Partielle Integration

29.11.2005, 18:35

Gioiello

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Partielle Integration

Hmm....ich verstehe irgendwie diese Regel nicht so ganz... verwirrt

verwirrt

Ich muss folgende Integrale berechnen und jeweils eine Stammfunktion zum Integranden angeben...

a) $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~x^2e^x~dx \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~(x^2-2x+5)e^x~dx \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~(ln x)^2~dx \end{eqnarray*}$
d) $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\frac{1}{x}*lnx~dx \end{eqnarray*}$
e) $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~x^2sinx~dx \end{eqnarray*}$
f) $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~e^xcos x~dx \end{eqnarray*}$
g) $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~e^{-x}sinx~dx \end{eqnarray*}$
h) $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~sinx*cosx~dx \end{eqnarray*}$

Die Regel haben wir so aufgeschrieben bekommen:
$\begin{eqnarray*} \int~v*u' =u*v-\int~u*v' \end{eqnarray*}$

zu a)
$\begin{eqnarray*} \int~x^2*e^x~dx=e^x*x^2-\int~e^x*2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int~e^x*2x~dx=e^x*2x-\int~e^x*2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =e^x*2x-2e^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int~x^2*e^x~dx=e^x*x^2-e^x*2x+2e^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =e^x(x^2-2x+2) \end{eqnarray*}$

stimmt das so??

29.11.2005, 18:38

Leopold

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Bis auf ein gelegentlich "verschlucktes" $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$ ist das korrekt. Übrigens: Mache doch einfach die Probe durch Ableiten.

29.11.2005, 18:40

hxh

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Eine Stammfunktion ist quasi eine aufleitung der Funktion, auch wenn man das normal nicht so sagt, verwende ich den begriff mal, da man es verstehen kann.

zb. x² hat die Stammfunktion 1/3 x³ (nachprüfbar indem man das ableitet)
e^x hätte die Stammfunktin e^x da e^x abgeleitet auch e^x ist. So jetzt bau dir das ganze mal zusammen

29.11.2005, 18:40

riwe

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RE: Partielle Integration
stimmt,
mache die probe durch differenzieren der stammfunktion!
werner

29.11.2005, 18:44

Gioiello

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juhuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu Big Laugh

Big Laugh

eigentlich kapiere ich diese regel net, aber ist ja egal, und ne probe Kotzen

Kotzen

ich muss doch noch die 7 andere aufgaben ausrechnen.
ich werde sie einfach nacheinander hier reinstelle, wenn ich die alle überhaupt hinbekomme.....ok?
und wo hab ich ein dx vergessen??

und fürs integral ausrechnen, soll ich jetzt in diese "Aufleitung" a und b einsetzen, aber dann kann ich ja gar nicht zusammenfassen oder? verwirrt

verwirrt

29.11.2005, 18:59

Gioiello

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b) .... $\begin{eqnarray*} e^x(x^2-4x+9) \end{eqnarray*}$ ?

wie kann man denn lnx anders schreiben?? e^x? verwirrt

verwirrt

hä? was kommt denn bei c? wie rechne ich das? Hilfe

Hilfe

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29.11.2005, 19:00

hxh

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sagen wir Stammfunktion.
Du musst die obere Grenze in die Stammfunktion einsetzen und mit der unteren Grenze subtrahiern.

29.11.2005, 19:03

Gioiello

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ja das weiß ich.....
$\begin{eqnarray*} (e^b(b^2-2b+2))-(e^a(a^2-2a+2)) \end{eqnarray*}$

und jetzt?!

29.11.2005, 19:06

Leopold

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b) stimmt. Und c) wird man nicht herausbekommen, wenn man den Trick nicht kennt. Wähle in der Formel für die partielle Integration $\begin{eqnarray*} u'=1 \end{eqnarray*}$ . Denke beim Ableiten von $\begin{eqnarray*} v = \ln^2{x} \end{eqnarray*}$ an die Kettenregel.

29.11.2005, 19:08

riwe

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b) stimmt, jetzt mut halt einmal für x = a einsetzen und dann x = b und subtrahieren.
c) $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~ln^{2}x~dx =\int_{b}^{a}~1 \cdot ln^{2}x~dx \end{eqnarray*}$ mit u´= 1
werner

pardon, steht eh schon da

29.11.2005, 19:13

Gioiello

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ich verstehe das mit $\begin{eqnarray*} v=ln^2x \end{eqnarray*}$ nicht.
was ist denn die innere ableitung?? 0 ? verwirrt

verwirrt

EDIT:c) ... kommt da dann $\begin{eqnarray*} ln^2x-x \end{eqnarray*}$ raus?

