Ebenen und Punkte

Neue Frage »

26.11.2005, 19:37	Exp	Auf diesen Beitrag antworten »
Ebenen und Punkte "Seien E1 und E2 die Ebenen, die die Punkte (1,1,0),(0,1,1) und (1,0,1) bzw. (-1,0,1),(0,-1,1) bzw (1,0,0) enthalten. Seien A1=(2,a,a) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ E1 und A2=(1,b,c) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ E2, so dass die Normalen zu E1 durch A1 bzw. zu E2 durch A2 sich schneiden. Mit B bezeichnet man diesen Schnittpunkt. Ist B näher an E1 oder an E2?" (aus dem Script) ich weiss nicht wo man anfangen soll. Ist A1 und A2 Teilmengen dieser Ebene oder sind das auch Punkte der Ebenen. Kann mir jemand ein Anstoß geben?
26.11.2005, 21:44	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ebenen und Punkte berechne mal die beiden ebenen und die beiden geraden durch A1 und A2 und schneide sie werner A1 ist ein punkt auf E1 und damit teilmenge von E, denke ich mal
27.11.2005, 19:48	Explorator	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, ich habe die Gleichung für E1 und E2 aufgestellt: $\begin{eqnarray} E1: \vec{x_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +r_1\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}+s_1\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E2: \vec{x_2}=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +r_2\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+s_2\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dann habe ich versucht die Lotgerade zu E1 aufzustellen: $\begin{eqnarray} g_1=\begin{pmatrix} 2 \\ a \\ a \end{pmatrix}+\vec{n_1}=\begin{pmatrix} 2 \\ a \\ a \end{pmatrix}+n\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und die Lotgerade zu E2: $\begin{eqnarray} g_2=\begin{pmatrix} 1 \\ b \\ c \end{pmatrix}+\vec{n_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ b \\ c \end{pmatrix}+n\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ den Normalenvektor oben habe ich wie folgt versucht auszurechnen: sei $\begin{eqnarray} \vec{x}=\vec{a}+r\vec{u}+s\vec{v} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{x}\vec{n}=\vec{a}\vec{n} \end{eqnarray}$ und weil $\begin{eqnarray} \vec{u}\vec{n}=0, \vec{v}\vec{n}=0 \end{eqnarray}$ folgt ein LGS mit zwei Gleichungen und drei Variablen, dessen Lösung nicht eindeutig ist. Und meine Frage ist: in beiden Fällen, also bei g1 und g2 bekomme ich für die drei Variablen aus den Gleichungen n1=n2=n3. Kann ich in diesem Fall beliebige Werte für $\begin{eqnarray} \vec{n} \end{eqnarray}$ - (Normalenvektor) einsetzen? Sind dann die beiden Geraden nicht parallel? danke voraus Exp
27.11.2005, 20:50	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
bringe die beiden ebenen in die koordinatenform (oder stelle sie gleich so auf), da kannst du dann den normalenvektor = richtungsvektor der geraden sofort ablesen, (dazu bilde das vektorprodukt oder löse das lgs.), dann setzt du A1 in E1 ein und hast sofort die koo von A1, dasselbe mit A2 in E2, da bekommst du eine beziehung zwischen b und c, der rest ergibt sich aus der forderung, das sich g1 und g2 schneiden. wenn du das hast, und noch hilfe benötigst, helfe(n) ich/wir dir gerne weiter. kleine hilfe: E1: x + y + z = 2, A1(2/0/0) werner
27.11.2005, 21:12	Explorator	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo wernerrin, danke für die Antwort. Bei dieser Vektorrechnung muss man einige Regeln beachten. Da komme ich leicht ins Schleudern. ich habe da ein Paar Verständnisfragen: - "(oder stelle sie gleich so auf), " - kann man das mit genauerem Hinsehen machen. - "normalenvektor = richtungsvektor" - sind diese Vektoren nicht orthogonal zu einander? - was meinst Du mit "koo von A1" danke voraus
27.11.2005, 21:31	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
1) nein, kann man nicht mit hinsehen machen ich meinte damit, ich habe den normalenvektor der ebene mit dem vektorprodukt berechnet $\begin{eqnarray} \vec{n} =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \text{mal (-1) }\Rightarrow \vec{n} =\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und mit der normalvektorform $\begin{eqnarray} (\vec{x} -\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} )\cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray}$ hast du dann E1: x + y + z = 2 jetzt A1(2/a/a) eingesetzt ergibt A1(2/0/0). 2) ich meinte den normalenvektor der ebene und den richtungsvektor einer geraden, die senkrecht auf diese ebene steht. die sind IMMER identisch,( bzw. ein vielfaches davon) (mach dir das eventuell durch eine skizze klar). 3) "koo von A1" ist der durch meine faulheit implizierte ausdruck für " die koordinaten von A1" tut mir leid, wenn ich wieder einmal schlampig war. mache es gerne durch weitere hilfe gut - soferne du sie noch brauchst werner
Anzeige

