Hilfe! Permutationen

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sonja1893 Auf diesen Beitrag antworten »
Hilfe! Permutationen
Hallo zusammen!
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen. Ich sitze hier schon seit Stunden an derselben Aufgabe und finde einfach keinen Ansatz. Ich hab keinen Schimmer, was da von mir verlangt wird. Und am Dienstag muss ich meine Hausaufgaben abgeben. traurig
Folgendes:

Gegeben sei folgende Permutation .

Hier werden jetzt folgende Graphen dargstellt:
1. ein Sechseck mit den Ecken 1-6 und Pfeilen von 1 zu 2, 2 zu 3, 3 zu 4, 4 zu 5, 5 zu 6 und 6 zu 1;
2. ein Dreieck mit den Ecken 7-9 und Pfeilen von 7 zu 8, 8 zu 9 und 9 zu 7;
3. zwei Punkte 10 und 11 mit Pfeilen von 10 zu 11 und 11 zu 10;
4. ein Punkt 12 mit dem Pfeil 12 zu 12.
(Ich hoffe, ihr könnt es euch einigermaßen vorstellen.)

a) Geben Sie an für k=1,...,7.
b) Geben Sie eine Permutation f an, so dass f o = id.
c) Bestimmen Sie .

Ich hoffe sehr, dass ihr mir helfen könnt. Dieser Mathe-Prof ist unfähig, irgendjemandem etwas beizubringen. unglücklich
navajo Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm ich versuch mal zu helfen, aber alles ohne Gewähr auf dem Gebiet bin ich auch nicht Bibelfest :P

Naja ne Permutation ist soweit ich weiss ne Abbildung (ne bijektive) die quasi einfach ne Menge in ne andere Reihenfolge schreibt. Was das S heisst weiss ich gerade nicht, aber die 12 heisst bestimmt dass in der Menge 12 Elemente drin sind smile
Naja und die 12 Elemente sind dann die ganzen Punkte die du da hingeschrieben hast. So naja komm ich mal zum eigentlich teil:

a) Hmm joa was heisst denn das hoch k? ich bin mir da nicht sicher aber ich tippe einfach mal darauf, dass man dier permutation k mal nacheinander ausführen soll, d.h wenn das so ist, dann gehst du einfach immer die 4 schritte durch, und dann hast du halt immer ne unterschiedliche reihenfolge deiner 12 elemente.

b) ja wie da schon steht sollst du eine permutation finden, so dass wenn man die beiden permutationen hintereinander ausführt, man nix an der menge gemacht hat: dazu musst du halt eigentlich nur die pfeile in die andere richtung malen.. dann wird zB der 1 erst die 2 zugeordnet und dann der 2 wieder die 1.

c) joa ich denke wieder wie bei a einfach ausrechnen, allerdings sollte man das lieber nicht zu fuss machen Augenzwinkern vll erkennt man schon bei a) wann sich das immer wiederholt, ich tippe mal bei k=6 wegen dem 6-eck und das dreieck und die 2 punkte sind davon teiler das sollte hinhauen. Naja dann nimmste halt die grösste zahl kleiner 1201 die durch 6 teilbar ist und permutierst ab da los.


Sooooo ich hoffe ich hab nicht mehr verwirrung gestiftet als sie vorher schon da war ^^
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
Permutationen
Ich nenne die drei Permutationen, aus denen sich zusammensetzt: (für "Sechseck"), (für "Dreieck"), (für "Zweieck"). Dann gilt:



Eigentlich müßte man jetzt wissen, wie euer Prof das Produkt der Permutationen eingeführt hat: Verkettung von links nach rechts oder Verkettung von rechts nach links? Denn das Produkt (=die Verkettung) von Permutationen ist nicht kommutativ. Aber hier spielt es keine Rolle, weil die drei Permutationen oben elementfremd sind. Also kommutieren sie miteinander und man darf die drei damit beliebig vertauschen.

macht das Folgende:
1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 1 (der Strich steht für einen Pfeil)

heißt: zweimal nacheinander anwenden; also wird 1 zunächst auf 2, 2 dann aber auf 3 abgebildet, insgesamt wird also 1 auf 3 abgebildet; 2 wird zunächst auf 3, 3 dann aber auf 4 abgebildet, insgesamt wird 2 also auf 4 abgebildet usw.
Also macht das Folgende:
1 - 3 - 5 - 1 , 2 - 4 - 6 - 2

heißt: noch einmal anwenden; Ergebnis:
1 - 4 - 1 , 2 - 5 - 2 , 3 - 6 - 3

heißt: noch einmal anwenden; Ergebnis:
1 - 5 - 3 - 1 , 2 - 6 - 4 - 2

heißt: noch einmal anwenden; Ergebnis:
1 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1

heißt: noch einmal anwenden; Ergebnis:
Jedes Element wird auf sich selbst abgebildet; also gilt:



Mit bezeichne ich das neutrale Element, das ist diejenige Permutation, bei der jedes Element auf sich selbst abgebildet wird.


macht das Folgende:
7 - 8 - 9 - 7

macht das Folgende:
7 - 9 - 8 - 7

macht das Folgende:
Jedes Element wird auf sich selbst abgebildet; also gilt:




macht das Folgende:
10 - 11 - 10

macht das Folgende:
Jedes Element wird auf sich selbst abgebildet; also gilt:




Die Ordnungen der drei Permutationen sind also 6 bzw. 3 bzw. 2.
Alle höheren Potenzen können entsprechend reduziert werden; z.B.



Man muß also bei der Hochzahl nur den Rest bestimmen, der bei der Division durch 6 bleibt. Entsprechend geht es bei den beiden anderen Permutationen (Rest modulo 3 bzw. Rest modulo 2). Und da sich aus den drei elementfremden (also kommutierenden) Permutationen zusammensetzt, kann man z.B. so rechnen:



Insbesondere folgt, weil 6 das kgV von 2 und 3 ist:



Und schließlich daraus:

sonja1893 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für eure Antworten. Ihr habt mir sehr geholfen. Jetzt ist mir das alles auch etwas klarer geworden! Tanzen
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von navajo
Was das S heisst weiss ich gerade nicht, aber die 12 heisst bestimmt dass in der Menge 12 Elemente drin sind smile


Das S kommt übrigens von symmetrische Gruppe.

Gruß vom Ben
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