Integration durch Substitution

15.04.2004, 15:21

Wind

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Integration durch Substitution

Das Integral hat die Grenzen 1 und 2 (oben 2, unten 1)

Die Gleichung lautet $\begin{align*} (x-1) / x^2-2x-3 \end{align*}$ dx

Wie rechne ich das aus mit Substitution? Ich bräuchte den gesamten Rechenvorgang, damit ich auch sehe, wie die Rücksubstitution geht.

Danke

15.04.2004, 15:40

BraiNFrosT

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Hi.

Du ersetzt den Nenner

u = x² - 2x -3

dann ist du/dx = 2x - 2
= 2 ( x-1 )

dx = du / 2 ( x -1 )

Das eingesetzt in dein Integral ergibt

$\begin{align*} \Bigint_{1}^2~\frac{x-1}{u} ~ \frac{du}{2(x-1)} \end{align*}$

daraus kannst du kürzen

dann steht da noch

$\begin{align*} \Bigint_{1}^2~\frac{1}{2*u} ~du \end{align*}$

Jetzt noch integrieren ( ln ....) und die Grenzen einsetzen.

MfG Brainfrost

15.04.2004, 16:07

Wind

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Hi,

danke, muss ich Rücksubstitieren? Oder kann ich das Ergebnis einfach so lassen?

15.04.2004, 17:48

BraiNFrosT

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Du musst vor allem erstmal integrieren smile

smile

Das wäre dann $\begin{align*} \[0,5*ln(u)\]_{1}^2 \end{align*}$

dann kannst du für u wieder x²-2x-3 einsetzen

Allerdings müsste das wohl in Betragsstriche

also $\begin{align*} \[0,5*ln(|x^2-2x-3|)\]_{1}^2 \end{align*}$

So müsste es richtig sein
MfG
Wink

Wink

Brainfrost

27.04.2004, 16:13

Wind

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Ist das Ergebnis 0,396?

27.04.2004, 17:25

Leopold

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Integration durch Substitution
Nein, das Ergebnis ist -0,144 (auf 0,001 genau).
Aber ich möchte euch auf einen Fehler aufmerksam machen. Zwar stimmt das Endergebnis bei BraiNFrosT, aber zwischendrin ist es falsch.

Man hat zwei Möglichkeiten:
Entweder man integriert unbestimmt (also ohne Grenzen), d.h. man bestimmt eine Stammfunktion F(x) des Integranden. Mit dieser Stammfunktion kann man dann mittels F(b)-F(a) das bestimmte Integral mit unterer Grenze a und oberer Grenze b berechnen.
Oder man integriert gleich bestimmt. Dann muß man aber auch beim Substituieren die Grenzen anpassen.

Ich gehe einmal den zweiten Weg:
BraiNFrosT hat völlig korrekt u = x²-2x-3, dx = du/(2(x-1)) substituiert. Beim Umrechnen von x auf u muß man jetzt aber auch die x-Grenzen in u-Grenzen umrechnen!
x=1 (untere Grenze) entspricht u = 1²-2·1-3 = -4
x=2 (obere Grenze) entspricht u = 2²-2·2-3 = -3

Also geht die korrekte Rechnung so:

$\begin{align*} \Bigint_{1}^2~\frac{x-1}{x^2-2x-3}~\ dx \ =\ \frac{1}{2} \ \Bigint_{-4}^{-3}~\frac{du}{u}~ \ =\ \frac{1}{2} \ \[ln|u|\]_{-4}^{-3} \ =\ \frac{1}{2} \ (ln3 - ln 4) \ =\ -0,1438... \end{align*}$

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27.04.2004, 21:05

BraiNFrosT

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Danke Leopold.
Das habe ich vollkommen übersehen.
Allerdings kann ich doch nach der Rücksubstitution wieder meine
"richtigen" Grenzen verwenden, oder ?

MfG Brainfrost

28.04.2004, 00:13

Ben Sisko

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Zitat:

Original von BraiNFrosT
Allerdings kann ich doch nach der Rücksubstitution wieder meine
"richtigen" Grenzen verwenden, oder ?

