Eulersche Zahl

30.11.2005, 10:44

Hallo

Eulersche Zahl

Kann mir jemand sagen, wieso die Ableitung von f(x)=e^x, (e^x)'=e^x ist.
Ich find niemanden, der mir dass erlklären kann.

Danke

30.11.2005, 11:15

JochenX

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hmm, schreibe e als reihe, dann ist das ganz einsichtig

du kannst außerdem e gerade so konstruiert sehen, dass eben (e^x)'=e^x ist

30.11.2005, 14:06

Mathespezialschüler

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So einfach zu beweisen ist das nicht. Es kommt darauf an, wieviel du schon über die Funktion bzw. vor allem über $\begin{eqnarray*} \operatorname e \end{eqnarray*}$ weißt und wie ihr $\begin{eqnarray*} \operatorname e^x \end{eqnarray*}$ definiert habt.

Gruß MSS

30.11.2005, 14:14

Mazze

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Man könnte auch die Ableitung von $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ auf die Ableitung von
$\begin{eqnarray*} a^x \end{eqnarray*}$ zurückführen. Dann ist's sofort klar. Nur müsste man dann zeigen das $\begin{eqnarray*} (a^x)' = ln(a) \cdot a^x \end{eqnarray*}$ ist, was die Sache nicht unbedingt einfacher macht.

30.11.2005, 14:37

JochenX

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@mazze:
wie willst du die ableitung von a^x ohne überwechsel zu e^x berechnen?
dafür benötigst du doch diese ableitung schon......

30.11.2005, 14:52

henrik

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Zitat:

Original von LOED
wie willst du die ableitung von a^x ohne überwechsel zu e^x berechnen?
dafür benötigst du doch diese ableitung schon......

Naja aber dann darfst du auch ned mit der Reihe kommen.. auf die kommt man doch auch dadurch, dass e^x abgeleitet sich selbst ergibt..

@threadersteller

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } ( 1 + \frac{x}{n} )^n = e^x \end{eqnarray*}$

Wenn ihr das kennt dann kannst du das ja mal nach x ableiten und erhälst:

$\begin{eqnarray*} (e^x)' = (\lim_{n \to \infty } ( 1 + \frac{x}{n} )^n)' = \lim_{n \to \infty } ( n \cdot \frac{1}{n} \cdot ( 1 + \frac{x}{n} )^{n-1}) = \lim_{n \to \infty } ( 1 + \frac{x}{n} )^{n-1} \end{eqnarray*}$

und da n = n-1 für n-->oo hast du wieder e^x

30.11.2005, 14:55

Mathespezialschüler

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@henrik
Es kann ja auch sein, dass $\begin{eqnarray*} \operatorname e^x \end{eqnarray*}$ über die Reihe definiert ist.
Und außerdem: Wie begründest du, dass du das so machen darfst? Das darfst du nämlich nicht einfach so, dazu bräuchtest du erstmal glm. Konvergenz.

Gruß MSS

30.11.2005, 15:07

henrik

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Du kannst es ja versuchen zu begründen anstatt nur Sprüche zu klopfen Mit Zunge

30.11.2005, 15:33

mercany

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Huhu!

Also für mich stellt sich hier eigentlich die Fragen: Was kann und darf ich vorraussetzen und was nicht?

Setze ich vorraus, dass $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ über die Potenzreiche als $\begin{eqnarray*} e^x=\sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} \end{eqnarray*}$ definiert ist, kann ich durch ableiten und etwas umformen ganz einfach zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (e^x)' = e^x \end{eqnarray*}$ ist.

Kann ich vorraussetzten, dass $\begin{eqnarray*} e^x := \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$ ist, so müsste ich doch ich das doch auch zeigen können.

Was vielleicht auch noch gehen müsste, wäre mittels Taylorreihe, aber da bin ich überhaupt nicht versiert genug, dass können andere hier wohl weitaus besser.

Was mich im Grunde also interessiert: Muss ich auf eine dieser Definitionen zurückgreifen, oder kann ich das auch ganz ohne dies vorrauszusetzen zeigen?!

Was mir gerade noch einfällt:

Wenn ich weiß, das $\begin{eqnarray*} e^x = a^{\frac{x}{\ln a}} \end{eqnarray*}$ ist, müsste ich das doch über Kettenregel zeigen können.

