in einer Ungleichungskette? Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}<\sqrt{2+a_{n+1}}=a_{n+2} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

20.11.2005, 21:50

Sheli

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Eine Frage der Eleganz :-)
Aber noch eine letzte Frage. Ich muss ja zunächst begründen warum ich denke, dass 2 der Grenzwert ist. Und das kann ich ja nicht machen, indem ich sage, dass ich mir einfach die ersten Folgeglieder angeschaut habe. Das muss man irgendwie anders begründen, nur weiss ich nicht wirklich wie. verwirrt

verwirrt

20.11.2005, 21:54

AD

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Siehe

Zitat:

Original von Frooke
Und letztendlich kannst Du dann die quadratische Gleichung finden, indem Du

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Wenn du weißt, dass es überhaupt einen Grenzwert gibt, dann kannst du ihn über diese Gleichheit ausrechnen! Dabei nutzt du die Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} x\to \sqrt{2+x} \end{eqnarray*}$ .

20.11.2005, 21:55

sdauth

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hat frooke in post #3 auf dieser seite schon geschrieben.

Zitat:

Original von Frooke
Und letztendlich kannst Du dann die quadratische Gleichung finden, indem Du

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} a_{n+1} \end{eqnarray*}$
ausnutzt. Gibt eine hübsche quadratische Gleichung smile

smile

20.11.2005, 22:31

Sheli

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irgendwie bin ich ein wenig verwirrt. wie kommt man auf diese quadratische gleichung?
man schreibt ja auf $\begin{eqnarray*} lim \sqrt{2+a_{n-1}}=lim \sqrt{2+a_n} \end{eqnarray*}$
aber wie bringt mich das weiter? Soll ich dann $\begin{eqnarray*} lim \sqrt{2+a_{n-1}}-lim \sqrt{2+a_n}=0 \end{eqnarray*}$ schreiben und das dann weiter umformen?
Bin ein wenig ratlos um ehrlich zu sein

20.11.2005, 22:53

AD

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Eigentlich war es so gemeint:

Wenn der Grenzwert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist, dann folgt

$\begin{eqnarray*} a = \lim\limits_{n \to \infty} a_n = \lim\limits_{n \to \infty} a_{n+1} = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt{2+a_n} = \sqrt{2+\lim\limits_{n \to \infty} a_n} = \sqrt{2+a} \end{eqnarray*}$ .

Bei der vorletzten Gleichheit wird die Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} x \to \sqrt{2+x} \end{eqnarray*}$ genutzt.

20.11.2005, 23:08

Sheli

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Ok, jetzt versteh ichs. Vielen Dank euch allen für die Hilfe!! Ich hätte sonst wirklich noch Tagelang mit dieser Aufgabe verbracht Tanzen

Tanzen

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