Ja

Augenzwinkern

Gruß vom Ben

29.04.2004, 07:37

Wind

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Moment...

Wie kommst du auf dieses Ergebnis?

Ich hab nochmal nachgeschaut...ist bei den negativen Grenzen es überhaupt möglich den Logarithmus auszurechnen? Und wenn ja, dann erkläre mir bitte, wie du das in dein Taschenrechner eingegeben hast?
Danke

29.04.2004, 08:29

SirJective

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Die negativen Grenzen machen der Formel keine Probleme: Dafür berechnest du ja den Logarithmus vom Betrag des Arguments! Und das machst du nicht nur, weil's schöner zu rechnen ist, sondern weil's die richtige Formel ist.
Allerdings musst du z.B. bei
$\begin{align*} \bigint_{-1}^1 \frac{1}{x} dx \end{align*}$
wissen, was du willst. Die Stammfunktion ln(|x|) liefert die 0 als Integral, jedoch musst du beachten, dass der Integrationsbereich [-1, 1] die Polstelle von 1/x enthält. Die Berechnung mit der Stammfunktion geht davon aus, dass sich die beiden unendlichen Teilflächen gegebenseitig aufheben, das ist jedoch nicht immer, was man will. Strenggenommen existiert dieses Integral nicht (jedenfalls weder nach Riemann noch nach Lebesgue).

Gruss,
SirJective

29.04.2004, 09:10

Wind

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Ich versteh kein Wort. verwirrt

verwirrt

Morgen schreib ich die Abiklausur und ich versteh nichts - das wird furchtbar traurig

traurig

12.05.2006, 23:32

gessi

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Ich hol einfach mal dieses Thema hoch, statt ein neues zum selben Thema anzulegen... hoffe, das ist ok.

Dank einem obigen Beitrag weiß ich jetzt zumindest, wie man die Grenzen anpasst.
Darf man immer substituieren, wie man will? Wir hatten nur eine Substitutionsregel, wo man brauchte, dass man den Integranden irgendwie auf f(u(x))*f'(x) bringen kann.

Und wie macht man das bei unbestimmten Integralen? Da kann ich ja die Grenzen nicht anpassen. Ich habe z.B.
$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{x+x*ln(x)}~dx \end{eqnarray*}$
Durch u = ln(x) komme ich auf die Stammfunktion arctan(u).
Kann ich jetzt einfach schreiben arctan(ln(u)) und das ist die Stammfunktion? Kommt mir komisch vor verwirrt

verwirrt

13.05.2006, 02:10

Calvin

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Zitat:

Original von gessi

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{x+x*ln(x)}~dx \end{eqnarray*}$
Durch u = ln(x) komme ich auf die Stammfunktion arctan(u).
Kann ich jetzt einfach schreiben arctan(ln(u)) und das ist die Stammfunktion? Kommt mir komisch vor verwirrt

verwirrt

Mal abgesehen davon, dass dein Ergebnis falsch ist, kannst du das so schreiben. Wenn du keine Grenzen hast, dann kannst du die natürlich auch nicht mitsubstituieren.

Und nochwas: es gibt nicht die Stammfunktion, sondern unendlich viele. Deshalb muss noch +c hintendran.

Und zum Ergebnis: wie sieht denn dein Integral nach der Substitution aus?

13.05.2006, 07:34

Leopold

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Zitat:

Original von Calvin
Und nochwas: es gibt nicht die Stammfunktion, sondern unendlich viele. Deshalb muss noch +c hintendran.

(keine farbliche Hervorhebung im Original)

Dem ersten Teil stimme ich zu, dem zweiten nicht.

