Vektoren - Kräfte, Physik

25.11.2005, 15:59

Ari

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Vektoren - Kräfte, Physik

Hallo

Wink

ich weiß, dass es thematisch hier nicht so herpasst, aber mir geht es darum, eine bestimmte Formel zu beweisen bzw. herzuleiten. es geht im weitesten Sinne um Vektoren (hatten wir noch nicht im unterricht!). Genauer um Kräfteparallelogramme, die pfeile laufen also unter einem bestimmten winkel auseinander. für die resultierende $\begin{eqnarray*} \vec{F}_R \end{eqnarray*}$ ist folgende Formel gegeben:

$\begin{eqnarray*} \vec{F}_R^2=\vec{F}_1^2+\vec{F}_2^2+2\vec{F}_1\vec{F}_2\cdot cos\alpha \end{eqnarray*}$

habe wirklich viel rumprobiert, mir zwei dreiecke gezeichnet (mit F als ganze seite und mit F halbiert durch andere diagonale) aber hab absolut nichts auf die reihe bekommen. was mir auch schwierigkeiten bereitet: trigonometrie. ich habe z.b. die höhe eingezeichnet und für jedes rechtwinklige dreieck gleichgesetzt $\begin{eqnarray*} a^2-d^2=b^2-c^2 \end{eqnarray*}$ (a,b= $\begin{eqnarray*} F_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} F_2 \end{eqnarray*}$ ; d,c - p und q, teile von F_R) konnte daraus aber auch nichts hilfreiches gewinnen. habe wirklich viel rumgerechnet, kann mir jemand bitte helfen???

25.11.2005, 16:06

Gust

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RE: Vektoren - Kräfte, Physik
kuck mal hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Cosinussatz

25.11.2005, 17:00

Ari

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danke für den link, aber da war ich vorher schon. hab mich auch daran orientiert aber komischerweise bekam ich dann

$\begin{eqnarray*} \frac{\vec{F}_r}{2}=F \end{eqnarray*}$
...
$\begin{eqnarray*} F^2=c^2+a^2-2c\cdot a\cdot cos\beta \end{eqnarray*}$
c: andere diagonale des parallelogramms
a: kraft1
beta: teilwinkel von phi (phi=gesamtwinkel zwischen kräften), unterteilt durch höhe

das scheint mir total falsch..

25.11.2005, 20:44

sqrt(2)

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Zunächst einmal solltest du wissen, dass für einen Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \vec{a}^2=|\vec{a}|^2 \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} |\vec{a}| \end{eqnarray*}$ die Länge von $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ bezeichnet.

Die Formel sollte eigentlich

$\begin{eqnarray*} \vec{F}_R^2=\vec{F}_1^2+\vec{F}_2^2-2|\vec{F}_1||\vec{F}_2|\cos\alpha \end{eqnarray*}$

lauten oder alternativ

$\begin{eqnarray*} \vec{F}_R^2=\vec{F}_1^2+\vec{F}_2^2-2\vec{F}_1\vec{F}_2 \end{eqnarray*}$ ,

da für zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \vec{a}\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ der Winkel ist, in dem sie zueinander stehen.

Wenn du die obere der beiden Varianten betrachtest, siehst du, dass du $\begin{eqnarray*} \vec{F}_R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{F}_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{F}_2 \end{eqnarray*}$ wie Seiten eines Dreiecks behandeln kannst. Die Richtung der Vektoren ist irrelevant, es kommt nur auf die Beträge an. Dann läuft die Herleitung genauso wie beim Kosinussatz.

