Funktionsgleichung bestimmen

29.11.2005, 14:53

snowman

Auf diesen Beitrag antworten »

Funktionsgleichung bestimmen

Hallo, könntet ihr mir helfen und mir sagen, ob meine Anfangsüberlegungen korrekt sind?

Ich habe eine Parabel. Hochpunkt liegt bei x=-1 Tiefpunkt x=2 Steigung der Parabel -9/2 einen schnittpunkt von (0/0) hab ich noch

mein Anfang

f(x)=ax³+bx²+cx+d
f`(x) =ax²+bx+c
f``(x)=ax+b

die Extrempunkte eingesetzt

f´(0) =-ax²-bx-c
f´(0)= 2ax²+2bx+c

den Schnittpunkt eingesetzt

f(0)=0

ist die Steigung der Steigung null?

also so?

F``(-9)=0

???

hänge irgendwie fest, wäre nett, wenn ihr mir einen Tipp geben könntet.

Schönen Gruß

Snowman

29.11.2005, 15:00

vrenili

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Analyse
Huhu snowman,

Zitat:

Original von snowman
Ich habe eine Parabel.

Also eine Parabel ist es eigentlich nur, wenn eine quadratische Funktion zugrunde liegt. Dann hast Du aber entweder einen hoch oder einen Tiefpunkt und nicht beides.
Einigen wir uns also auf eine Funktion dritten Grades!

Hochpunkt liegt bei x=-1 Tiefpunkt x=2 Steigung der Parabel -9/2

An welcher Stelle der Funktion hast Du jetzt welche Steigung???

einen schnittpunkt von (0/0) hab ich noch

mein Anfang

f(x)=ax³+bx²+cx+d

f`(x) =3ax²+2bx+c
f``(x)=6ax+2b

So, und wenn Du nun in die Ableitung den Hoch- bzw. Tiefpunkt einsetzt, dann müssen die Parameter a,b und c so gewählt werden, dass die Ableitung an den Stellen x=-1 und x=2 auch null ist.

Was muss dann die 2. Ableitung an der Stelle x=-1 sein, damit da ein Hochpunkt ist?
Was muss die 3. Ableitung an der Stelle x=2 sein, damit da ein Tiefpunkt ist?

Korrigier das obige besser erst nochmal und erklär dann genau die Aufgabenstellung, vor allem das mit der Steigung! Danke!

29.11.2005, 15:35

snowman

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, hab irgendwie an Parabel gedacht, dabei ist es ein Polynom.

also, dass is die genaue Aufgabe

Ein Polynom dritten Grades besitzt bei x = –1 ein Maximum und bei x = 2 ein Minimum. Verbindet man diese Extremalpunkte in der grafischen Darstellung des Polynoms mit einer Geraden, so hat diese die Steigung –9/2 und läuft durch den Nullpunkt des Koordinatensystems.
Wie lautet die Funktionsgleichung des Polynoms?

Zitat:

So, und wenn Du nun in die Ableitung den Hoch- bzw. Tiefpunkt einsetzt, dann müssen die Parameter a,b und c so gewählt werden, dass die Ableitung an den Stellen x=-1 und x=2 auch null ist.

Was muss dann die 2. Ableitung an der Stelle x=-1 sein, damit da ein Hochpunkt ist?

f``(-1)=0 ??
F``(2)=0??

Was muss die 3. Ableitung an der Stelle x=2 sein, damit da ein Tiefpunkt ist?
F```(2) $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 ??

F```(2) $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 ??

30.11.2005, 11:48

vrenili

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm, also so sieht die Aufgabenstellung schon ganz anders aus als oben.

Betrachten wir zunächst mal, was wir alles haben:

Gesucht ein Polynom dritten Grades:
$\begin{eqnarray*} f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \end{eqnarray*}$

also haben wir 4 Unbekannte, die es zu finden gilt: a,b,c und d
also brauchen wir auch mindestens 4 Informationen, sprich Gleichungen, um die zu finden.

