Vektorraum

26.11.2005, 14:13

Micha204

Vektorraum

HI

ich habe folgende Aufgabe

Sie K ein beliebiger Körper. Die folgenden Mengen sind Teilmengen von Vektorräumen. Welche sind Vektorräume (zum gleichen Skalarenkörper), welche nicht? Beweisen sie ihre Behauptungen.

$\begin{eqnarray*} M1= \{(a1, a2, a3, a4)/ ai \in K, a3\cdot a4=o\}\leq K4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M2= \{(a1, a2, a3, a4)/ ai \in K, a1+a2+a3+a4=o\} \leq K4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M3= \{(a1, a2, a3, a4)/ ai \in K, a1\cdot a2=a3\cdot a4\}\leq K4 \end{eqnarray*}$

hoffe man kann einigermaßen erkennen, was gemeint ist... verwirrt

Jedenfalls versteh ich irgendwie die Aufgabe nicht ganz. Wenn ich überprüfe ob das ein Vektorraum ist, ist bei mir dafür bei jedem alles erfüllt, allerdings benutze ich dafür die Angabe auch nicht wirklich.
Vielleicht kann mir jmd ja mal einen Tipp geben, wo es nicht klappt und warum?

26.11.2005, 14:28

JochenX

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Zitat:

Wenn ich überprüfe ob das ein Vektorraum ist, ist bei mir dafür bei jedem alles erfüllt, allerdings benutze ich dafür die Angabe auch nicht wirklich.

wie zeigst du das dann?
insbesondere: für WAS zeigst du das?

oder "welche angabe" nutzt du nicht?

edit: das das erste kein VRm ist sehe ich übrigens gleich
verknüpfungen sind komponentenweise, davon geh ich mal stark aus

26.11.2005, 15:36

JohnDoe

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Hi,

kann es sein daß wir die selbe Vorlesung besuchen? Augenzwinkern

Du mußt einfach die folgenden Dinge zeigen:

(i) $\begin{eqnarray*} M \neq \varnothing \end{eqnarray*}$
(ii) $\begin{eqnarray*} a,b \in M \Rightarrow a+b \in M \end{eqnarray*}$
(iii) $\begin{eqnarray*} a \in M, \lambda \in \mathbb{K} \Rightarrow \lambda a \in M \end{eqnarray*}$

1 und 3 sind bei mir keine VR ...

Ciao

26.11.2005, 18:19

Micha204

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Also muss ich nur überprüfen ob M ein Unterraum vom jeweiligen Vektorraum ist?

26.11.2005, 18:36

JochenX

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es gilt ja:
U ist dann ein unterraum von V, wenn gilt:
U ist Teilmenge der vektormenge von V, U ist (zum selben Körper) selbst ein Vektorraum

insb. folgt also, da deine vektormenge eine teilmenge ist, dass M1 Unterraum <=> M1 vektorraum (bzw. M2, M3)

dinge wie die assoziativität der vektoraddition z.b. vererbt sich vom "oberraum"

mfg jochen

ps: @john:
passt

26.11.2005, 18:37

JohnDoe

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Also, wenn eine Teilmenge eines VR zum gleichen Skalarenkörper selbst VR ist dann hast du ja einen Unterraum. Wie man die Aufgabenstellung nun formuliert ist Geschmackssache.

Ciao

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