Nach allgemeiner Auffassung fungiert ein Parameter (hier: c) wie eine, wenn auch unbenannte Konstante. Also auch wer dahinter noch ein +c schreibt, sucht sich unter den unendlich vielen Stammfunktionen genau eine aus, auch wenn er nicht ganz so konkret ist wie einer, der kein +c dahinterschreibt. Da also dieses +c die Sache mit dem unbestimmten Integral keineswegs besser macht, sondern, weil dem oberflächlichen Betrachter eine Korrektheit suggeriert wird, die gar nicht gegeben ist, eher schlimmer - weil das also so ist, kann man das +c auch gleich ganz weglassen. Man muß sich eben damit abfinden, daß der Gebrauch des Gleichheitszeichens bei unbestimmten Integralen, historisch bedingt, nicht der übiche ist. Hier bedeutet Gleichheit so viel wie "Gleichheit modulo einer additiven Konstanten". Aus

$\begin{eqnarray*} \int~f(x)~\mathrm{d}x = F_1(x) \ \ \text{und} \ \ \int~f(x)~\mathrm{d}x = F_2(x) \end{eqnarray*}$

folgt daher nicht $\begin{eqnarray*} F_1(x) = F_2(x) \end{eqnarray*}$ , sondern nur:

$\begin{eqnarray*} \text{Es gibt eine Konstante C} \ \in \mathbb{R} \ \text{mit} \ \ F_2(x) = F_1(x) + C \ \text{.} \end{eqnarray*}$

13.05.2006, 12:12

gessi

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Ups, hab mich bei der Funktion verschrieben...

Es heißt (ln(x))^2. Stimmt die Stammfunktion dann?
Ich glaubs irgendwie nicht, weil ich Grenzen genommen und das ganze mit dem GTR ausgerechnet habe - einmal die Originalfunktion, einmal arctan(u) mit angepassten Grenzen und einmal arctan(ln(u)) mit Originalgrenzen und jedesmal kam was anderes raus verwirrt

verwirrt

Ich weiß aber, dass auch andere arctan(u) als Stammfunktion raushaben.

Ich weiß übrigens schon, dass es unendlich viele Stammfunktionen gibt Augenzwinkern

Augenzwinkern

- aber wir scheiben das nicht jedesmal hin, so wie Leopold auch gesagt hat.

13.05.2006, 12:23

Calvin

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@Leopold

So habe ich das noch gar nicht gesehen. Klingt aber einleuchtend. Werde ich mir für die Zukunft so merken smile

smile

@gessi

Zitat:

Es heißt (ln(x))^2. Stimmt die Stammfunktion dann?

Nein, das ist auch nicht richtig. Das kannst du nachprüfen, indem du es wieder ableitest. Deshalb nochmal die Frage, wie dein Integral nach der Substitution aussieht? Richtig wäre $\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{1+u}\,dx \end{eqnarray*}$ . Mit der von dir gewählten Substitution u=ln(x) kommst du da hin.

13.05.2006, 12:46

gessi

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Na gut, schreibe ich meine Rechnung mal her:

Ich habe $\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{x+x*ln^{2}}dx \end{eqnarray*}$ .

Dann setze ich u = ln(x).
Außerdem habe ich $\begin{eqnarray*} u'= \frac{du}{dx} = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt dx =x*du.
Eingesetzt ergibt das $\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{x+x*u^{2}}*x*du \end{eqnarray*}$ . Das x fliegt raus, es bleibt also $\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{1+u^{2}}du \end{eqnarray*}$ .
Ich dachte, das ergäbe "aufgeleitet" arctan.

13.05.2006, 12:48

Calvin

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Na da haben wir ja den Fehler Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{x+x*ln(x)}~dx \end{eqnarray*}$
Durch u = ln(x) komme ich auf die Stammfunktion arctan(u).
Kann ich jetzt einfach schreiben arctan(ln(u)) und das ist die Stammfunktion? Kommt mir komisch vor verwirrt

verwirrt

Das ist falsch. ABER

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{x+x*(\ln x)^2}~dx \end{eqnarray*}$
Durch u = ln(x) komme ich auf die Stammfunktion arctan(u).
Kann ich jetzt einfach schreiben arctan(ln(u)) und das ist die Stammfunktion? Kommt mir komisch vor verwirrt

verwirrt

Das ist richtig. In deinem ersten Posting hast du das Quadrat beim ln vergessen.

