Drei homogene Würfel würfeln (bis zum 1. Mal drei Gleiche autreten)

28.11.2005, 11:19

antykoerpa

Drei homogene Würfel würfeln (bis zum 1. Mal drei Gleiche autreten)

Hallo Community,

ich sitze hier grad vor einer Übungsaufgabe und bin mir nicht ganz sicher wie ich sie rechnen muss:

Aufgabe: Drei homogene Würfel werden geworfen, bis zum ersten Mal drei gleiche Augenzahlen gewürfelt werden. Geben sie für dieses Ergebnis einen geeigneten Elementarereignisraum, eine geeignete Zufallsvariable X, f(x) und F(x) an.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, erst nach dem zweiten Werfen, (der drei Würfe) drei gleiche Augenzahlen zu würfeln?

Meine Lösungsvorschläge:

1) X = Anzahl der Würfe bis zum ersten Mal drei gleiche Werte auftauchen.

2) f(x) - ist damit die Wahrscheinlichkeit bei jedem Wurf gemeint?
Wenn das der Fall ist, dann ist f(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{216} \end{eqnarray*}$ , oder?

3) F(X) - Das ist doch die Verteilungsfunktion, oda? Wenn das der Fall ist, dann verstehe ich die Fragestellung in der Aufgabe nicht, denn:
Ist die Verteilungsfunktion nicht immer hierdurch gegeben:
$\begin{eqnarray*} P(X\leq x) = \sum_{x[i] \leq x}^n~f(x[i]) \end{eqnarray*}$

Wie soll ich da denn nun selber eine bestimmen?

4) Die Wahrscheinlichkeit dafür drei gleiche Augenzahlen erst nach dem zweiten Wurf zu bekommen - Hat das was mit Gegenwahrscheinlichkeiten zu tun? Ich stelle mir das so vor: Im ersten Wurf habe ich eine Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{216} \end{eqnarray*}$ . Durch die Verteilungsfunktion weiß ich das $\begin{eqnarray*} P(X\leq 2) = \sum_{x[i] \leq x}^n~f(x[i]) = \frac{2}{216} = \frac{1}{108} \end{eqnarray*}$ . Wenn ich nun $\begin{eqnarray*} 1 - \frac{1}{108} =\frac{107}{108} \end{eqnarray*}$ rechne, ist das dann die gesuchte Lösung?

Wäre toll, wenn ihr mir helfen könntet meine Fragen zu beantworten. Danke!

28.11.2005, 11:46

kurellajunior

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RE: Drei homogene Würfel würfeln (bis zum 1. Mal drei Gleiche autreten)
Auch wenn ich wie immer mit den Wörtern (Zufallsvariable, Verteilungsfunktion usw.) nicht klarkomme, ist Deine erste Annahme bereits etwas falsch Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{216} \end{eqnarray*}$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Zahl bei einem Wurf dreimal fällt. Es ist aber egal welche der 6 Zahlen fällt...

eine Idee?

Jan

28.11.2005, 11:58

antykoerpa

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Hmm, ich verstehe, es kann ja jede der Zahlen 1 - 6 gleichzeitig fallen.
Ist es dann: $\begin{eqnarray*} 6 * \frac{1}{6} *\frac{1}{6} * \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ ?

28.11.2005, 12:22

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Zu den Begriffen Verteilungsfunktion und Dichte:

http://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsverteilung

Mit Dichte $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ meinst du hier allerdings Zähldichte, da die zu betrachtende Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ diskret ist, genauer gesagt: nur natürliche Zahlen annehmen kann.

Zur Verteilungsfunktion, die in der Wikipedia durch $\begin{eqnarray*} F(x):=P(X\leq x) \end{eqnarray*}$ definiert wird, ist noch zu sagen: Das ist die im englischen Sprachraum vorherrschende Variante. In Deutschland war (zumindest bisher) eher die Variante $\begin{eqnarray*} F(x):=P(X<x) \end{eqnarray*}$ üblich, also schau mal nach, wie ihr das bei euch definiert habt. Bei stetigen Zufallsgrößen macht das keinen Unterschied, bei einer diskreten wie hier aber sehr wohl!