29.11.2005, 19:23

-felix-

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nein, kommt nicht raus.
Nochmal zur Ableitung: $\begin{eqnarray*} h(x) = (\ln x)^2=[g(x)]^2 \text{ mit } g(x) := \ln x \end{eqnarray*}$
Also $\begin{eqnarray*} h'(x) = 2 \cdot g(x) \cdot g'(x) \end{eqnarray*}$

EDIT: Tippfehler ausgebessert, danke werner

29.11.2005, 19:25

Gioiello

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verstehe ich trotzdem nicht traurig

traurig

irgendwie hab ichs nicht mit diesem doofen ln

29.11.2005, 19:29

riwe

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Zitat:

Original von -felix-
nein, kommt nicht raus.
Nochmal zur Ableitung: $\begin{eqnarray*} h(x) = (\ln x)^2=[g(x)]^2 \text{ mit } g(x) := \ln x \end{eqnarray*}$
Also $\begin{eqnarray*} h'(x) = 2 \cdot h(x) \cdot g'(x) \end{eqnarray*}$

hast du dich da nicht am schluß vertippt?

werner

29.11.2005, 19:42

Gioiello

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d kann ich genauso wenig wie c

aber e) hab ich jetzt: $\begin{eqnarray*} cosx(2-x^2)+sinx*2x \end{eqnarray*}$
richtig?

29.11.2005, 20:24

-felix-

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Stimmt.

29.11.2005, 23:57

Lazarus

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du kannst d) nicht ?

\\edit: scharrn geschrieben, wer lesen kann ist klar im vorteil!!

aber nachdem ichs nun richtig gesehn hab:

wie wäre ne subtitution ?
u=ln(x) zum beispiel ...

servus

\\edit2: nachdems ja mit partiell int. gehen soll: wir wäre es mit g'(x)=1/x und f(x) = ln(x) ?
dann hast du \int~g'(x)f(x)dx dastehn das sich auch nicht schwer lösen lässt ..

servus

\\edit3: ja nochmal ich ^^
die lösung für c steht doch in leopolds bzw werners schon da ?!

nurnoch stures anwenden !

30.11.2005, 16:05

Gioiello

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wie mache ich denn die Auf- oder Ableitung von $\begin{eqnarray*} ln x \end{eqnarray*}$ ?

30.11.2005, 16:07

20_Cent

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das heißt nicht Aufleitung, sondern Integration...
zur Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \ln{x} => f'(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

für die Stammfunktion schreibe so:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 1 * \ln{x} \end{eqnarray*}$

und verwende partielle Integration.
mfG 20

30.11.2005, 16:11

Gioiello

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tut mir leid....INTEGRATION besser so? ;-)

wieso ist die ableitung von ln x => 1/x
wie formt man das denn um, dass man auf 1/x kommt?

30.11.2005, 16:31

20_Cent

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mmh... ich weiß es nicht.
könnte man vielleicht über den differenzenquotienten machen...
hab bei wiki auch nichts gefunden...
mfG 20

30.11.2005, 16:33

Gioiello

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schade....
weil ich verstehe nicht, wie man darauf kommt, weil wir die ableitung davon auch nie im unterricht gemacht haben traurig

traurig

1/x ist ja eigentlich $\begin{eqnarray*} x^{-1} \end{eqnarray*}$ aber wie soll man von lnx auf $\begin{eqnarray*} x^{-1} \end{eqnarray*}$ kommen ?! verwirrt

verwirrt

30.11.2005, 16:34

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

es gibt eine formel für die ableitung der umkehrfunktion.
ln ist ja die umkehrfunktion von e^x.
damit müsste es gehen.
mfG 20

edit:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{(f^{-1})'(f(x))} \end{eqnarray*}$

30.11.2005, 16:35

Gioiello

Auf diesen Beitrag antworten »

wir haben die ableituntg von umkehrfunktionen (noch?!) nicht gemacht

30.11.2005, 16:38

20_Cent

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mmh... wir haben in der Schule glaube ich einfach gesagt, das ist so Augenzwinkern

Augenzwinkern

mit der Formel (siehe edit oben) geht das ganz einfach:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{e^{\ln{x}}} \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ abgeleitet wieder $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ist.
mfG 20

30.11.2005, 16:39

Gioiello

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hm na gut, in meiner formelsammlung steht auch dass die ableitung 1/x ist, wenn mich jmd. fragt woher ich das weiß, sag ich einfach, das steht in der formelsammlung Big Laugh

Big Laugh

30.11.2005, 16:48

derkoch

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$\begin{eqnarray*} f(x) = ln(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x) = e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)'= e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) =\frac{1}{e^{ln(x)}} =\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

30.11.2005, 18:06

Gioiello

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mit d) hab ich ein problem....

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\frac{1}{x}*lnx~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\frac{1}{x}*lnx~dx =lnx*lnx-\int_{b}^{a}~\frac{1}{x}*lnx \end{eqnarray*}$
1. Frage: ist das richtig?
2. frage: muss ich jetzt das Integral gaaaanz rechts auch nochmal integrieren?? oder kann ich das folgendermaßen machen....
$\begin{eqnarray*} 2*\int_{b}^{a}~\frac{1}{x}*lnx~dx =lnx*lnx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\frac{1}{x}*lnx~dx =\frac{lnx*lnx}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\frac{1}{x}*lnx~dx =\frac{(lnx)^2}{2} \end{eqnarray*}$
3. Frage: stimmt das dann so mit dem (lnx)^2

verwirrt

verwirrt

30.11.2005, 19:33

20_Cent

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jepp
mfG 20

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