Faktorisierung

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kati Auf diesen Beitrag antworten »
Faktorisierung
Vielleicht hat jemand eine Idee, wie man die folgenden beiden Polynome in irreduzible Faktoren zerlegen kann:



und



Bei meinen restlichen Aufgaben hat man es entweder "gesehen" oder durch kurzes Probieren herausbekommen. Aber bei diesen beiden fällt mir nichts ein. Die sind doch nicht etwa irreduzibel?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Keines von beiden ist zerlegbar.
Tipp zur Verifikation: Bestimme die Nullstellen mittels CAS oder plotte die zugehörigen Funktionen.

mY+

AD Auf diesen Beitrag antworten »

Das reicht noch nicht als Beweis - selbst bei fehlenden Linearfaktoren aus könnte das erste Polynom ein Produkt von einem quadratischen sowie einem kubischen Polynom aus sein - genauso das zweite Polynom ein Produkt zweier solcher quadratischen Polynome.

Hmm, außer systematischen Probieren kenne ich kaum Methoden zur Überprüfung der Irreduzibilität von Polynomen des Grades . Das Irreduzibilitätskriterium von Eisenstein zumindest scheint hier nicht so recht anwendbar. verwirrt
kati Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

mit den Nullstellen kann ich ja nur zeigen, dass keine Linearfaktoren enstehen. Als Irreduzibilitätskriterium fällt mir konkret nur das Eisensteinkriterium ein, was auf beide aber nicht anwendbar ist (daher dachte ich auch, dass es doch zerfällt).
kati Auf diesen Beitrag antworten »

Ups, da war ich zu langsam. Hatte mir zwischenzeitlich noch maxima installiert um zu sehen, ob es vielleicht doch zerfällt Augenzwinkern
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

es genügt zu zeigen, dass in irreduzibel ist.


Gruß, therisen
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Das reicht noch nicht als Beweis - selbst bei fehlenden Linearfaktoren aus könnte das erste Polynom ein Produkt von einem quadratischen sowie einem kubischen Polynom aus sein - genauso das zweite Polynom ein Produkt zweier solcher quadratischen Polynome.
...


Ahh, das hab' ich nicht bedacht. Von den Lösungen ausgehend, könnte man versuchen, die in Frage kommenden Polynome wieder aufzubauen, vielleicht ein eher mühsamer Vorgang, wegen der zahlreichen Kombinationsmöglichkeiten ...

mY+
kati Auf diesen Beitrag antworten »

Bei könnte man aber auch ein Gleichungssytem aufstellen, oder.
Also es kann nicht in Linearfaktoren zerfallen, daher sei



und kommt etwa auf und , was widerspricht (wenn ich mich nicht verrechnet habe).
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Methode mit dem Gleichungssystem (Koeffizientenvergleich) finde ich recht gut. Das hätte mir eigentlich auch einfallen können/sollen Big Laugh

mY+
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kati
Also es kann nicht in Linearfaktoren zerfallen, daher sei


Genau das meinte ich oben mit "systematischen Probieren", so einen Ansatz verfolgen. Aber die Idee von therisen ist eleganter, hab jetzt allerdings noch nicht geschaut, ob die auch für das andere Polynom 5.Grades greift. Augenzwinkern
kati Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nochmal smile

Ich wollte nochmal nachfragen, wie das genau mit dem Argument der Irreduzibilität über funktioniert, also was die theoretischen Grundlagen sind.

Könnte ich dann auch das andere Polynom vom Grad 5 über betrachten? Das zerfällt dann in . Könnte man dann folgern, dass das Polynom über entweder irreduzibel ist, oder ein Linearfaktor wegdividiert werden kann. Da die Nullstelle aber nicht aus kommt, ist es irreduzibel.
(Das ist jetzt aber (aus meiner Sicht) weit hergeholt, weil mir gar nicht klar ist, weshalb man das Polynom über betrachten kann...)

Wäre super, wenn noch kurz jemand etwas dazu sagen könnte. Schonmal danke!
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt reduzibel => reduzibel. Mit anderen Worten: Ist irreduzibel, so auch .

Die Umkehrung gilt (natürlich) nicht.
kati Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo.

Also am Beispiel hätte man dann und damit irreduzibel?

Kann man das Verfahren auch mehrfach nacheinander anwenden? Z.B. beim anderen Polynom 5-ten Grades zunächst und das entstandene Polynom dann in betrachten?

Tut mir leid falls ich dumm frage, aber ich muss mich erst noch richtig einarbeiten. Der eigentliche Hintergrund ist ja das Gauß-Lemma bzw. der Inhalt von Polynomen wenn ich nicht irre.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kati
Also am Beispiel hätte man dann und damit irreduzibel?


Nein, das darf man nicht. Nur, weil zwei Polynome die gleichen Werte haben, müssen sie nicht gleich sein (und darauf kommt es an). Zum Beispiel liefern und die Nullfunktion die gleichen Werte, wenn man für X Werte aus einsetzt. Anderes Beispiel: ist reduzibel, aber wenn du (modulo 3) durch ersetzt, entsteht ein über irreduzibles Polynom. Du darfst nur die Koeffizienten reduzieren (modulo einer Primzahl).

Zitat:
Original von kati
Kann man das Verfahren auch mehrfach nacheinander anwenden? Z.B. beim anderen Polynom 5-ten Grades zunächst und das entstandene Polynom dann in betrachten?


Nein, auch das geht nicht.

Zitat:
Original von kati
Tut mir leid falls ich dumm frage, aber ich muss mich erst noch richtig einarbeiten. Der eigentliche Hintergrund ist ja das Gauß-Lemma bzw. der Inhalt von Polynomen wenn ich nicht irre.


Du brauchst dich nicht für deine Fragen zu entschuldigen. Hauptsache du lernst hier etwas.
kati Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ja, das ist alles einleuchtend was du schreibst. Aber wie zeigt man denn dann, dass in irreduzibel ist? Also, warum reduziert man dann überhaupt? Man hat doch noch immer das selbst Problem wie in Q[X]?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Weil es in weniger Koeffizienten gibt. Du hast höchstens 4 Wahlmöglichkeiten für die Koeffizienten bei einer Zerlegung mit . Offensichtlich funktioniert keine. Da braucht man gar nicht großartig zu rechnen.
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