Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen |
| 27.11.2005, 22:04 | Cliffhanger | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen hab leider keine ahnung wo das thema hier hingehört......hab leider ein paar probleme bei Extremwertaufgaben..... ich hab hier folgende angabe: x^2+y^2+z^2=min! Nebenbedingung: x+y+z=1 so.....jetzt hab ich mal folgendes aufgestellt x= 1-y-z y=1-x-z z=1-x-y dann heißt es einsetzen..... ich krieg mal wenn ich x einsetze (1-y-z)^2 + y^2 +z^2 dann muss ich den gradient berechnen und hesse matrix aufstellen...... ich muss aber ganz ehrlich gestehen das ich nicht genau weiß wie ich 1. (1-y-z)^2 auflösen soll bzw. dann ableiten soll 2. wies dann weitergeht 3. wie ich die extremwertpunkte bekomme....... wenns nur 2 variable sind ists ja halbwegs einfach......aber bei 3 steh ich ehrlich gesagt ein bisl an....... wäre dankbar für ein wenig hilfe mfg Andi |
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| 27.11.2005, 22:10 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sagt dir das verfahren von lagrange zur berechnung von "extrema unter nebenbedingungen" etwas? is hier recht einfach |
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| 27.11.2005, 22:12 | Cliffhanger | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hi! genau! hab ich vergessen! dürfen wir vorerst nicht verwenden das verfahren.....wir müssen das nach sustitutions-verfahren lösen...... |
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| 27.11.2005, 22:20 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
okay beispiel ist einfach genug, um das auch ohne lösen zu können zu deinen fragen: 1)(1-y-z)^2=(1-y-z)*(1-y-z) und dann jedes mal jedes, vorzeichen beachten, 9 summanden! gibt dir funktion h(y,z) und die partiell ableiten gibt dir den gradient 2)3) "erste ableitung = 0", gilt auch hier, extrempunktkandidaten sind die punkte (y,z), für die eben der gradient=(0/0) ist danach analog zum 1-dim: zweite ableitung (y,z) (2. abl. ist die Hessematrix) >0 (heißt hessematrix pos. def.), dann tiefpunkt, zweite ableitung.......... |
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| 27.11.2005, 22:24 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist doch hier alles mit Kanonen auf Spatzen geschossen. Gesucht wird doch der Abstand des Ursprungs (genauer: dessen Quadrat) von der Ebene . Hesse-Normalform. |
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| 27.11.2005, 22:44 | Cliffhanger | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hi! so......ich hab jetzt mal weitergerechnet...... wenn ich jetzt den gradient ausrechne bekomm ich für die ableitung nach y: -2-2y+2z und nach z: -2+2y+6z stimmt das so....bzw. wie mach ich da jetzt weiter? |
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| 27.11.2005, 22:47 | 20_Cent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
machs lieber so, wie leopold gesagt hat, dann bist du schon fertig. mfG 20 |
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| 27.11.2005, 22:53 | Cliffhanger | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das problem ist das ich nach substitution lösen muss........ |
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| 27.11.2005, 23:00 | cst | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also ich hab: Ableitung nach y: und nach z: . Beides = 0 setzen, das Gleichungssystem lösen und fertig. |
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| 27.11.2005, 23:04 | Cliffhanger | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
genau das ists was ich wissen will.....wie machst wenn du das was du grad geschrieben hast weiter.......ich weiß ich steh wahrscheinlich a bisl auf der leitung 
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| 27.11.2005, 23:12 | cst | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Na, genau wie ich gesagt hab: Ich setze jede Ableitung gleich Null und erhalte ein Gleichungssystem: . Gleichungssystem lösen (Unbekannte y und z). Wenn du das hast, berechnest du x nach x=1-y-z. Schließlich noch den Minimalwert, also x^2+y^2+z^2. That's it. Was bekommst du denn als Lösung des Gleichungssystems, d.h. für y und z? |
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| 27.11.2005, 23:36 | Cliffhanger | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
soderle.....also nochmal.......... für y=-2+2z+4y .....hab ich! z=-2+2y+4z......hab ich! aber ich weiß jetzt wirklich nicht wie du das meinst mit gleichunssystem lösen......ich weiß ich weiß! sollte kein problem sein....aber wie gesagt ich steh hoffnungslos auf der leitung....... wäre sehr dankbar wenn du das mit auflösen usw. mir ma vorrechnen könntest...... |
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| 27.11.2005, 23:39 | 20_Cent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nicht y=... und z=... sondern für y: 0=... und für z: 0=... das gleichungssystem löst du, wie du es am besten kannst, also z.B. Gauß-Algorithmus, eine nach z auflösen, in die andere einsetzen, oder ähnlich. mfG 20 |
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| 27.11.2005, 23:49 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So ist es. Alternativ zu Leopolds geometrischer Lösung kann man auch eine elementar algebraische angeben - zumindest wenn die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung (CSU) bekannt ist: |
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| 29.11.2005, 03:25 | Cliffhanger | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen tag! hab eine weitere aufgabe wo ich nicht ganz durchblicke: aufgabenstellung: Untersuche folgende Funktion auf Extrema und Sattelpunkte: f(x,y,z)=x^3 + y^3 + z^3 -x -y -z ich bin auch schon weit gekommen...... grad(x,y ( 3x^2 - 1 ( 3y^2-1 ( 3z^2-1 Hesse= ( 6x 0 0 (0 6y 0 (0 0 6z zu suchen sind die extrema und sattelpunkte......ich hab aber keinen plan wie ich das ausrechnen soll.......0 setzen der funktion ist klar.....dann komm ich bei jeder auf +- wurzel aus 1/3 jetzt soll aber angegeben werden wo es ein minimizer, maximizer, wo sattelpunkte sind usw......gesamt sollen es 8 punkte sein...... hab keinen plan wie ich das rechnen soll bzw. wie diese 8 punkte dann aussehen....... ev. habt ihr ja ne lösung...... selbiges gilt für die aufgabe......hab ich auch alles gelöst bis auf die extrema-punkte f(x,y) = x^4 - x^2 +y^4 - 2y^2 da gibts anscheinend 9 punkte......(0,0) soll lokaler maximizer sein die vier punkte(+- wurzel aus 1/2, +-1) sind lokale minimizer die vier punkte (+- wurzel aus 1/2, 0 ) , (0,+-1) sind sattelpunkte.......soviel steht zumindest in der lösung......... aber wie komm ich auf das alles 
die sollten sein |
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| 29.11.2005, 12:38 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen
jeder wert kann + oder -WZ(3) annehmen, wieviel gesamtmöglichkeiten von punkten (x/y/z) mit grad=0 gibt es dann? kombinatorik vom einfachsten! was hat denn deine meinung die zwite abl. dami zu tun? EINSETZEN |
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| 11.12.2005, 18:11 | Cliffhanger | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Leute! Ich habe eine frage.......wir sind jetzt vom Substitutions auf das Lagrange verfahren umgestiegen........ weiß aber jetzt nicht genau weiter........ ich hab folgende angabe: f(x,y) =x^2+y^2 Nebenbedinung: x+y=1 jetzt hab ich das so angeschrieben: L(x,y) = = dann x nach L ableiteng = 2x - lambda nach y = 2y - lambda aber wie gehts dann weiter? bzw. wie weiß ich ob min oder max? aber vor allem wäre mir wichtig zu wissen wies nach der ableitung weitergeht.......in der lösung steht was von wenn "lambda"=... dann gilt P1(....) und wenn "lambda" =.... dann P2(...) und genau das ist mir nicht klar....... |
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