Nur, Wikipedia sagt da soetwas ähnliches, setzt allerdings wieder vorraus, dass:

$\begin{eqnarray*} a^x=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=a^x\lim_{h\to 0}\frac{a^{h}-1}{h} \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{a^{h}-1}{h} = \ln a \end{eqnarray*}$

Kann ich denn einfach so $\begin{eqnarray*} \ln a \end{eqnarray*}$ definieren?

Also für mich ist das ganze irgendwie etwas undurchschaubar.... unglücklich

Gruß, mercany

30.11.2005, 15:41

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von mercany
Was mich im Grunde also interessiert: Muss ich auf eine dieser Definitionen zurückgreifen, oder kann ich das auch ganz ohne dies vorrauszusetzen zeigen?!

Du willst nichts voraussetzen und damit etwas zeigen? Wie das? Wenn du $\begin{eqnarray*} \operatorname e \end{eqnarray*}$ nicht definiert hast, kannst du auch nichts über $\begin{eqnarray*} \operatorname e \end{eqnarray*}$ beweisen! Wie auch?

Zitat:

Original von mercany
Mit $\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{a^{h}-1}{h} = \ln a \end{eqnarray*}$

Kann ich denn einfach so $\begin{eqnarray*} \ln a \end{eqnarray*}$ definieren?

Wenn du vorher zeigst, dass der Limes existiert, ja. Allerdings weißt du dann noch lange nicht, dass $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ wirklich eine Logarithmusfunktion ist. Es ist dann erstmal nur irgendeine Funktion. Du weißt also noch nicht, dass es die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion ist.

Gruß MSS

30.11.2005, 15:50

mercany

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Du willst nichts voraussetzen und damit etwas zeigen? Wie das? Wenn du $\begin{eqnarray*} \operatorname e \end{eqnarray*}$ nicht definiert hast, kannst du auch nichts über $\begin{eqnarray*} \operatorname e \end{eqnarray*}$ beweisen! Wie auch?

Ja klar!

Aber dann müsste ich ja rein theoretisch erstmal die Existenz von $\begin{eqnarray*} \operatorname{e} \end{eqnarray*}$ beweisen.
Was ich meine: Ich nehme mal die Potenzreihen.

Nur weil ich zeige, dass e existiert, zeige ich doch noch lange nicht $\begin{eqnarray*} e^x=\sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} \end{eqnarray*}$ . Also muss ich das doch auch erst beweisen... und genauso ist es doch mit den anderen Sachen auch.

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Wenn du vorher zeigst, dass der Limes existiert, ja. Allerdings weißt du dann noch lange nicht, dass \ln wirklich eine Logarithmusfunktion ist. Es ist dann erstmal nur irgendeine Funktion. Du weißt also noch nicht, dass es die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion ist.

Was wiederum bei dem Beweis auf Wikipedia doch auch nicht vorrausgesetzt werden muss!

Gruß, mercany

30.11.2005, 16:01

Mathespezialschüler

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Da verstehst du etwas falsch. Wenn du

$\begin{eqnarray*} \operatorname e:=\sum_{n=0}^{\infty}~\frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$

setzen willst, dann zeigst du zuerst, dass die Reihe konvergiert, der Wert $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~\frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$ also existiert und danach, im Nachhinein definierst du $\begin{eqnarray*} \operatorname e \end{eqnarray*}$ durch obige Gleichung!

Zitat:

Original von mercany

Zitat:

Was wiederum bei dem Beweis auf Wikipedia doch auch nicht vorrausgesetzt werden muss!

Richtig, da wird es ja im Anschluss auch erst gefolgert, allerdings ist das mathematisch nicht korrekt! Wie du siehst, steht über dem ganzen Abschnitt als Überschrift "Motivation", was bedeutet, dass das dort keine echten Beweise sind.

Gruß MSS

30.11.2005, 16:04

mercany

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Da verstehst du etwas falsch. Wenn du

$\begin{eqnarray*} \operatorname e:=\sum_{n=0}^{\infty}~\frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$

setzen willst, dann zeigst du zuerst, dass die Reihe konvergiert, der Wert $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~\frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$ also existiert und danach, im Nachhinein definierst du $\begin{eqnarray*} \operatorname e \end{eqnarray*}$ durch obige Gleichung!

Stimmt!
Da hatte ich etwas falsch interpretiert. Danke Max!

Gruß, mercany

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