13.05.2006, 13:05

gessi

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Hab mich wohl unklar ausgedrückt...

Mit "Ups, hab mich bei der Funktion verschrieben... Es heißt (ln(x))^2. Stimmt die Stammfunktion dann?" meinte ich, dass das Quadrat in der Funktion fehlt.

Aber wieso bringt mir der GTR dann lauter verschiedene Ergebnisse. Hab als Grenzen 2 und 3 bzw. bzw. ln(2) und ln(3) genommen und komme einmal auf 0,226 und einmal auf 12,9.
Es wäre doch arctan(ln(3))-arctan(ln(2)), oder?
Aber mit dem math9 (fnint) und der Originalfunktion kommt halt was anderes raus.
Oder darf ich das so nicht überprüfen?

13.05.2006, 13:19

Calvin

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Zitat:

Original von gessi
Hab mich wohl unklar ausgedrückt...

Mit "Ups, hab mich bei der Funktion verschrieben... Es heißt (ln(x))^2. Stimmt die Stammfunktion dann?" meinte ich, dass das Quadrat in der Funktion fehlt.

Ups, das habe ich übersehen Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Aber wieso bringt mir der GTR dann lauter verschiedene Ergebnisse. Hab als Grenzen 2 und 3 bzw. bzw. ln(2) und ln(3) genommen und komme einmal auf 0,226 und einmal auf 12,9.
Es wäre doch arctan(ln(3))-arctan(ln(2)), oder?
Aber mit dem math9 (fnint) und der Originalfunktion kommt halt was anderes raus.
Oder darf ich das so nicht überprüfen?

Da verstehe ich nicht, was du gemacht hast. Natürlich kriegst du verschiedene Ergebnisse, wenn du verschiedene Grenzen einsetzt. Es ist (im Gradmaß) $\begin{eqnarray*} \int_2^3~\frac{1}{x+x(\ln x)^2}\,dx=\arctan{(\ln 3)}-\arctan{(\ln 2)}\approx 12{,}96 \end{eqnarray*}$

Und wie kommst du auf die 0,226?

13.05.2006, 13:40

gessi

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Ich habe im normalen Menü beim GTR, wo man die Funktion eingeben und ihr Integral berechnen kann, die Originalfunktion mit den Grenzen 2 und 3 eingegeben. Da kam dieses 0,226 raus.

Und es müsste doch gelten $\begin{eqnarray*} \int_{2}^{3}~\frac{1}{x+x*ln^{2}(x)}dx = arctan(ln(3))-arctan(ln(2)) \end{eqnarray*}$ , oder?

13.05.2006, 13:49

Calvin

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Man kann den arctan im Gradmaß und im Bogenmaß ausrechnen. 0,226 das Ergebnis im Bogenmaß, 12,96 im Gradmaß. Es gilt der Zusammenhang $\begin{eqnarray*} 12{,}96=0{,}226\cdot\frac{180}{\pi} \end{eqnarray*}$

Ich behaupte mal, dass in Analysis Winkel im Bogenmaß üblicher sind. Du solltest dich also mal damit befassen, wie du den Taschenrechner umstellst.

13.05.2006, 13:56

gessi

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Jetzt stimmt es!!!
Hab gar nicht dran gedacht, dass der auf degree stehen könnte... (ich hab ihn fast immer auf radian) Hammer

Hammer

Danke!

Dann mach ich mich mal an die anderen Aufgaben Big Laugh

Big Laugh

Nur noch eine Frage:
Wie ich irgendwo weiter oben geschrieben habe, hatten wir die Substitutionsregel nur, wenn man die Funktion irgendwie auf f(u(x))*u'(x) bringen konnte.
Dass das jetzt immer geht, liegt daran, dass man dieses u'=du/dx macht und dx ersetzt, oder?

13.05.2006, 13:57

Crotaphytus

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Richtig. Prinzipiell kannst du die Substitutionsregel also immer anwenden und alles mit jedem substituieren. Der Trick dabei ist jedoch, was passendes zu finden, so dass das Integral danach einfacher wird.

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