abelsche und nicht-isomorphe Gruppen

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Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »
abelsche und nicht-isomorphe Gruppen
Guten Abend,

kann mir bitte jemand etwas auf die Sprünge bei den folgenden zwei Aussagen, die ich zu zeigen habe, helfen:

1) Jede Gruppe der Ordnung 4 ist abelsch
2) Es gibt genau zwei nicht-isomorphe Gruppen der Ordnung 4


Wie gehe ich denn hier genau vor?

zu 1) Ordnung 4 heißt , abelsch heißt: Aber mehr sagt mir die erste Aussage erstmal nicht.

Vielen Dank für euere Hilfe
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

eine Gruppe der Ordnung 4 kennst du wohl schon, nämlich . Die andere ist die Kleinsche Vierergruppe . Eine Möglichkeit, die beiden Aufgaben zu lösen, wäre das Konstruieren der möglichen Gruppentafeln.
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ja die beiden von dir genannten Beispiele keinne ich bereits, aber der Begriff Gruppentafel ist mir bisher noch nicht untergekommen, aber du meinst wahrscheilnich so eine Tafel wo ich links die Elemente 0,1,2,3 und oben die Elemente 0,1,2,3 habe und dann mal alles addiere und jeweils sehe was herauskommt! Oder verstehe ich das falsch? Also grundsätzlich würde man ja sofort sehen das die Gruppe abelsch ist, habe das schon im Kopf, danke.

Aber wie soll das bei 2) funktionieren?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der Konstruktion der Gruppentafeln kannst du leicht zeigen, dass nur genau diese beiden Fälle möglich sind. Dass diese nichtisomorph sind, ergibt sich ebenfalls aus der Gruppentafel (betrachte die Hauptdiagonale).
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Grund für die nicht-isomorphen Gruppen der Ordnung 4 ist also, dass auf der Diagonalen nacheinander 0,2,0,2 steht.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, was du mit 0 und 2 bezeichnest, aber in der kleinschen Vierergruppe ist jedes Element selbstinvers, d.h. für alle .
 
 
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe von
. geredet. Denn da gilt ja:



Hoffe das stimmt!
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, natürlich (es genügt übrigens schon ein von Null verschiedener Eintrag auf der Hauptdiagonale).
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Unsicherheit rührt da her, dass ich nicht wirklich weiß was eine nicht-isomorphe Gruppe ist! Ich kenne den Begriff Isomorphismus, wenn Bsp. eine bijektive Abbildung ist, oder auch aus der linearen Algebra, wo z.b. der Raum der Matrizen isomorph zu dem Raum der linearen Abbildungen ist. Aber was ist eine isomorphe bzw. nichtisomorphe Gruppe? Definition habe ich leider keine dafür.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zwei Gruppen heißen isomorph, wenn es einen Gruppenisomorphismus zwischen ihnen gibt Augenzwinkern

Konkret bedeutet das, dass die Gruppen strukturgleich sind. Übrigens lässt sich die Aufgabe verallgemeinern: Gruppe mit Ordnung p^2 abelsch
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, gar nicht so schwer Augenzwinkern

Aber offensichtlich habe ich den Kern jetzt noch nicht erfasst, zum einen verstehe ich die Tafeln und habe auch verstanden dass die von mir genannte Gruppe abelsch ist, denn es gilt ja:



auch die andere Tatsache mit der Diagonalen habe ich soweit verstanden, aber warum sagt das aus, dass es genau zwei-nichtisomorphe Gruppen der Ordnung 4 gibt! Stehe auf dem Schlauch
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Das hast du auch noch nicht gezeigt. Das ergibt sich, indem man bei der Konstruktion der Gruppentafel (zu dem Zeitpunkt kennt man die beiden Gruppen noch nicht!) geschickt mit den Gruppenaxiomen argumentiert, vgl. z.B. Lineare Algebra von Gerd Fischer (wenn ich mich recht entsinne).
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, dass werde ich mir mal in der Bibliothek ansehen. Danke dir schonmal soweit. Falls mir noch was einfällt poste ich es nochmal die Tage
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst dir auch mal hier die Musterlösung von Blatt 1 anschauen (dort war ich Tutor).
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Hi therisen,

ich habe mir mal das Blatt angesehen und habe es auch verstanden, aber jetzt hänge ich nach wie vor noch an dieser Teilaufgabe b) wo es heißt das es genau zwei nicht-isomorphe Gruppen der Ordnung 4 gibt. Wenn man sich beide möglichen Gruppentafeln anguckt, fällt ja auf, dass bei der einen auf der Hauptdiagonalen nur das neutrale Element steht und bei der anderen auch 0,b,0,b z.b.
Ich denke mal damit hat es zu tun, aber wie argumentiert man da am geschicktesten?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Isomorphe Gruppen verhalten sich strukturell gesehen gleich. Im Falle endlicher Gruppen kann man sagen: Benennt man die Elemente der einen Gruppe geeignet um, so erhält man die exakt gleiche Gruppentafel. Formal kannst du wie folgt argumentieren: Angenommen, sei ein Gruppenisomorphismus der beiden Gruppen. Dann gilt , aber für .
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