Schau'n wir mal, was gefordert ist:

1. Maximum bei x=-1:
Damit muss also die erste Ableitung von f(x) in x=-1 null sein:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=3ax^2+2bx+c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(-1)=3a-2b+c=0 \end{eqnarray*}$

2. Minimum bei x=2:
Damit muss die erste Ableitung bei x=2 auch null sein:
$\begin{eqnarray*} f'(2)=...=0 \end{eqnarray*}$ (jetzt bist Du der Reihe)

Damit haben wir nun schon 2 Gleichungen für 4 Unbekannte. Es fehlen also noch 2 Gleichungen, damit das Gleichungssystem auch gelöst werden kann.
Schauen wir uns deswegen nun das Problem mit der Geraden an:

Die allgemeine Geradengleichung lautet
$\begin{eqnarray*} g(x)=mx+n \end{eqnarray*}$
wobei m die Steigung und n der y-Achsenabschnitt sind.
Die hier beschriebene Gerdae geht durch den Nullpunkt (damit ist n=0) und hat die Steigung $\begin{eqnarray*} -\frac{9}{2} \end{eqnarray*}$ .
Damit ist
$\begin{eqnarray*} g(x)=-\frac{9}{2}x \end{eqnarray*}$ die Gerade, welche die beiden Extrema verbindet.

Das bedeutet doch auch gleichzeitig, dass an den Stellen x=-1 und x=2 die Gerade g(x) UND die Funktion f(x) den gleichen Wert haben, also
$\begin{eqnarray*} g(-1)=f(-1) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} g(2)=f(2) \end{eqnarray*}$

Damit bekommst Du dann noch 2 Gleichungen.
Also haben wir insgesamt 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten und Du musst nur noch das Gleichungssystem lösen! (Tipp: Gauss)

Viel Erfolg, und melde Dich, wenn Du noch Fragen hast!

LG
verena

01.12.2005, 15:25

snowman

Auf diesen Beitrag antworten »

Super, dass hat mir schonmal extrem die Augen geöffnet.

Hab jetzt 4 Gleichungen. Muss ich unbedingt das Gauss-Verfahren anwenden oder geht da auch was anderes, ich kann leider dass Gaussverfahren nicht. traurig

traurig

evtl. subtraktionsverfahren.

Also Gleichung 2 minus Gleichung 1 usw.?

01.12.2005, 15:28

derkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

ist das gleiche in grün! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Anzeige

01.12.2005, 15:31

snowman

Auf diesen Beitrag antworten »

also, ich weiß ja was d ist denn d=0

weiß ich jetzt auch durch sehen ohne rechnen, dass c= -3 ist?

01.12.2005, 15:32

derkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

schreibe doch das ganze gleichungssystem mal sauber hin, dann braucht man nicht immer hier und dort zu suchen!

01.12.2005, 15:39

snowman

Auf diesen Beitrag antworten »

o.k.

I $\begin{eqnarray*} f(-1)= 3a-2b+c=0 \end{eqnarray*}$
II $\begin{eqnarray*} f(2)=12a+4b+2c=0 \end{eqnarray*}$

III $\begin{eqnarray*} g(1)= -9/2 \end{eqnarray*}$

iV $\begin{eqnarray*} g(2)=-9/2 \end{eqnarray*}$

ist das so korrekt?

01.12.2005, 16:17

derkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von snowman
o.k.

I $\begin{eqnarray*} f(-1)= 3a-2b+c=0 \end{eqnarray*}$
II $\begin{eqnarray*} f(2)=12a+4b+2c=0 \end{eqnarray*}$

III $\begin{eqnarray*} g(1)= -9/2 \end{eqnarray*}$

iV $\begin{eqnarray*} g(2)=-9/2 \end{eqnarray*}$

ist das so korrekt?

bringe die beiden letzten gleichungen in verbindung mit der allgemeinen ausgangsfunktion!

01.12.2005, 19:03

mercany

Auf diesen Beitrag antworten »

Titel geändert

01.12.2005, 23:18

snowman

Auf diesen Beitrag antworten »

wow, ich hab grad nach zwei Cocktails den Thread wie ein blöder gesucht. Hammer

Hammer

Hammer

So, morgen nehme ich mir fest vor, diese verdammte Aufgabe zu lösen.

gute Nacht, leutz und nochmals danke für eure hilfe

02.12.2005, 07:39

vrenili

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, also deine Vierte Gleichung ist schonmal definitiv grundlegend falsch.
Die dritte ist an sich zwar richtig, Du brauchst aber hier g(-1) und nicht g(1).
Ausserdem betrachtest Du in den ersten beiden Gleichungen f'(-1) bzw. f'(2) und nicht f(-1) und f(2).