26.11.2005, 05:11

cst

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Try this:

$\begin{eqnarray*} \vec{F_{R}}=\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mid \vec{F_{R}} \mid ^{2} = \vec{F_{R}} \cdot \vec{F_{R}} = (\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}}) \cdot (\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}}) \end{eqnarray*}$

und jetzt die Klammern ausmultiplizieren:

$\begin{eqnarray*} \mid \vec{F_{R}} \mid ^{2} = \vec{F_{1}} \cdot \vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} \cdot \vec{F_{2}} + 2~ \vec{F_{1}} \cdot \vec{F_{2}} = \vec{F_{1}} ^{2} + \vec{F_{2}}^{2} + 2~ \mid\vec{F_{1}}\mid \mid \vec{F_{2}} \mid \cos\alpha \end{eqnarray*}$

w.z.b.w., allerdings mit Pluszeichen. Hmm. verwirrt

verwirrt

26.11.2005, 09:29

MrPSI

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ja, weil der Anfang nämlich so lautet: $\begin{eqnarray*} \vec{F_R}=\vec{F_1}-\vec{F_2} \end{eqnarray*}$

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26.11.2005, 11:59

cst

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Aber addieren sich $\begin{eqnarray*} \vec{F_{1}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{F_{2}} \end{eqnarray*}$ nicht zu Resultierenden?

26.11.2005, 12:07

MrPSI

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ne, denn $\begin{eqnarray*} \vec{F_1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{F_2} \end{eqnarray*}$ schließen zusammen einen Winkel ein und die Resultierende $\begin{eqnarray*} \vec{F_R} \end{eqnarray*}$ ist ein Vektor, der von der einen Pfeilspitze zu anderen wandert. und diese Resultierende erreicht man nicht durch Addition.

26.11.2005, 12:38

cst

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Na, imho ist das so genau richtig, bis auf die Tatsache, daß man Fr eben _doch_ durch vektorielle Addition bekommt (siehe Skizze).

Aber ich glaub, ich kann den Widerspruch so auflösen: Der Innenwinkel des Dreiecks ist nicht $\begin{eqnarray*} \alpha = \angle(\vec{F_{1}};\vec{F_{2}}) \end{eqnarray*}$ , sondern 180 Grad minus alpha und $\begin{eqnarray*} \cos(180- \alpha) = - \cos(\alpha) \end{eqnarray*}$ und das Vorzeichen dreht auf Minus, wie im Kosinussatz gefordert.

Was meinst?

26.11.2005, 12:44

sqrt(2)

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Das ist genau das, was MrPSI gesagt hat.

26.11.2005, 12:44

cst

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Ich hab ne Skizze gemalt (*.jpg). Wie kann ich die eigentlich am einfachsten einfügen?

26.11.2005, 12:58

MrPSI

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wahrscheinlich kannst du die Skizze nicht reinstellen, weil das Bild zu groß ist.

Bilder werden aber mit einem Button beim Erstellen von Beiträgen eingefügt. Der Button ist in der Leiste über dem Textfeld.

26.11.2005, 13:05

cst

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Ich versuch's nochmal mit "Dateinahänge", damit Ari weiß, was wir meinen. Bild sind übrigen ca 5200 Bytes.

26.11.2005, 13:16

MrPSI

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Ich bin von folgender Darstellung ausgegangen:

die Kräfte F2 und F1 greifen beide an einem gemeinsamen Punkt an und zw. ihnen bildet sich der Winkel Alpha. die Resultierende erreicht man dann durch Subtraktion.

Aber ich hab nicht miteinbezogen, dass es sich um Kräfteparallelogramme handelt.

26.11.2005, 14:48

Ari

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tut mir leid, dass ich erst jetzt antworte, aber wir hatten gestern abend einen kleinen stromausfall

versuche mal das nachzuvollziehen...

Zitat:

Try this:
$\begin{eqnarray*} \vec{F_{R}}=\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mid \vec{F_{R}} \mid ^{2} = \vec{F_{R}} \cdot \vec{F_{R}} = (\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}}) \cdot (\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}}) \end{eqnarray*}$
und jetzt die Klammern ausmultiplizieren:
$\begin{eqnarray*} \mid \vec{F_{R}} \mid ^{2} = \vec{F_{1}} \cdot \vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} \cdot \vec{F_{2}} + 2~ \vec{F_{1}} \cdot \vec{F_{2}} = \vec{F_{1}} ^{2} + \vec{F_{2}}^{2} + 2~ \mid\vec{F_{1}}\mid \mid \vec{F_{2}} \mid \cos\alpha \end{eqnarray*}$

okey, das mit dem minus hat sich ja dadurch erledigt?:

Zitat:

Aber ich glaub, ich kann den Widerspruch so auflösen: Der Innenwinkel des Dreiecks ist nicht $\begin{eqnarray*} \alpha = \angle(\vec{F_{1}};\vec{F_{2}}) \end{eqnarray*}$ , sondern 180 Grad minus alpha und $\begin{eqnarray*} \cos(180- \alpha) = - \cos(\alpha) \end{eqnarray*}$ und das Vorzeichen dreht auf Minus, wie im Kosinussatz gefordert.

auf der skizze erkenne ich auch was der winkel alpha ist, aber was hat der mit dem winkel zwischen F_1 und F_2 zu tun?? weil der in meinem buch gemeint ist, winkel zwischen F_1 und F_2 ist phi... verwirrt

verwirrt

tut mir leid aber das verstehe ich nicht ganz

26.11.2005, 14:57

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Ari
okey, das mit dem minus hat sich ja dadurch erledigt?

Nein, denn...

Zitat:

Original von Ari
auf der skizze erkenne ich auch was der winkel alpha ist, aber was hat der mit dem winkel zwischen F_1 und F_2 zu tun?? weil der in meinem buch gemeint ist, winkel zwischen F_1 und F_2 ist phi... verwirrt

verwirrt

Welchen Winkel im Kräfteparallelogramm nennst du denn nun $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ?

26.11.2005, 15:09

Ari

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Zitat:

Welchen Winkel im Kräfteparallelogramm nennst du denn nun $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ?

ähm, das frage ich mich auch, nunja skizze sagt ja dass das der winkel zwischen F_1 und F_2 ist..aber im parallelogramm sollen doch die sich gegenüberliegenden winkel gleich sein..?
und ich verstehe den schritt nicht:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \vec{F_{1}} \cdot \vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} \cdot \vec{F_{2}} + 2~ \vec{F_{1}} \cdot \vec{F_{2}} = \vec{F_{1}} ^{2} + \vec{F_{2}}^{2} + 2~ \mid\vec{F_{1}}\mid \mid \vec{F_{2}} \mid \cos\alpha \end{eqnarray*}$

woher kommt cos alpha?

ich stell mich echt doof an verwirrt

verwirrt

26.11.2005, 15:13

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Ari

Zitat:

Welchen Winkel im Kräfteparallelogramm nennst du denn nun $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ?

ähm, das frage ich mich auch, nunja skizze sagt ja dass das der winkel zwischen F_1 und F_2 ist..aber im parallelogramm sollen doch die sich gegenüberliegenden winkel gleich sein..?

Die gegenüberliegenden ja, die nebeneinanderliegenden ergänzen sich aber zu 180 Grad und sind deshalb nur in einem speziellen Parallelogramm, dem Rechteck, gleich.

Zitat:

Original von Ari
woher kommt cos alpha?

Daher:

Zitat:

Original von sqrt(2)
für zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \vec{a}\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ der Winkel ist, in dem sie zueinander stehen.

27.11.2005, 13:06

Ari

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ah, es macht klick Hammer

Hammer

dankeschön!!

25.04.2008, 18:32

ghnt

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Sorry, aber ich schnall das i-wie immer noch nicht
kann mir das nochmal jemand erklären ?
Genau genommen will ich eig nur die formel um die resultierende auszurechnen, oder eine formel wo resultreiende und F_1 gegeben sind und F_2 gesucht wird.

bedanke mich schon mal im vorraus ...

26.04.2008, 17:47

mYthos

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Die Resultierende zweier Kräfte wird durch Vektoraddition ermittelt. Der Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ , den die beiden einschließen, tritt als Parallelwinkel $\begin{eqnarray*} (180° - \varphi) \end{eqnarray*}$ im Dreieck nochmals auf.

[attach]8055[/attach]

Mittels Cos-Satz gilt für die Resultierende $\begin{eqnarray*} \vec{R} = \vec{a} + \vec{b} \end{eqnarray*}$ (Bild) $\begin{eqnarray*} = \vec{F_1} + \vec{F_2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{R}^2 = |\vec{F_1}|^2 + |\vec{F_2}|^2 + 2|\vec{F_1}||\vec{F_2}| \cos \varphi \end{eqnarray*}$

mY+

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