Wie auch immer, $\begin{eqnarray*} f(k)=P(X=k) \end{eqnarray*}$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass im $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -ten Dreierwurf zum ersten Mal drei gleiche Augenzahlen auftauchen. Bei der Berechnung von $\begin{eqnarray*} f(k) \end{eqnarray*}$ musst du also berücksichtigen, dass

in den ersten $\begin{eqnarray*} (k-1) \end{eqnarray*}$ Dreierwürfe sämtlich keine "Paschs" auftauchen,
im $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -ten Dreierwurf ein "Pasch" gewürfelt wird,
Die Dreierwürfe voneinander unabhängig erfolgen.

28.11.2005, 12:38

antykoerpa

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Ok, dann hab ich hier einen neuen Lösungsvorschlag.
In den ersten beiden Durchläufen tauchen keine "Paschs" auf:
Wahrscheinlichkeit, dass in einem Wurf kein Pasch auftaucht ist:
$\begin{eqnarray*} \frac{105}{108} \end{eqnarray*}$ . Da nach der Wahrscheinlichkeit gefragt wird, nach dem zweiten einen Treffer zu landen, muss ich die Wahrscheinlichkeit im zweiten Wurf keinen Pasch zu würfeln auch mit einbeziehen. Also $\begin{eqnarray*} \frac{105}{108} \cdot \frac{105}{108} = \frac{11025}{11664} \end{eqnarray*}$ Wenn ich nun von 1 diesen Wert abziehe:
$\begin{eqnarray*} 1 - \frac{11025}{11664} = 0.05 \end{eqnarray*}$ . Aber das kann doch nicht stimmen, oda? Die Wahrscheinlichkeit erst nach dem 2 Wurf einen Pasch zu würfeln muss gefühlsmäßig doch viel höher sein...!? unglücklich

28.11.2005, 12:49

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Zitat:

Original von antykoerpa
Da nach der Wahrscheinlichkeit gefragt wird, nach dem zweiten einen Treffer zu landen, muss ich die Wahrscheinlichkeit im zweiten Wurf keinen Pasch zu würfeln auch mit einbeziehen. Also $\begin{eqnarray*} \frac{105}{108} \cdot \frac{105}{108} = \frac{11025}{11664} \end{eqnarray*}$ Wenn ich nun von 1 diesen Wert abziehe

Warum? Du hast das Ergebnis doch schon!

P.S.: Bitte vollständig kürzen, sieht einfach besser aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{105}{108} = \frac{35}{36} \end{eqnarray*}$

28.11.2005, 12:51

kurellajunior

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Warum rechnest Du mit $\begin{eqnarray*} \frac{105}{108} \end{eqnarray*}$ ?

Die Wahrscheinlichkeit einen Pasch zu würfeln hast Du richtig mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{36} \end{eqnarray*}$ erkannt... Belieb doch dabei Augenzwinkern

Und Nein Deine Frage lautet, erst nach dem zweiten Mal, dass heißtt alle würfe, bei denen nicht der erste ein DreierPasch ist sind gute Ergebnisse...

Alles klar?

Jan

edit: zu langsam *gg*

29.11.2005, 09:22

antykoerpa

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Ok, ich denke, dass ich das Ergebnis nun habe:
Die Wahrscheinlichkeit in einer "Wurfrunde" einen Dreierpasch zu würfeln beträgt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{36} \end{eqnarray*}$ .
Da nach der Wahrscheinlichkeit nach dem 2. Wurf gefragt wird, muss der zweite Wurf auch negativ sein. Ich muss also mit den Gegenwahrscheinlichkeiten rechnen:
$\begin{eqnarray*} \frac{35}{36} * \frac{35}{36} = \frac{1225}{1296} \end{eqnarray*}$
Ist dann denn nun richtig? smile

Danke für Eure Hilfe und bisherigen Antworten!

29.11.2005, 15:00

kurellajunior

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Wenn "nach dem zweiten Wurf" meint "der Dritte oder später" dann ja.

Ich hätte ja verstanden beim zweiten oder später, aber das wird wohl nur der Aufgabensteller wissen Augenzwinkern

Jan

29.11.2005, 15:12

antykoerpa

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Du hast Recht, das ist schon eindeutig zweideutig. Ich sollte ihn das am besten mal fragen, bevor in der Klausur genau das Gegenteil gemeint ist. Lehrer

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