Wie sieht denn die Gleichung von g(x) aus? Das scheint bei Dir noch nicht wirklich zu passen!

Tipp: Lies meine 2. Antwort nochmal ganz genau

LG
Verena

Edit: Und wie kommst Du auf d=0 oder c=-3?
Das ist nämlich nicht richtig!

02.12.2005, 12:00

snowman

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Verena,

leider kann ich den Editor nicht öffnen, weil dann meine Explorer abstürzt, deswegen hab ich das f´ weggelassen.

Noch ein Versuch meiner Gleichungen

I f´(-1)=3a-2b+c=0

II f´(2)= 12a+4b+2c=0

III f(0)= d =0

IV f``(2)= 12a+4b =-9

02.12.2005, 12:44

vrenili

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Snowman,

Du verstehst die Hinweise mit der Geraden durch die Nullpunkte nicht:
NICHT die Funktion f(x) geht durch den Nullpunkt, sondern die Gerade g(x), welche die beiden Extrempunkte verbindet.

Und diese Gerade g(x) hat auch die Steigung $\begin{eqnarray*} -\frac{2}{9} \end{eqnarray*}$ .

Die -2 in die zweite Ableitung von f(x) einzusetzen macht gerade mal gar keinen Sinn!

Lies nochmal genau meine Anleitung weiter oben!!!

02.12.2005, 13:19

snowman

Auf diesen Beitrag antworten »

also, das heißt, wenn ich eine Grade zwischen den beiden Extrema ziehen würde, wäre die Gleichung hierfür $\begin{eqnarray*} g(x)=-9/2 \end{eqnarray*}$

d.h. also, wenn ich diese zeichne, kann ich genau ablesen, wo die Extrema liegen

also irgendwo bei:
Hochpunkt ca. (-1/4,5)
Tiefpunkt ca. (2/-8,5)

Aber wie mache ich daraus eine Gleichung?

Irgendwie stehe ich völlig auf dem Schlauch traurig

traurig

02.12.2005, 13:23

derkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

die funktionswerte der gerade stimmen in den extrempunkten mit den der "ausgangsfuntion" überein!

02.12.2005, 13:29

snowman

Auf diesen Beitrag antworten »

was mir grad eingeleuchtet ist, was mir wahrscheinlich nix bringt ist, dass

$\begin{eqnarray*} -1*(-9/2)= 4,5 \end{eqnarray*}$ Also der Y-Wert des Hochpunktes, sowie

$\begin{eqnarray*} 2*(-9/2)=-9 \end{eqnarray*}$ also der Y-Wert des Tiefpunktes

Wie um himmelswillen mache ich da meine Gleichung draus... verwirrt

verwirrt

edit:

Stopp, ich probier es mal

02.12.2005, 13:30

derkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

wie wäre mit: f(-1) = 4.5 ?? Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.12.2005, 13:31

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von snowman
also, das heißt, wenn ich eine Grade zwischen den beiden Extrema ziehen würde, wäre die Gleichung hierfür $\begin{eqnarray*} g(x)=-9/2 \end{eqnarray*}$

Richtig. Es muß aber heißen: g(x) = (-9/2)x
Und wie vrenili schon schrieb, ist dann g(-1) = f(-1) und g(2) = f(2). Nun führe diese Gleichungen mal weiter. Was ist g(-1), was ist f(-1) usw. ?

02.12.2005, 13:33

snowman

Auf diesen Beitrag antworten »

oh gott, natürlich Idee!

Idee!

Idee!

$\begin{eqnarray*} f(2)= -9 \end{eqnarray*}$

da lässt sich doch was draus machen

02.12.2005, 13:38

snowman

Auf diesen Beitrag antworten »

heißt das, meine 4 Gleichungen sehen so aus?

f´(-1) = 3a-2b+c=0

f`(2) = 12a+4b+2c=0

f(-1) = -a+b-c-d=4,5

f(2)= 2a+2b+2c+2d =-9

????????????

