Beweis: metrischer Raum

24.11.2005, 17:13	Kerstin_1	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: metrischer Raum Hallo, ich habe ein Problem mit folgender Aufgabenstellung: Sei $\begin{eqnarray} (X, \|\cdot\|) \end{eqnarray}$ ein normierter Raum. Zeige, daß $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \forall_{x,y \in X} d(x,y) := \|y-x\| \end{eqnarray}$ auch ein metrischer Raum ist. Definitheit und Symmetrie sind klar. Beim Zeigen der Dreiecksungleichung hakt es. Die lautet ja: $\begin{eqnarray} d(x,y) + d(y,z) \geq d(x,z) \end{eqnarray}$ . Mein erster Gedanke war, einfach $\begin{eqnarray} \|y-x\| \end{eqnarray}$ einzusetzen, quadrieren und mit der Schwarzschen Ungleichung die Dreiecksungleichung zu beweisen. Aber das führt ja nicht zum Ziel. Würde mich über einen Hinweis freuen. Schöne Grüße, Kerstin
24.11.2005, 17:46	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Benutze \|a+b\| <= \|a\|+\|b\| Edit : Das gilt nämlich in (X, \|.\|)
24.11.2005, 18:07	Kerstin_1	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo irre.flexiv, wie meinst du das? Das ist doch wieder nur die Dreiecksungleichung. (Entschuldige bitte falls ich auf der Leitung stehe). Schöne Grüße, Kerstin
24.11.2005, 18:39	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Macht nix *g (x,\|.\|) ist doch ein normierter Raum. Darum gilt auch \|a+b\| <= \|a\|+\|b\|. (siehe Definition eines normierten Raumes)
24.11.2005, 19:26	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, das muss man einfach mal gesehen haben, wie das geht und dann merkt man sich sowas: $\begin{eqnarray} \|x-y\|=\|(x-z)+(z-y)\|\leq\ldots \end{eqnarray}$ . Gruß MSS
24.11.2005, 19:49	Kerstin_1	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ja aber das ist doch kein Beweis wenn ich die Definition der Metrik garnicht verwende? Du sagst ja nur, daß jeder normierte Raum mit einer Metrik d ein metrischer Raum ist ohne das für die gegebene Metrik zu belegen? Schöne Grüße, Kerstin
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24.11.2005, 19:51	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso? Du musst beweisen, dass $\begin{eqnarray} d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y) \end{eqnarray}$ ist, was für die gegebene Metrik einfach $\begin{eqnarray} \|x-y\|\leq \|x-z\|+\|z-y\| \end{eqnarray}$ ist und das beweist du mit dem Tipp von mir. Gruß MSS
24.11.2005, 19:58	Kerstin_1	Auf diesen Beitrag antworten »
@Mathespezialschüler: Sorry, die Antwort war an irre.flexiv gerichtet. Isch hab keine Ahnung warum die so spät erschienen ist - unser Internet ist heute den ganzen Tag schon so komisch träge... Aber vielen Dank für deinen Tip - jetzt ist mir das klar. Schönen Gruß, Kerstin
25.11.2005, 19:01	Casandra	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, hätte auch noch ne Frage dazu. Wieso muss es eigentlich ein normierter Raum sein, damit dass eine Metrik ist? Gilt es sonst nicht?
25.11.2005, 19:04	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
@Casandra Was meinst du denn mit "sonst"? Schreib das mal bitte auf. Dass das ein normierter Raum ist, ist doch hier eine essentielle Voraussetzung. Gruß MSS
25.11.2005, 20:03	Casandra	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, entschuldige, ich glaube ich hab da was verwechselt. Dachte es geht um den Betrag von x-y.

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