27.11.2005, 21:34	cst	Auf diesen Beitrag antworten »
Also: zu1.: Soweit ich weiß, kann man die Ebene nicht durch "hinsehen" in Koordinatenform aufstellen; man muß es so machen, wie von wernerrin beschrieben zu2.: hier ist ja der Normalenvektor der Ebene = Richtungsvektor der Gerade (die ja senkrecht auf der Ebene stehen soll) 3.: Koo = Koordinaten Logo, oder?
27.11.2005, 23:13	Explorator	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich habe für E2:= x+y+2z=1 und daraus folgt für A2=(1,b,c): Die Werte aus A2 in obere Koordinatengleichung eingesetzt: 1+b+2c=1 b=-2c folgt A2=(1,-2c,c) Schnittpunkt berechnen: g1=g2 (in Parameterform) LGS aufgestellt: 1. 2+n1=1+n2 2. n1=-2c+n2 3. n1=c+2(n2) n1=-3/2 in g1 eingesetzt folgt: Scnnittpunkt= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1/2 \\ -3/2 \\ -3/2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ kann bitte jemand das prüfen?
27.11.2005, 23:21	cst	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittpunkt ist bei mir: $\begin{eqnarray} B(-\frac{1}{2};-\frac{5}{2};-\frac{5}{2}) \end{eqnarray}$ . Der Rest stimmt. edit: n1 stimmt nicht
27.11.2005, 23:24	Explorator	Auf diesen Beitrag antworten »
cst_aus_b! stimmt bei mir auch LGS ?
27.11.2005, 23:25	cst	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt auffallend.
27.11.2005, 23:31	Explorator	Auf diesen Beitrag antworten »
cst_aus_b, entschuldige, dass ich dich mit Kleinigkeiten nerve, ich habe noch mal nachgerechnet, komme auf das selbe n1. Was hast Du für c raus? danke
27.11.2005, 23:42	cst	Auf diesen Beitrag antworten »
c=1/2 b=-1 n1=-5/2 n2=-3/2
27.11.2005, 23:45	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
c=1/2 werner
28.11.2005, 00:17	cst	Auf diesen Beitrag antworten »
Übrigens: Der Abstand des Punktes B von den Ebenen ist $\begin{eqnarray} \frac{15}{2\sqrt{3}} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \frac{11}{2\sqrt{3}} \end{eqnarray}$ Längeneinheiten. N8i cst
28.11.2005, 00:21	Explorator	Auf diesen Beitrag antworten »
ich bin ein ESEL stimmt, 1/2+2 ist nicht gleich 1/2+2/2. Nachtrag: ich habe heute einen Schwarzen Tag! ich liege Wieder Falsch... Den Quatsch von mir gelöscht... Frage, ich dachte Länge1 vom Punkt A1 zum Punkt B ist gleich dem Betrag des Vektors AB?
28.11.2005, 08:13	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
die abstände von S und E1 bzw. E2 lauten so - wenn ich mich nicht verrechnet habe -: $\begin{eqnarray} d(B;E_1)=-\frac{5\sqrt{3}}{2}\text{ und }d(B;E_2)=-\frac{3\sqrt{6}}{2} \end{eqnarray}$ zur "lagebeurteilung" siehe z.b. den beitrag von LEOPOLD hier im forum werner
28.11.2005, 14:53	Explorator	Auf diesen Beitrag antworten »
wernerrin, habe die gleichen Längen raus. Danke. Vielen Dank auch an alle, die mir bei dieser Aufgabe geholfen haben !!!

Neue Frage »

Antworten »

Ebenen und Punkte

Verwandte Themen