02.12.2005, 13:40

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von snowman
heißt das, meine 4 Gleichungen sehen so aus?
f(-1) = -a+b-c-d=4,5
f(2)= 2a+2b+2c+2d =-9

Wie bist du auf f(-1) = -a+b-c-d und f(2)= 2a+2b+2c+2d gekommen? verwirrt

verwirrt

Schau genau hin, was f(x) ist.

02.12.2005, 13:41

derkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

jup! fast mit ein paar kleinen fehlerchen!

edit:
ein kleines vorzeichenfehler ind der ersten gleichung bei d!
und be der 2. gleichgung wie kommst du auf den faktor bei d?

02.12.2005, 13:44

snowman

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von snowman
heißt das, meine 4 Gleichungen sehen so aus?
f(-1) = -a+b-c-d=4,5
f(2)= 2a+2b+2c+2d =-9

Wie bist du auf f(-1) = -a+b-c-d und f(2)= 2a+2b+2c+2d gekommen? verwirrt

verwirrt

Schau genau hin, was f(x) ist.

naja

-1³ = -1 -> -a

-1² = 1 -> b

-1 =-1 -> -c

-1 = -d

so hab ich mir das mal gedacht.

bei f(2) genauso

d ist bei f(-1) positiv?

Muss kurz meine Freundin abholen, bin in einer halben Std. wieder online

02.12.2005, 13:46

derkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

quatsch!

$\begin{eqnarray*} f(x) =ax^3 +bx^2+cx+d \end{eqnarray*}$

wenn du für x= -1 einsetzt kommst du niemals auf dein ergebnis!

02.12.2005, 13:49

snowman

Auf diesen Beitrag antworten »

bleibt d einfach stehen, weil ich da x nicht einsetzen kann?

02.12.2005, 13:51

derkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

sicher!
hallo!! du machst das doch nicht zum ersten male oder? Augenzwinkern

Augenzwinkern

waren es gestern doch wohl ein paar Coktails zu viel oder? Big Laugh

Big Laugh

02.12.2005, 14:36

snowman

Auf diesen Beitrag antworten »

das is schon so lange her und da ich ein online Studium habe, kann ich meine Lernzeiten flexibel gestalten.

Leider habe ich wohl bis jetzt ein bisschen zu wenig Zeit in Mathe gesteckt.... Schläfer

Schläfer

02.12.2005, 14:55

snowman

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt, wo ich mir die Aufgabe so durchlese, merke ich erstmal, dass ich die gar nicht richtig verstanden habe.

Nun schnalle ich das auch mit der Graden......

02.12.2005, 15:36

snowman

Auf diesen Beitrag antworten »

ALSO:

I $\begin{eqnarray*} 3a-2b+c=0 \end{eqnarray*}$

II $\begin{eqnarray*} 12a +4b+c=0 \end{eqnarray*}$

III $\begin{eqnarray*} -a+b-c+d=4,5 \end{eqnarray*}$

IV $\begin{eqnarray*} 8a+4b+2c+d=9 \end{eqnarray*}$

sind jetzt alle korrekt?

02.12.2005, 15:58

derkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von snowman
ALSO:

I $\begin{eqnarray*} 3a-2b+c=0 \end{eqnarray*}$

II $\begin{eqnarray*} 12a +4b+c=0 \end{eqnarray*}$

III $\begin{eqnarray*} -a+b-c+d=4,5 \end{eqnarray*}$

IV $\begin{eqnarray*} 16a+4b+2c+d=9 \end{eqnarray*}$

sind jetzt alle korrekt?

chef!

$\begin{eqnarray*} 2^3\neq 16 \end{eqnarray*}$ LOL Hammer

LOL Hammer

02.12.2005, 16:03

snowman

Auf diesen Beitrag antworten »

2³= 8

LOL Hammer

ich bin schon so gaga, klappt nich mal mehr das....

Das LGS schaffe ich nie im Leben.

Das war´s dann wohl mit der Matheprüfung im 1. Semester

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »