Zentrum einer Gruppe

29.11.2005, 13:54

dvdhero

Zentrum einer Gruppe

Ich habe da eine Aufgabe, die ich nicht verstehe, d.h. ich weiß nicht einmal, wie ich anfangen soll, wäre nett, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte.

Man zeige, dass Z(G) eine abelsche Gruppe ist.
Man bestimme das Zentrum Z(GL(2, $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ )) der Gruppe GL(2, $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ) = M(2, $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ )* aller invertierbaren
2x2 Matrizen.

29.11.2005, 19:31

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

was ist denn das zentrum?

zeige, dass es eine untergruppe ist (untergruppenkriterium); das es dann auch abelsch ist, ist das einfachste, wenn du die definition betrachtest....

29.11.2005, 21:11

dvdhero

Auf diesen Beitrag antworten »

Z(G) = { g $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ G : gh=hg $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ h $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ G}

Das ist das Zentrum.

29.11.2005, 21:44

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

genau, dass ist die menge aller elemente, die mit allen anderen kommutieren

Zitat:

zeige, dass es eine untergruppe ist (untergruppenkriterium)

wo hängts?

29.11.2005, 22:10

dvdhero

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie macht man das denn mit der abelschen gruppe?
wie weißt man denn die gesetze nach?
und was ist GL(2, $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

29.11.2005, 22:17

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von dvdhero
Wie macht man das denn mit der abelschen gruppe?
wie weißt man denn die gesetze nach?

da habt ihr sicher schon aufgaben zu gemacht
insb. sollte dir "untergruppenkriterium" etwas sagen
sonst schau mal in dein skript

Zitat:

und was ist GL(2, $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

das ist die einheitengruppe des matrizenrings der 2x2-matrizen
also die menge aller invertierbaren 2x2-matrizen, verknüpft mit der matrizenmultiplikation

29.11.2005, 22:36

dvdhero

Auf diesen Beitrag antworten »

unser prof hat nichts von einem untergruppenkriterium gesagt
ich muss allerdings dazu sagen, dass diese übungsaufgaben schon ein paar mal nicht mit den vorlesungen übereingestimmt haben

29.11.2005, 23:58

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

G Gruppe, U Teilmenge der elementmenge von G

U untergruppe <=>
(i) U nicht leer
(ii) x,y in U => xy^-1 in U

das ist das untergruppenkriterium
alternativ (ii) aufsplitten zu:
x,y in U => xy in U (abgeschlossenheit)
x in U => x^-1 in U (inverse drin)

warum das äquivalent ist, hatten wir auch schon hier im board beweisen

Neue Frage »

Antworten »

Zentrum einer Gruppe

Verwandte Themen